【後期】九州大学理系| 2020年度大学入試数学

2020/03/23

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)【後期】です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

九州大学（理系）【後期】
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～手がつけやすい問題が増えて易化～

昨年より易化していると思います。数IIIの割合が2018年は４問でしたが、昨年は３問、今年は２問プラスアルファぐらいになりました。簡単とはいいませんが、九大にしては典型的て方針が立ちやすい問題が多かったと思います。今年も誘導小問も多めなので、どの問題もある程度点数にはなりそうですね。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は130分。

2019年：150分

2018年：145分

2017年：140分

2016年：160分

2015年：125分

2014年：150分

２．合格ライン

1番は微分法の応用から。（３）の平均値の定理は見ぬけるかどうかキー問題。

2番も数IIIで極限から。視覚化しやすい上に誘導もあるのでこれは押さえたい。

3番の空間ベクトルも文字が乱立するが、（１）（２）は大したことはない。（３）の体積は時間がかかりやすい。

4番は極方程式などの言葉で少し戸惑いそうだが、見かけ倒しで最も簡単なので、キー問題になりそう。

5番は確率だが本セットでは難しめ。（１）（２）は欲しい。（３）まで出来ればOK。

２番は押さえ、その他は完答は難しくてもかき集めて2完以上は出来るはず。６５％ぐらいあればいいと思います。

３．各問の難易度

☆第１問　【微分法】不等式、共有点の個数、平均値の定理（B,25分、Lv.２）

微分法の応用から。不等式の証明やら解の個数やら聞いてきて、最後は平均値の定理の利用です。平均値の定理の利用については、本学受験者であれば気づきたいところ。

（１）は不等式なので差を取って微分ですね。

（２）も、共有点の個数なので、連立方程式の解の個数に帰着します。ａ＝・・・に定数分離してグラフで視覚化しましょう。グラフでのｘ→∞の様子を調べるのに、（１）を用いることになります。

（３）は、不等式の形から平均値の定理であることは見ぬきたいです。平均値の定理では、「間にある」ことが不等式の源です。「ｐ＜ｃ＜ｑを満たすｃがある」の不等式を変形していきましょう。

※KATSUYAの解答時間12分。最初は不等式の証明。グラフ関係ないな。（２）はａ＝・・・にするだけ。ここで（１）使うってことか。（３）は分子分母が逆だが、明らかに平均値の定理の形をしているな。ｎ乗の部分はlogに変えて平均値を用いて終了。

第２問　【三角関数＋極限】周期性、解の和の極限（B、25分、Lv.２）

三角関数で表された方程式の解の和の極限を求める関する問題。ｎが絡むと難しく見えますが、グラフは非常に単純なので、視覚化もしやすいのではないかと思います。

（１）は周期性の確認です。sinｘの周期は２πですが、絶対値がつくとπごとに周期が出ます。角度が２ｎπｘ＋ｋπであればsinの値は２ｎπのときと同じですね。

（２）は１＝√５・・・の形にすれば視覚化できます。右辺は山が周期的に並ぶだけですね。

（３）は（２）のグラフで視覚化していればすぐに分かると思いますが、解が区間の真ん中で対称なので、解の和は区間の両端の和になります。あとはｋ＝１，２、・・・２ｎでシグマを取れば出来ますね。２ｎまでなので注意。

※KATSUYAの解答時間９分。（１）はただの周期性の証明やな。（２）も視覚化するだけ。（３）は（２）の区間の和を足す。解の和も簡単に出るので、シグマとって終了。九大にしては簡単な気がする。

第３問　【空間ベクトル】長さの最小値、体積の最大値（Ｂ、25分、Lv.２）

座標空間上にある点について、長さやらなす角やら体積やらを求める問題です。文字が乱立するので、少しＭＰが必要となります。（３）の体積はまともにあたると時間を持ってかれそうです。

（１）はＱ（０、ｙ、０）とでも置いて、ＰＱベクトルの成分を計算するだけです。距離計算をすれば、そのままｙについて平方完成された形になっていますので、すぐに最小値は分かります。

（２）もそのときのＰＱベクトルはｙ成分が０になり、ＯＱはｘ、ｚ成分が０なので内積ゼロで垂直です。

（３）は少し難しいかも。まずはａ，ｃが動く条件が最初にかかれています。この条件のもと、でＯＣＰＱの体積をａ，ｃで表し、その最大値を出せということです。

ＯＣＰＱの体積ですが、Ｐ－ＯＣＱとＡ－ＯＣＱに着目すると、ＰはＣＡの中点なので、体積はＡ－ＯＣＱの半分であることが分かります。Ａ－ＯＣＱなら、底面ＯＡＱ、高さｃとするだけで計算できます。

結局体積もｒ、ｃのみで表され、ｒは定数です。ｃが最大になるときに体積も最大になるだけなので、こちらも見かけ倒しの問題でしたが、体積が出せるかどうかですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間14分。（１）は成分表示するだけ。距離を計算して展開してｙについて平方完成を、、、いや平方完成の形になってるわ＾＾；ｙはｙ成分にしか入ってないし、当たり前か。なんじゃこりゃ。（２）もそのまま内積ゼロで終了。（３）はそのまま体積出すのはメンドウ。PをAに変えて２倍に伸ばしてみる。お、これならめっちゃ出しやすいやん！結局ｃしか出てこない。最大値を出すことはおまけやな。

第４問　【式と曲線など】極方程式、最大・最小（B、20分、Lv.２）

途中で極座標や極方程式を聞かれていますが、雑問集合というイメージです。極方程式という言葉に虚を突かれる可能性はありますが、第３問以上に見かけ倒しだと思います。

（１）はただのななめの正方形です。さすがにいいですよね。

（２）は極方程式に直せ、とのことですが、なんのことはありません。ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝rsinθにするだけで答えられますので、問題の意図が少し分かりかねます。（３）でｒ、θで考えた方がいいと示唆するために入れたのでしょうか。

（３）は（２）で示唆された通り（？）ｘ、ｙを極座標表示すると、結局｜sinθ｜＋｜cosθ｜の最大、最小を求めることになります。ｘ→ーｘ、ｙ→ーｙに変えても値は同じなので、第１象限で考えれば絶対値も外れますし、この考え方も（１）でやってます。（１）はそのため？

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間７分。（１）は図示するだけやな。これ使うん？（２）もほぼ答え書くだけに近いけど。何すんのこれ？（３）は(1)(2)を使う？ｃ１．ｃ２関係ないけど。（２）のおかげでｒ、θに置き換えることは思いつく。そのためってこと？結局三角関数の最大値。ｘ、ｙ0以上で考えるのも、（１）で気づきやすくしているってことかな。なんか誘導のために入ってるのかただの雑問集合なのか不明な感じ。

☆第５問　【確率】コインと点の移動（C、35分、Lv.２）

自分のいる位置とコインの裏表に応じて、移動先を決める問題です。最後にしてようやく九大らしい問題似なった感じがあります。難しめです。

（１）１回目の移動先は０か１しかありません。

（２）も帰納法でいけます。ｋ回後に０≦ｘ≦１にあれば、次にコインを投げた後も０≦ｘ≦１にあることを示せばOK。

（３）ですが、１に来るには、２から表が出るか、０から裏が出るかですが、（２）の結果から後者しかありません。また、０に来る場合も同様に、０から表がくるしかありません。結局、０→０→・・・→０で最後に裏が出て１にという順番しかあり得ないわけですね。

（４）は（３）までである程度規則がつかめていないと厳しいです。（２）の証明の途中で、直前で表が出た場合は０以上１／２以下の位置に、裏が出た場合は１／２以上１以下の位置にいます。１になったときだけ、どちらが出ても１／２になることに注意。いる位置によって、直前にどちらが出ているかを判断できるということです。

これを利用すると、2^-ｋというのは、１／２からｋ－１回表が出る以外に来る方法はありません。１／２に来るには、０→１→１／２という流れですので、最低ｋ＋１回は操作が必要です。

従って①の場合はｎ回を超えるのであり得ません。②の場合は、最初はしばらく表が出て、どこかで０→(裏)→１→(どっちでも)→１／２の流れがあり、あとは全部表が出ればOKです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間21分。確率か。なんか設定的になんかむずそう。また見かけ倒し？(1)は０か１しかない。（２）は帰納法やな。（３）からは考える必要がある。ｎ＝４あたりで試したが、結局０が続いて最後に１になるしかないので、これを一般的に説明。（４）は（２）や（３）で試しているときに上記の規則に気づけた。１／２を境目に、直前に表が出ているのか裏が出ているのかを判断できることに気づけるかどうかがポイントやな。