広島大学 理系| 2020年度大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は広島大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

 

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
広島大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





広島大学
（全5問、150分、記述式）

１．全体総評～やや易化だが、計算量は維持～

昨年から少し易化しました。2017年から難、易、難、易と交互に来ています。(そこまでの変動幅ではない)　後半の微積をを中心に、確率などもボリュームたっぷりで、全体的に計算量が多めのセットです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分。

2019年：150分

2018年：140分

2017年：160分

2016年：113分

2015年：145分

２．合格ライン

第１問は全体のセットを考えると簡単なので落とせません。
第２問は、複素数平面において直線の扱いは差が出るでしょう。計算も文字を含むので多め。
第３問は数IIIの微積分でキー問題。やることは明確ですが、正確に最後までやり切れるかどうか。
第４問は数IIIの積分で、これもキー問題。第３問同様、方針は迷わないはず。計算を正確にできるかどうかか。
第５問の確率もキー問題。コツコツ調べないと最後は出すことが出来ないので、MP(調べる気合い)との勝負。

 

１番は押さえたいです。３番~５番で２完以上あれば、２番が出来なくてもボーダーに届くでしょう。時間的には余裕もあるので、６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【三角関数】面積の最大値、垂線（B,20分、Lv.２）

三角関数の式で三角形と長方形の面積の合計を表し、その最大値を求める問題。誘導も丁寧なので、やることは１本道のはずです。

（１）は２辺と間の角が分かっているので、余弦定理で求めるだけです。

（２）も大丈夫でしょう。三角形は三角比の面積公式です。長方形の方はAB^2が出てくるので、ルートも取れます。

（３）がメインです。ａ，ｂは定数扱いなので、変数部分を見ると、sinθ、cosθの1次式ですので、合成ですね。合成の３条件は1次であること、角度がそろっていること、sinとcosがあることです。合成で出てくる角度は求めることが出来ないので、満たす式としてcos、sinを用意しておくと、最大となる角度βに対するsinβ、cosβも出せます。

（４）は垂線の長さなので、面積媒介が原則でしょう。ａ，ｂ、cosβの情報などから、（１）にあてはめてABを出します。キレイに出ますね。1521は倍数判定法で9で割れます。1521＝９・169なので平方数と分かります。

あとは面積＝１／２×垂線×ABとし、面積は面積公式で出せばOK。

 

※KATSUYAの解答時間13分。（１）は余弦使うだけ・・・よな？なんじゃこりゃ。（２）も出すだけ。ルート消える。文字多いな。（３）θだけが変数。ａ，ｂ固定ってことやから、、、なんやただの合成やんけ。合成して終了。（４）垂線なら面積媒介やな。

☆第２問　【複素数平面】ｗ＝g(z)の軌跡、中心の軌跡（BC、30分、Lv.２）

複素数平面上におけるｚの式の軌跡(円)と、その円の中心の軌跡です。直線が絡むので、直線の複素数平面表示に慣れてないと厳しいかもしれません。広大は昨年の複素数平面も軌跡でした。

（１）は帯分数表記にすると証明しやすいと思います。また、ｗ≠１ならｗ－１を分母に出来るので、ｚ＝・・・に出来ます。

（２）からがメインです。直線上を動くということは、ｚ＝ｔ＋●ｉとおけるということです。このｚがｚ＋ｚバー＝２ｔを満たすことが分かれば、あとは（１）の式を代入して式変形するだけです。分母を払うと、教科書にもある円のパターンです。ｗｗバー、ｗ、ｗバーの項について整理し、無理やり因数分解しましょう。

※ｔも絡むので計算は煩雑ですが、式が作れたなら最後まで行けば、差を付けることが出来ます。

（３）は中心の軌跡ですが、こちらは分母が実数なので実部、虚部にすぐに分けられ、ｘ＝１－１／２ｔ＋２、ｙ＝－１／２ｔ＋２　と簡単に媒介変数表示出来ますので、ｔを消去しましょう。

※KATSUYAの解答時間15分。（２）ｚは直線上なのね。これだと差がつく可能性高いな。ｔも残るから式変形もメンドウ。（３）は（２）よりはラクやった。

☆第３問　【微積分総合】極大・極小、定点を通る接線の本数、面積（B、25分、Lv.２）

今年も３番が微積分総合です。極大・極小やら接線の本数やら面積やら聞いてきますので、時間はかかりますが、出来る限り計算を合わせていきたいです。

（１）は微分して増減表を書くだけです。奇関数であることを活かしてｘ≧０だけ調べてもいいです。

（２）は点（ａ，０）を通る接線の本数。数IIでもよくあるパターンで、接点を設定して接線の式を作ってから、通る条件を代入し、方程式を作ります。その方程式の解の個数に帰着させる、と言う流れですね＾＾

ａ＝・・・で定数分離してもいいですし、３次関数の微分とみなしても極値をとるｘの値はすぐ分かりますので、極値の積の符号で攻めることもできます。ｐ、ｑは解と係数の関係を用いるとｐ、ｑ、ｑが解になりますのでｐ＋ｑ＋ｑ＝ａで簡単に出ますね。

（３）はｑさえ出れば積分計算するだけです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間16分。微積分の計算問題やな。（１）はコツコツ微分。（２）もパターン。ｅの部分は消えるから・・・３次関数か、定数分離でもいいけど、１次の項ないから、そのまま極値の積がいいかな。（３）は簡単な面積計算で終了。（３）いるか？

☆第４問　【積分法(グラフ)】定積分計算、回転体の体積（B、30分、Lv.２）

3番に引き続き数IIIから。今度は積分計算が中心になります。回転体の体積を2度計算することになります。こちらも計算量が多いので、しっかり合わせられるかどうかで差が出るでしょう。

（１）はただの積分計算です。（２）は周期について述べたうえで、（１）のｎ倍であることを利用すればOK。いきなりｎ倍するのはマズイかと。

（３）も周期性から、１つの部分だけ着目し、それをｎ倍すればOKです。（sinｘ）^2といった三角関数の積分では、半角の公式などで次数を1次に下げてから積分しましょう。

（４）も回転体ならば絶対値の役割はほとんどありません。ｘ（sinｘ)^2なので、三角関数の部分は半角で1次にし、ｘcos２ｘが出てくるので部分積分しましょう。比較的計算は長いので、慎重に。特に部分積分では、符号や定数倍をミスしやすいので、不定積分で積分したものを一度微分して確かめましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間17分。（１）（２）はさくっと。（３）（４）は計算がちょっとメンドウやけど、慎重に。三角の部分積分って符号ミスりやすいんよな。部分積分したところは微分して検算。

☆第５問　【確率】サイコロの目と硬貨の裏表、条件付き確率（BC、25分、Lv.２）

サイコロの目と硬貨の裏表に従って、ベクトルを２つ作り、その確率について求めろ問題。ベクトルは問題を分かりやすくするための表記なだけで、こちらがベクトルに関する手法や公式を使う場面はありません。従って、タイトルもベクトルは含めていません。

（１）は書き出してもいいですし、和が７であれば、ａ１＋ａ２＋ａ３＝７となる自然数の組数として、重複組み合わせでもいいです。その場合は○と仕切りで考えましょう。（３）まで考えると、書き出しておく方がよかったでですね。

（２）は落ち着いて考えましょう。ａ１＝１なら、硬貨は表でも裏でもＯＫ。それ以外なら、硬貨は表でないとダメですね。

（３）はまず、条件付き確率の基本は、分母が「とき」の手前、分子が「とき」の前後です。分母は、ベクトルｂの成分が全部１である確率ですが（２）の答え７／１２の３乗になります。分子は、さらにベクトルａが（１，１，５）である確率。目が決まっているので、サイコロは１／２１６です。あとは硬貨ですが、ａの成分が１のときは硬貨はどっちでもいいので、５のときだけ裏です。

（４）は（３）で規則がつかめれば出来ます。（１）で書き出していれば、全１５通りのうち、１が２つあるもの、１が１つあるもの、１が１つもないものに分けて計算すればいいと分かりますね。

１が２つあるもの（全３通り）は、硬貨による確率は１／２です。

１が１つあるもの（全９通り）は、硬貨による確率は１／４です。

１がないもの（全３通り）は、硬貨は全部表なので確率は１／８です。

これで確率の分子出すことが出来ますね。なお、分母は（３）と同じ。

　

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間12分。確率とベクトルか。（１）はベクトルあんま関係ないな。重複組み合わせで考える。（２）は上記の要領で。（３）まで見て、ベクトルあんま関係ないと気づく。ただの確率だわ。（４）は一瞬方針に迷う。（３）からして、硬貨の裏表の指定があるかどうかは、ａベクトルの成分に１があるかどうかってことやな。ということは全部書き出しておけばよかったな。改めてここで書き出し、１の数で場合分けして終了。

４．対策

広島大は、やることは典型的ですが、融合問題が多い印象です。問題にあたっていく中で、「これを使えばいい」と判断できる力が必要です。手法自体は、青チャートで十分網羅できていますので、まずは手法を一通りマスターし、その上で融合問題を多く解く演習をしましょう。数学IIIの計算はもう少し複雑なことが多いので、微積で計算練習を怠らずに。

頻出分野は微積、複素数平面、確率です。これらの対策は重点的に。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。

以上です＾＾

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