広島大学 理系| 2020年度大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は広島大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。

 

2020年大学入試(国公立)シリーズ。
広島大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





広島大学
(全5問、150分、記述式)

1.全体総評~やや易化だが、計算量は維持~

昨年から少し易化しました。2017年から難、易、難、易と交互に来ています。(そこまでの変動幅ではない) 後半の微積をを中心に、確率などもボリュームたっぷりで、全体的に計算量が多めのセットです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分。

2019年:150分

2018年:140分

2017年:160分

2016年:113分

2015年:145分

2.合格ライン

第1問は全体のセットを考えると簡単なので落とせません。
第2問は、複素数平面において直線の扱いは差が出るでしょう。計算も文字を含むので多め。
第3問は数IIIの微積分でキー問題。
やることは明確ですが、正確に最後までやり切れるかどうか。
第4問は数IIIの積分で、これもキー問題。第3問同様、方針は迷わないはず。計算を正確にできるかどうかか。
第5問の確率もキー問題。コツコツ調べないと最後は出すことが出来ないので、MP(調べる気合い)との勝負。

 

1番は押さえたいです。3番~5番で2完以上あれば、2番が出来なくてもボーダーに届くでしょう。時間的には余裕もあるので、65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問 【三角関数】面積の最大値、垂線(B,20分、Lv.2)

三角関数の式で三角形と長方形の面積の合計を表し、その最大値を求める問題。誘導も丁寧なので、やることは1本道のはずです。

(1)は2辺と間の角が分かっているので、余弦定理で求めるだけです。

(2)も大丈夫でしょう。三角形は三角比の面積公式です。長方形の方はAB^2が出てくるので、ルートも取れます。

(3)がメインです。a,bは定数扱いなので、変数部分を見ると、sinθ、cosθの1次式ですので、合成ですね。合成の3条件は1次であること、角度がそろっていること、sinとcosがあることです。合成で出てくる角度は求めることが出来ないので、満たす式としてcos、sinを用意しておくと、最大となる角度βに対するsinβ、cosβも出せます。

(4)は垂線の長さなので、面積媒介が原則でしょう。a,b、cosβの情報などから、(1)にあてはめてABを出します。キレイに出ますね。1521は倍数判定法で9で割れます。1521=9・169なので平方数と分かります。

あとは面積=1/2×垂線×ABとし、面積は面積公式で出せばOK。

 

※KATSUYAの解答時間13分。(1)は余弦使うだけ・・・よな?なんじゃこりゃ。(2)も出すだけ。ルート消える。文字多いな。(3)θだけが変数。a,b固定ってことやから、、、なんやただの合成やんけ。合成して終了。(4)垂線なら面積媒介やな。

☆第2問 【複素数平面】w=g(z)の軌跡、中心の軌跡(BC、30分、Lv.2)

複素数平面上におけるzの式の軌跡(円)と、その円の中心の軌跡です。直線が絡むので、直線の複素数平面表示に慣れてないと厳しいかもしれません。広大は昨年の複素数平面も軌跡でした。

(1)は帯分数表記にすると証明しやすいと思います。また、w≠1ならw-1を分母に出来るので、z=・・・に出来ます。

(2)からがメインです。直線上を動くということは、z=t+●iとおけるということです。このzがz+zバー=2tを満たすことが分かれば、あとは(1)の式を代入して式変形するだけです。分母を払うと、教科書にもある円のパターンです。wwバー、w、wバーの項について整理し、無理やり因数分解しましょう。

※tも絡むので計算は煩雑ですが、式が作れたなら最後まで行けば、差を付けることが出来ます。

(3)は中心の軌跡ですが、こちらは分母が実数なので実部、虚部にすぐに分けられ、x=1-1/2t+2、y=-1/2t+2 と簡単に媒介変数表示出来ますので、tを消去しましょう。

※KATSUYAの解答時間15分。(2)zは直線上なのね。これだと差がつく可能性高いな。tも残るから式変形もメンドウ。(3)は(2)よりはラクやった。

☆第3問 【微積分総合】極大・極小、定点を通る接線の本数、面積(B、25分、Lv.2)

今年も3番が微積分総合です。極大・極小やら接線の本数やら面積やら聞いてきますので、時間はかかりますが、出来る限り計算を合わせていきたいです。

(1)は微分して増減表を書くだけです。奇関数であることを活かしてx≧0だけ調べてもいいです。

(2)は点(a,0)を通る接線の本数。数IIでもよくあるパターンで、接点を設定して接線の式を作ってから、通る条件を代入し、方程式を作ります。その方程式の解の個数に帰着させる、と言う流れですね^^

a=・・・で定数分離してもいいですし、3次関数の微分とみなしても極値をとるxの値はすぐ分かりますので、極値の積の符号で攻めることもできます。p、qは解と係数の関係を用いるとp、q、qが解になりますのでp+q+q=aで簡単に出ますね。

(3)はqさえ出れば積分計算するだけです。

※KATSUYAの解答時間16分。微積分の計算問題やな。(1)はコツコツ微分。(2)もパターン。eの部分は消えるから・・・3次関数か、定数分離でもいいけど、1次の項ないから、そのまま極値の積がいいかな。(3)は簡単な面積計算で終了。(3)いるか?

☆第4問 【積分法(グラフ)】定積分計算、回転体の体積(B、30分、Lv.2)

3番に引き続き数IIIから。今度は積分計算が中心になります。回転体の体積を2度計算することになります。こちらも計算量が多いので、しっかり合わせられるかどうかで差が出るでしょう。

(1)はただの積分計算です。(2)は周期について述べたうえで、(1)のn倍であることを利用すればOK。いきなりn倍するのはマズイかと。

(3)も周期性から、1つの部分だけ着目し、それをn倍すればOKです。(sinx)^2といった三角関数の積分では、半角の公式などで次数を1次に下げてから積分しましょう。

(4)も回転体ならば絶対値の役割はほとんどありません。x(sinx)^2なので、三角関数の部分は半角で1次にし、xcos2xが出てくるので部分積分しましょう。比較的計算は長いので、慎重に。特に部分積分では、符号や定数倍をミスしやすいので、不定積分で積分したものを一度微分して確かめましょう。

※KATSUYAの解答時間17分。(1)(2)はさくっと。(3)(4)は計算がちょっとメンドウやけど、慎重に。三角の部分積分って符号ミスりやすいんよな。部分積分したところは微分して検算。

☆第5問 【確率】サイコロの目と硬貨の裏表、条件付き確率(BC、25分、Lv.2)

サイコロの目と硬貨の裏表に従って、ベクトルを2つ作り、その確率について求めろ問題。ベクトルは問題を分かりやすくするための表記なだけで、こちらがベクトルに関する手法や公式を使う場面はありません。従って、タイトルもベクトルは含めていません。

(1)は書き出してもいいですし、和が7であれば、a1+a2+a3=7となる自然数の組数として、重複組み合わせでもいいです。その場合は○と仕切りで考えましょう。(3)まで考えると、書き出しておく方がよかったでですね。

(2)は落ち着いて考えましょう。a1=1なら、硬貨は表でも裏でもOK。それ以外なら、硬貨は表でないとダメですね。

(3)はまず、条件付き確率の基本は、分母が「とき」の手前、分子が「とき」の前後です。分母は、ベクトルbの成分が全部1である確率ですが(2)の答え7/12の3乗になります。分子は、さらにベクトルaが(1,1,5)である確率。目が決まっているので、サイコロは1/216です。あとは硬貨ですが、aの成分が1のときは硬貨はどっちでもいいので、5のときだけ裏です。

(4)は(3)で規則がつかめれば出来ます。(1)で書き出していれば、全15通りのうち、1が2つあるもの、1が1つあるもの、1が1つもないものに分けて計算すればいいと分かりますね。

1が2つあるもの(全3通り)は、硬貨による確率は1/2です。

1が1つあるもの(全9通り)は、硬貨による確率は1/4です。

1がないもの(全3通り)は、硬貨は全部表なので確率は1/8です。

これで確率の分子出すことが出来ますね。なお、分母は(3)と同じ。

 

※KATSUYAの解答時間12分。確率とベクトルか。(1)はベクトルあんま関係ないな。重複組み合わせで考える。(2)は上記の要領で。(3)まで見て、ベクトルあんま関係ないと気づく。ただの確率だわ。(4)は一瞬方針に迷う。(3)からして、硬貨の裏表の指定があるかどうかは、aベクトルの成分に1があるかどうかってことやな。ということは全部書き出しておけばよかったな。改めてここで書き出し、1の数で場合分けして終了。

4.対策

広島大は、やることは典型的ですが、融合問題が多い印象です。問題にあたっていく中で、「これを使えばいい」と判断できる力が必要です。手法自体は、青チャートで十分網羅できていますので、まずは手法を一通りマスターし、その上で融合問題を多く解く演習をしましょう。数学IIIの計算はもう少し複雑なことが多いので、微積で計算練習を怠らずに。

頻出分野は微積、複素数平面、確率です。これらの対策は重点的に。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

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