横浜国立大学文系| 2020年度大学入試数学

2020/03/13

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は横浜国立大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
横浜国立大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

横浜国立大学(文系)
（試験時間90分、３問、記述式）

１．全体総評～文字を含む計算は健在～

出題分野はベクトル、確率、微分とバランス型のセットですが、文字計算が多く、文系には少しボリュームを感じさせる試験だったかもしれません。制限時間的には適量だと思います。共通問題の確率が一番計算少ない？

※2019年未調査のため、難易度の変化については不明。

試験時間90分に対し、
標準回答時間は75分。3番にじっくりかけるといいかも。

2018年：70分

2017年：85分

2016年：75分

2015年：80分

2014年：100分

２．合格ライン

第１問はキー問題。前半は計算するだけのハズなので取りたい。後半のAPは前半の結果をうまくつかわないと計算がツライので、ここで差がつくか。
第２問は漸化式が絡みそうに見えるがただの条件付き確率。計算も多くないので、惑わされずに取りたい。
第３問は微分。ａ，ｂの2文字が絡むうえに極値などの計算も入り、1番以上に重い。時間内にどこまで出来たか。（２）までは取りたい。

２番を確実に抑え、時間はあるはずなので１番と３番でなんとか1完分取れればＯＫかと。６０％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【空間ベクトル】等稜四面体、線分の長さ（B,20分、Lv.１）

四面体問題で、垂直条件から長さやその比を出す問題。文字ｋが入る分ややこしいく、後半のＡＰはうまく計算できたかどうか。

空間ベクトルにおいては、基本3ベクトルの長さ＋内積3種で準備万端にしておきます。本問は問題文に全部書いてあるので、何でも出せることは確定です(笑)

前半は簡単です。ＰはＯＭ上にあるので、実数倍ｓなどで置きます。その実数ｓこそが、ＯＰとＯＭの比です。ＡＰＢ=90°なので、内積ゼロで計算しましょう。

後半も2乗して計算するのですが、前半で出したｓの式を代入するのはツライです。ｓを出すときに整理した2次方程式を見比べると、同じ項がかなりあることが分かります。これを利用すると、長さも簡単に出せますね。

あるいは、対称性から明らかにＡＰ＝ＢＰなので、ＡＢＰが直角二等辺三角形であることを利用する方法もあります。これに気づけば、ＡＢさえ出せばＯＫですね＾＾

※KATSUYAの解答時間12分。前半はｓ倍でおくと。文字計算結構メンドウ。分母の３もうざいので払い、ｓについての２次方程式が出る。０＜ｓ＜１になるのが片方だけのはず。解が１に関して対称なので、図形的にも間違いないと確信。後半は計算で出しましたが、本エントリーを書いているときに直角二等辺に気づきました。もっと短縮できたな。

第２問　【確率】条件付き確率（B、20分、Lv.2）

理系と共通問題です。理系のエントリーをご覧ください。

☆第３問　【微分】3次関数がｘ軸に接する条件、極値（BC、35分、Lv.2）

文字を含む3次関数について、ｘ軸に接する条件や極値を求める問題。2018年同様、文字計算を含むので時間を多少取られます。

最初はいいでしょう。「どのようなａ，ｂに対しても」なので、ａ，ｂの恒等式になりますから、ａ，ｂで整理してください。なお、点は(3,0)となり、ｘ軸との交点になります。

（２）は微分のパターン化と思いきや、ｘ－３を因数にもつので、複素数と方程式にあるパターンの方です。ｆ（ｘ）＝（ｘ－３）（ｘの２次式）となります。これが接するには、重解が必要です。

２次式がｘ＝３を解にもつか、ｘの２次式がｘ＝３以外の重解をもつか、に分けるんでしたね＾＾

（３）は（２）で場合分けしたそれぞれの場合について、微分して極値を求めることになります。積の微分を利用すれば、たとえばｘ＝３を重解に持つような３次関数は微分してもｘ－３が因数になることは明らかなので、因数分解もラクですが、それを知らないとｆ'（ｘ）の因数分解はかなりしんどいです。

また、極値は片方は０ですが、もう片方を計算するときは因数分解された式に代入しないと計算量がかなり膨れます。この足りは演習量で差が出そうですね・

※KATSUYAの解答時間23分。めんどそうな３次関数。（１）はａ，ｂで整理。ｘ＝３やな。このとき・・・０やん。ｘ＝３で割れる。（２）はそっちのタイプなのね。上記原則通り進める。（３）積の微分つかっていいんやろな。これまともに計算するのかなりしんどい。文系にしては計算テクが必要な部分が多いから、これはつらいかも。