東京医科歯科大学 講評 | 2022年大学入試数学
2022/05/29
●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０２２年大学入試（国公立）シリーズ。
東京医科歯科大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
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YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
東京医科歯科大学
（試験時間９０分、３問、記述式）
１．全体総評～医科歯科としては例年並みか～
実験系により規則が何となくつかめるタイプ、計算量が長いタイプが組み合わさった医科歯科らしいセットです。
前半の２問はどちらも時間がかかりますが、誘導が細かく設定されています。また、最後の問題は比較的計算量もすくなく、取り組みやすかったですので、得点には結びつきやすかったと思われます。
試験時間90分に対し、標準回答時間は110分。
2021年：解いていません(解いたら更新します)
2020年：140分
2019年：95分
2018年：120分
2017年：115分
2016年：120分
2015年：115分
2014年：105分
2013年：105分
2012年：115分
2010年：105分
２．合格ライン
第１問は（３）までおさえる。（４）は発想力と論証力が両方必要。７割答案でも書ければかなり有利。
第２問は計算タイプ。誘導が細かいので、時間との勝負。（３）キーか。（３）が出来れば完答可能。放物線の焦点の性質等を知ってると見通しがいい。
第３問はやることも比較的一本道で計算量も少ない。ここは押さえたい。
かき集めて全部で２完あればOKかと。60~65%ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
☆第１問 【三角関数など】取りうる座標の数（C,45分、Lv. 2）
三角関数で表された座標の取りうる場所の数を求める問題。進めていくと三角関数以外にもいろいろな分野の考え方が必要になってきます。誘導問題を解きながら最後の問題の一般化の準備に取り掛かれるかどうかがポイント・
（１）は全部図示するので、全調査するしかありません。
（２）も、i,jの大小の対称性を考えると10個だけですので、全調査すればいいでしょう。かぶるのは原点だけです。
（３）は中心がｄだけ離れた。２円の共有点の個数として考えればOK。中心間の距離と半径の和の大小の比較です。
（４）がメイン。それまでの小問で規則がつかめたかどうか。（１）と（２）で奇数と偶数で様子が違うのではないかと思うことと、（３）をどのように生かすかを合わせる必要があり、発想力を必要とする問題です。
（３）の活かし方ですが、Pの座標が、(cos●i、sin●i)、(cos●j、sin●j)の両方からの距離が１である点であることに気づけるかどうかです。そして、その2点が両方とも単位円上なので、ＭＡＸでも距離ｄが２であることもポイント。
奇数のとき、単位円上の2点の距離が２になることはなく、いかなるi,jをとったとしても、距離は2未満です。そのような点は2点存在しますが、片方は原点です。ｎが奇数のときにＰが原点になることはありませんので、i＜ｊを満たす組の個数だけ存在します。nC2通りです。
また、i=jのときはｎ個だけ存在します。全部でnC2+nです。
ｎが偶数のときは、単位円上の２点が直径になることがあるので、このときは原点だけになります。なので、i<jを満たすもののうちn/2通り分はすべて原点の1通りです。残りは奇数のときと同じ考えかたで、別の点です。nC2ーn/2通りです。
また、i=jのときはｎ個だけ存在します。全部で1+nC2ーn/2+nですね。
※KATSUYAの解答時間32分。だいたい医科歯科の問題は30分ぐらいかかる。
☆第２問 【式と曲線＋積分法】放物線の法線、角の二等分線、面積比（BC、40分、Lv.２）
2次曲線を題材にした問題。放物線の軸に平行に入ってきた光は放物線で反射するとかならず焦点を通ることが知られていますが、それを背景とした問題です。これを知っていると、（3）のrBがｘ軸に平行と予想がつくので見通しが良いです。
（１）は法線の公式にあてはめるだけです。陰関数の場合は、両辺をｘで微分してｙ’＝・・・にします。点(x,y)を代入して接線の傾きを出しましょう。
（２）は放物線を鏡としたときに、軸に平行に入って反射した光が直線ABとなるということです。直線ｙ＝√４ａが横線なので、nAの傾きからθ(負の角)を設定し、tanθからtan２θを出せば傾きは出ます。tan2θを出している途中で気づくと思いますが、a=１かどうかで場合分けは必要です。
出した直線ですが、最初に述べた通り焦点(1,0)を通りますので、知っている人は出した答えに(1,0)を代入して確かめられます。a=1のときもｘ＝１になり、焦点を通ります。(真横に入って反射して真縦に出ていく)
（３）は、Ｂで反射した光がどう進むかです。まずはABの式と放物線を連立してBの座標を出し、nBの傾きを出しておきましょう。
ここで、ＡＢの傾きとnBの傾きを見て、nb＝tanｕとでも置いたときに、2倍角tan2ｕの値がＡＢの傾きになることに気づきたいですね。これにより、ｘ軸に平行な直線がrBになると分かります。この辺りは、背景を知っていないと思いつきにくく、差がつくかもしれません。
（３）まで出来れば（４）の面積は単純な積分計算ですみます。S1の方は放物線と直線なのでｙ方向に積分すれば6分の公式が使えます。Ｓ２も普通の積分です。最大値を聞いていますが、一定値になるところがひっかけで、戸惑いそうですね。
2次曲線系は性質が多いので、ある程度知っていると便利です。特に焦点にまつわる性質は知っておきたいところです。
※KATSUYAの解答時間は26:30です。法線が二等分線になるように、、、やから光の反射の話と予想。見通しがたったので詰まることはありませんでしたが、文字ａを含んだままなので途中で計算ミス→検算で修正がちょこちょこ。
第３問 【微積分総合】導関数の式、定積分の値、面積（BC、25分、Lv.2）
最後は微積分総合問題。正体は分からないf(x)について、その性質から導関数の値や特定の部分の面積を出す問題。
（１）は性質を素直に式にすれば出せます。斜めの線を出すときは、ｘ座標の差と傾きをうまく利用しましょう。
（２）は（１）が出れば分子のルートの式の積分です。ルートの中は2次式ですが、平方完成することでasinθで置く形のタイプだと分かります。ルート2次式については、平方完成してasinθに置き換えましょう。
（３）は囲まれた部分の面積です。ｙ＝・・・の式で囲まれている場合は、まずｙ方向に積分することを考えることが原則。y=f(x)の正体は分かりませんが、単調増加であるなら逆関数x=g(y)が定義されますので、これでまず積分の式を書き、それからもｙ→ｘに置換積分しましょう。
結局（２）と全く同じ式になり、結果も同じ。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は13:48です。3つの中では一番簡単ですね。
４．対策～計算力は必須＋独特の問題を過去問で征服～
医科歯科大の問題は非常に独特です。小問で誘導しながらも、そのリフトに飛び乗るにはジャンプ力が必要。また、普段はIIIの割合も高めで、計算力もかなり必要。
出題分野については、数列、数学IIまたは数学IIIの微積、確率、ベクトルが比較的多めです。
なるべく早くIIIまで一通り原則習得を終えて、夏以降には量をこなしつつ、質の高い演習も並行したいです。仕上げ段階までこなして欲しいところですが、とにかく出題形式が独特なので、本学の過去問を徹底的に研究することで仕上げ段階としてもいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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