【後期】東北大学 理系| 2020年度大学入試数学

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾
後期の大学のうち、数学のある大学について評価を書いていきます＾＾

※前期にて合格された読者の皆様へ

合格おめでとうございます！どのような参考書に取り組んで合格を勝ち取ったかをコメントにて教えていただけると、これから受験する後輩の皆さんにとって非常に貴重な情報になります。合格した大学のエントリーのコメント欄から書いていただけると嬉しいです。

 

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。

東北大学(理系)【後期】です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東北大学（理系）【後期】
（試験時間150分、６問、記述式）

１．全体総評～昨年とは打って変わって大幅易化～

2019年は難しい問題が並びましたが。今年は大幅易化です。どの問題も比較的手がつけやすいセットで、2018年なみの難易度になりました。東北大後期は、難易の差が激しい印象がありますね。

範囲は数IIIが後半2問、あとは確率、整数、微積(II)、数列なのでバランスは取れています。


試験時間150分に対し、
標準回答時間は140分。

2019年：195分

2018年：145分

2017年：160分

2016年：160分

2015年：165分

2014年：180分

２．合格ライン

1番は文理共通の4次関数の問題。おさえたい。

2番も整数の証明系だが、今回は簡単な方。これも押さえたい。

3番も数値の煩雑さはともかく、やることはただの計算。これも出来るはず。

４番は確率と漸化式でキー問題。連立漸化式として設定されているので、差がつきそう。

５番は本セット最難問ですが、（１）までは押さえたい。（２）はキー問題。

６番もキー問題。（２）でしっかり漸化式を作れたかどうか。

前半でしっかり押さえ、後半は出来そうなものに手を付けたい。今年は６５％ぐらいは欲しいところ。

３．各問の難易度

☆第１問　【微積分総合(数II)】4次関数の複接線、面積（B,25分、Lv.2）

4次関数に2点で接する接線や放物線で囲まれた面積を求める問題。く2点で接する複接線の問題はチャートなどにも載っているので、ここはしっかりおさえたいところです。

 

4次関数に２点で接するので、2重解を2つととらえて、解と係数の関係的に式を作ります。g(x)＝ｐｘ+ｑとでもおいて、f(x)=g(x)が(ｘ－ｓ)^2(ｘ－ｔ)^2=０となればOK。4次方程式の解と係数の関係は断りなしに用いるのははばかられますが、左辺を展開した式を作って係数を比較するだけで、実質ほとんど変わりません。

これで3次、2次の係数比較でｓ、ｔが、残りの比較でｐ、ｑも出せます。さらに接点と原点を通る放物線も出ますね。

（２）は面積です。面積に必要なのは交点と上下関係です。交点を出すと分かりますが、０で重解になりますので、－１と１のみで上下関係が変わります。面積の計算自体は簡単です。

※KATSUYAの解答時間12分。複接線なのでパターン問題と判断。上記原則に従って終了。面積か。上下関係変わりそう。交点を出して０で重解。上下関係変わらんから、積分もラク。

 

第２問　【整数】6,8,24の倍数と証明（AB、20分、Lv.1）

倍数の証明問題ですが、今回は教科書にある余りの分類だけで済みますので、発想力もほとんど必要なく。簡単な方だと思います。これはおさえたいですね。

（１）は6の倍数なので、２かつ３の倍数であることを示します。前者は連続２整数なので、後者は３で割った余りで分類すればすぐに分かります。●の倍数かどうかの議論は、●で割った余りで分類するのが原則です。

（２）も簡単です。奇数なので２ｋ－１とでも置けば、４ｋ（ｋ＋１）となります。ここでも連続２整数が出てきます。

（３）は（２）があれば気づくとは思いますが、対偶の方がいいです。24の倍数でないことを条件にするより、24の倍数であることを示す方がラクです。ｍが奇数であれば（２）から８の倍数は確実ですし、連続３整数ならどれかは３の倍数のはずですね。

注意ですが、２４＝４×６だから、「４かつ６の倍数であればよい」などとはしないように。４と６はたがいに素ではありませんので、これでは24の倍数似なるとは言えません。２４＝３×８のように、因数どうしが互いに素になるように因数分解して考えましょう。「144の倍数になることを示すには、９かつ16の倍数であることが言えればOK。」などですね。

 

※KATSUYAの解答時間７分。上記のとおりに解決。連続２，３整数と余りの分類だけで解決できてしまうのはかなり簡単な気がする。

第３問　【数列＋積分】数列の和の最小値（B、25分、Lv.２）

定積分の式で表された数列の項の和と、その最小値を求める問題。明らかに意味深な定数ｃがありますが、うまく計算しないとこのｃに苦しめられそうです。

aｋですが、被積分関数を12(x－10／3)として積分し、[６(ｘ－10／3)^2]　とするとｃの代入がラクです。1次式なので普通に6x^2－20xとしたくなりますが、これにｃを代入するとちょっと計算が嫌な感じになります。

（１）akが出ればSnは出せます。

（２）も傍用問題集レベルです。和の最小値はakがいつまで負でいるかを調べればOKです。akは平方完成しておいて、１~７までは負、８以降は正で増加し続けることを言えばS7が最小となります。

※KATSUYAの解答時間13分。（１）のakの計算で符号が違っていて、Snが変な式になり、（２）で違和感を感じて見直したので結構ロス。

☆第４問　【確率＋整数】確率と漸化式（B、25分、Lv.2）

確率と漸化式の問題です。こ移動する点が２点しかないので、そこまでややこしくなはないです。文字も全部設定してくれていますので、出来れば押さえたいですね。

確率と漸化式では、ｎ回目からn+1回目への遷移を詳しく見ましょう。今回はA、Bの両方で設定されています。もし片方しか設定されていなくても、自分で他の部分を設定することが重要です。

（２）で具体的に求める際には、確率は全て足すと１であることを忘れないようにしましょう。今回は2点しかないので、qn=1－pnとすれば、簡単にｐｎだけの漸化式が出来ます。２点の場合は、初めからこうやって解く人の方が多そうですね。

出来た漸化式は４型ですから、特性方程式を作ればすぐに求められます。

※KATSUYAの解答時間7分。お、確率と漸化式か。今年あんまり見なかった気がするなぁ。2点しかないから簡単。（１）わざわざｑｎで置く必要はないな。ｐｎと１－ｐｎでいいけどな＾＾；　（２）ですぐにqn=1－pnにして漸化式を解いて終了。

☆第５問　【複素数平面】直線の複素数表記、交点など（BC、25分、Lv.２）

２直線を複素数で表記し、交点を持つための必要十分条件を求める問題です。円などは複素数平面が威力を発揮しますが、直線表記だと演習経験が少ないと思いますので、差がつきそうです。

（１）ですが、直線Lは０とαの垂直に等分線をあらわすことに気づけば、教科書にも載っている事項になります。｜ｚ｜＝｜ｚ－α｜（０、αからの距離が等しい）となりますので、2乗して整理すればいいです。

（２）（１）が出来ればｍについても表すことが出来ます。ｚ、ｚバーの2文字があるので、これの連立方程式だとみなしてｚバーを消去すると、問題文にあるαバー・βの式が出てきます。これが実数だと、ｚについている係数が０になり、割り算できないというところがポイントですね。

直線表記のときは、ｚとzバーから|z|^2となることが少ないので、、ｚとzバーの連立方程式とみなすことも、たまに出題されますので、本問でしっかり定着させておきましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間11分。（１）は対称点とってるから垂直２等分線で終わり。（２）はとりあえずｍも表しておく。交点を持つということは両方成り立つ。直線表記はｚとzバーは別物扱いかな。連立して係数にαバーβがあらわれたので、OK。

☆第６問　【微積分総合(数式)】逆関数の導関数、定積分と漸化式（B、25分、Lv.２）

最後は数式系の微積分総合問題です。東北大は数式系が多い印象があります。難易度は決して低くなく、（２）がポイントとなりますが、東北大受験者であればパターンに近いと思われます。

（１）は逆関数なので、ｘ＝ｔａｎｙとおいてdy／dx＝１／(dx/dy)の公式を用いるだけです。意外とこれが差がついたりする？

（２）はｎ絡みの定積分で漸化式を作るので、部分積分が原則です。教科書の研究コーナーなどにもある、（sinｘ）^nの定積分の漸化式を作る時と似ています。

形から、まずｘ＝tanθで置換することは大丈夫でしょう。Inは（cosx）^2(n-1)　の定期分になりますので、In+1を部分積分しましょう。部分積分すると、InとともにIn+1が出ますので、移項して整理すると得られます。

（３）は（２）を用いればOK。I_1はいつも通り置換積分積分しそうですが、実は（１）で逆関数の導関数を出しているので、f^-1(π/4)ーf^-1(0)＝π/4　としてもOK。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間8分。（１）は何に使うのか？とりあえず計算。（２）は置換してからsinｘのｎ乗系統と判断。原則通り部分積分で。（３）は（２）を利用するだけ。I1を求めるのにも（１）利用は、私は気づかず。解き終わってKさんの解答見て、「確かにここで使えるわ＾＾；」となりました。（１）、空気うす。。。

４．対策

基本的には前期と同じです。前期のエントリーをご覧下さい。前期よりは難しい問題が多い傾向にありますが、構成や問題の特徴はほとんど変わりません。

分野的には、A、B、IIは確率、数列とベクトル、三角関数が好きなようです。数IIIは微積は1題ありますが、あとはいろいろ出ます。

量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。

以上です＾＾

 

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