横浜国立大学 理系| 2020年度大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は横浜国立大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

 

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
横浜国立大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





横浜国立大学(理系)
（試験時間150分、５問、記述式）

１．全体総評～手の付けやすい問題が多く易化～

(2019年は未調査ですが)2018年から易化しています。１番の数IIIの微積も独立しており、１つ１つはおさえやすいです。2番~４番も一本道のものが多いので、方針が立たないことはないと思います。最後の5番の数IIIはかなり重いですが、時間的には多少あったはずなので、途中までは手がつくでしょう。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は133分。例年に比べると少なめかと。

2018年：160分。

2017年：159分

2016年：137分

2015年：180分

2014年：145分

2012年：150分

２．合格ライン

第１問は数IIIのグラフと定積分の計算で、しっかり両方おさえたい。
第２問は複素数と整数ですが、やることはほぼ一本道のはず。おさえたい。
第３問は確率で漸化式をにおわせてますが、見かけだおしでただの条件付き確率。落ち着いて取りたい。
第４問はキー問題。（２）までは条件を式にして連立するだけなので、これは出来れば押さえたい。
第５問ですが、最後までいくのはかなり難しいと思います。東工大の5番と似ています。（３）まで取れればOK。

1番~３番を押さえて残り時間で４番と5番に手をつけたい。　今年は７０％ぐらい取れそうです。

 

３．各問の難易度

第１問・・・【微積分】増減・極値・グラフ、定積分計算（AB,18分、Lv.１）

横国名物の第１問の微積計算。今年は独立しており、難易度もそこそこです。

（１）は微分して増減調べて終わりです。

（２）はそのまま積分するのは厳しいです。区間から見ても、置換積分をしたいところ。log(sinｘ)＝ｔとおくと、短くなる置換積分(第2置換積分)になります。

 

※KATSUYAの解答時間計７分。特にコメントなし。今年の積分は少し骨がないかな。

 

第２問・・・【整数＋複素数】複素数計算、方程式の整数解（B、18分、Lv.１）

分数型の複素数の計算に整数問題を絡めた問題です。複素数と整数と聞くと難しいタイプのものを想像したくなりますが、ただ計算するだけなので大したことはありません。

（１）は共役複素数をかけて計算するだけです。

（２）は（１）の結果を見て、実部と虚部を比べます。BC－AD＝１（虚部の分子に絡む）から、分母＝２９がわかります。分母は2乗和なので、これで整数C,Dはかなり絞れます。

D=2は確定で、C=±３ですから、残りの式で連立してみて、A,Bが整数になる方を答えにすればOK。

※KATSUYAの解答時間９分。複素数と整数か。難しいかも。いやただの計算だわ。見かけ倒し。（１）なくてもさすがに計算するやろ。

 

第３問・・・【確率】条件付き確率（B、20分、Lv.2）

問題文を見ると漸化式の雰囲気がありますが、ただの条件付き確率で見かけ倒しです。原因の確率（工場の不良品の問題など）とパターンは似ています。

（１）（２）はほぼ一緒です。ｎ＝２でやる意味はあまりありません。

Ｐから(ＲＲ)(ＲＷ)(ＷＷ)を取る確率を出し、それぞれでＱから白ばっかり取る確率を計算して足せばＯＫ。ｑは条件付き確率です。「とき」の手前が分母、「とき」の前後が分子です。

原因の確率では、分母の確率ｐを計算する際に、分子の確率ｑが出ていますね。

（３）はただの指数の計算です。指数計算はまともに解けませんので、代入して調べましょう。２や３の累乗はある程度暗記しておいた方がいいと思います。目安は結果が４ケタになるところまで。２なら2^13=8192、３なら3^8=6561までぐらいです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間11分。漸化式かな。問題文を見る。いやちゃうわ。ただの条件付き確率ってかめちゃ簡単やわ。原因の確率系やけど、なんか横国っぽくない。もうちょっと良問を期待した。2番に引き続き見かけ倒し。漸化式は今年少ない気がする。

 

☆第４問・・・【空間ベクトル】空間上の点の座標、線分の回転体（B、30分、Lv.２）

空間上で、垂直条件などから４点の座標を特定し、最後に回転体の体積を求める問題。（１）（２）は計算するだけですが、（３）は経験の差が出るかもしれません。

（１）はＰはＬ上の点なので１－ｓ、ｓなどの係数設定で座標がおけます。Ｒもｘ軸上なので(ｘ、０，０)などとおけます。これでＰＲベクトルはｓ、ｒで表せますから、ｘｙ平面に垂直なのでｘ成分、ｙ成分０で出せます。

（２）Ｑ，ＳもＰ，Ｒと同様に1文字ずつ使って設定します。（１）ほど楽ではないですが、垂直条件が２つありますので、内積ゼロで連立計算するだけです。

（３）は初見だと手がつきにくいかと。ｘ軸に垂直な回転体ですので、ｘ＝ｔなどで切ります。ＰＱともにＬ上の点なので、（１）などで置いたＬ上の点の式で、ｘ成分がｔになるときのｙ、ｚ成分を求めます。それと（ｔ、０，０）（平面ｘ＝ｔでいえば原点との距離）を半径とする円になりますので、それを積分しましょう。

 

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間18分。Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ全部1文字ずつ置けるな。（１）（２）は垂直条件使って連立計算するだけってことやな。（３）は上記のやり方に従って終了。これは差がつくかな。京大文系が好きそうなタイプ。

☆第５問・・・【積分法(数式)】定積分漸化式、極限（Ｃ、45分、Lv.３）

最後は定積分と漸化式、さらにその極限を求める問題です。前半は点けパターンに従って解答可能ですが、後半はなかなか厳しいです。東工大でも同じような考え方をする問題が出題されました。

（１）はいいでしょう。e^-x≦１を利用して積分です。ついでに正であることも断っておくと、（３）で簡単にはさみうちできます。

（２）は漸化式を作れ、という問題。定積分の漸化式は、部分積分が原則でしたね。

（３）（２）を利用して、nI(n)＝・・・・の形に直すと、はさみうちで0に収束する項が集まります。

（４）からは難しいです。イメージは、以下のような感じです。東工大５番のエントリーも参考にしてみてください。

J(n)=n^3×（I(n)＋b/n＋c/n^2)

＝n^2×(nI(n)＋ｂ＋ｃ／n)

とし、ｎ^2は無限大になるので、収束するなら下線部はゼロに収束することが必要です。

従って、１／ｅ＋ｂ＋０＝０となるこで、ｂ＝－１／ｅと出ます。一旦元に戻しますと、

J(n)＝n^2×(nI(n)ー1/e＋ｃ／n)　となりますが、nI(n)ー1/eは、（２）の漸化式から、I(n+1)ーaI(n)となりますので、（　）内からｎがなくなります。そこでもう一回左からｎを借りてきて、

J(n)＝n×(ｎI(n+1)ーaｎI(n)＋ｃ)　とします。

ｂを求めた時と同様の考え方で、下線部もゼロに収束することが必要です。これでｃも出ます。

さらに、Ｉ（ｎ＋１）に対してもう一度漸化式を適用すると、I(n+2)になるかわりに、残ったｎも借りてくる必要が出てきます。これで最終的な極限まで出すことが出来ます。

要は、ｎI(n)からその極限を引いた式は、ｎに関するオーダーが１つ下がって、I(n+1）の式になるということです。漸化式の番号をｎ、n+1、n+2と上げるたびに、オーダーは1つずつ下がっていくので、ｎを借りてくるということですね。

最後にI(n+2)まで持ってこないと求まらないあたりは、発想力も必要ですし、その後の計算もかなり多めです。（４）は捨ててOKでしょう。意味を理解するのも一苦労なので、本番ならｂが出せただけでも相当な実力かと。


※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間28分。最後が定積分と漸化式か。（３）までは原則通りさくっと。（４）は・・・まさか、東工大のあれのタイプか？同じ年に２つの大学で類似ネタとは。東工大をやっていたこともあり、比較的すぎに思いつくことは出来ましたが、計算はしんどい。

４．対策

横国は数学IIIの割合が高く、文理共通問題以外は全てIIIの問題であることも多いです。しかし、使う知識は数学I,IIも多く入ってきます。IIIを早めに習得し、I,IIの知識も必要な微積総合問題をしっかり演習すれば、6割はとれそうです。

文理共通問題は数Bか数A（確率）が筆頭候補（今年は数Bが2問）となりますので、こちらの演習も行いましょう。チャートで進めるなら、青です。IIIまで全部やっておけば、かなりラク＾＾

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。

以上です＾＾

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