東京医科歯科大学 | 2020年大学入試数学

2020/03/12

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。

東京医科歯科大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東京医科歯科大学
（試験時間９０分、３問、記述式）

１．全体総評～昨年の反動で大幅難化か～

難化です。昨年は量的にもすくなく、調査以来最も短い時間でしたが、今年は難化で、必要な時間は調査以来最長です。

１番は発想力も必要ですし、３番の空間では空間を正しく把握する能力も必要。また２番の文字計算、３番の微分計算など全体的に計算処理能力も必要です。かなり厳しいセットだったと思います。

試験時間90分に対し、
標準回答時間は140分。最短時間だった昨年から、最長へ。

2019年：95分。

2018年：120分

2017年：115分

2016年：120分

2015年：115分

2014年：105分

2013年：105分

2012年：115分

2010年：105分

２．合格ライン

第１問は（１）止まりかもしれません。出来ても（２）までか。（３）（４）は厳しいです。

第２問がキー問題。全体のセットを考えると、発想はそこまで必要ないので、コツコツやればたどり着ける。ここで完答出来れば数学は合格かと。

第３問は空間の把握が出来ないと、（２）以降は全滅です。ここが正しくできたかどうか。

今年は１完半ぐらいがいいところでしょう。50％弱ぐらいでも大丈夫だと思います。

３．各問の難易度

☆第１問　【確率】硬貨の裏表、期待値（CD,50分、Lv. 3）

硬貨の表裏が変化する部分が何回あるかと、その確率を求める問題です。設定はかなりややこしく書かれていますが、ひらたく言えばそういうことです。

（１）はだらだら書かれているｆ（ｘ）の定義を読むことになりますが、表が出たら１増やし、裏が出たら１減らします。「条件３」についてですが、間は線分で結べ、ということです。

（２）からは難しいですが、N回投げたときに、間はN－１個あります。硬貨が異なれば極大か極小になりますし、同じであればそうはなりません。要はどの間も、確率１／２極値を取り、確率１／２で極値を取らないということです。

(３）はかなり難しいです。極大値がｋ回あるなら、極小値はｋ回かｋ－１回かｋ＋１回です。極値の数としては２ｋ－１回、２ｋ回、２ｋ＋１回になりますので、（２）用いることになります。真ん中以外は入れ替えを考えると、求める確率は1/2P(2k－１)＋P(2k)＋1/2P(2k＋1)となります。

そのまま答えても点数は多少あると思います（ていうか、ここまで出来れば十分）が、パスカルの三角形の要領で、これがCの１つの式に出来るところまで整理しておくと（４）がやりやすいですね。

（４）は名前こそだしていませんが、期待値を求める問題です。二項係数のシグマ計算ですから、二項定理の利用になります。また、ｋｎCkのようなシグマも、ｋｎCk＝ｎn-1Ck-1　の公式によって、ｎを前に出すとシグマ計算が出来るようになります。

これらを駆使すると期待値を出せますが、ここまでたどり着いた人は皆無でしょう。

※KATSUYAの感想：解答時間32分。文章がながい。要はf(整数)は硬貨の裏表で決めて、間は線分で結べってことな。もう少しなんとかならんのか＾＾；　(2)も、結局「直前の硬貨と裏表が異なるのがｋ回ある確率」ってことよな。こちらはすぐに思いつく。（３）はN＝９あたりで試してみて、場合分けを思いつくも、パスカルの足し算までたどり着かずに（４）で苦戦。（３）に戻って、係数１，２，１を見て、ようやくパスカルを思いつく。いや、これ難しい。（４）に再チャレンジして終了。

第２問　【複素数平面＋図形と式＋積分＋極限】直線表示、交点の軌跡、面積と極限（B、30分、Lv.２）

複素数表示された３本の直線について、交点の軌跡や面積、さらにその面積の極限まで聞いてきます。ごちゃごち融合されていますが、原則が使える部分も多く、本セットでは最も手がつけやすい問題です。全体のセットを考えると、ここで落とすと厳しい。

（１）は直線表示の証明です。複素数平面で効果を発揮するのは回転を表すことからも分かるように、円です。直線は複素数表示する方が分かりにくいので、成分表示して攻めましょう。

（２）は交点の軌跡なので、素直に連立してどちらもｍの式で表します。ｍの式で表すと、k1に直せることが分かるので、k1を媒介変数にするのがいいでしょう。媒介変数表示の軌跡は、媒介変数を消去すれば得られます。

（３）はまずC1とC2の交点を求め、Sを出します。Tについては、C1とF1が接することに気づかないと図が正確にならないです。正確に図示するとS+Tが接線がらみの積分で出せるので、ここからSを引いてTを出しましょう。

最後の極限はｋ１やｍが絡んだり計算自体は煩雑ですが、分数式の極限の基本変形に従います。分子・分母を見て分母の最高次数（√ｍは0.5次などと考える）で割れば見えるはずです。

※KATSUYAの解答時間23分。直線を示せ？成分表示して終わりやな。（２）は交点。円かな。でも（３）で面積聞いてるから違うか？とりあえず素直に連立。ｋ１出てきた。放物線だわ。意外。（３）は図示。C1とF1は接する感じかな。連立して予想通り。Tはメンドウやから引くか。極限メンドウやけど、三角とかも入ってないし、普通の式変形で行けるはず。原則通りに変形して終了。

第３問　【空間図形＋微分法】立体の体積、最大値（CD、50分、Lv.３）

最後は立体図形の体積に関する問題で、最後に数IIIの微分法が入ります。算数で出てきそうな立体で、ある程度把握できないと求積が難しいタイプです。こちらも（１）止まりの人が殆どなのではないでしょうか。

（１）最初は立方体に埋め込まれた正四面体になりますので、これは落とせません。

（２）以降はかなり難しいと思いますが、まずは立体の把握から。どこからみた図を書くかも工夫しないと、状況は把握しにくいですが、O-PQRに、３つの合同な四面体が付け加えられたものになります。

次にこの立体の体積が求められるかどうか。付けくわえられている３つは底面と高さにあたるものが見つかりやすです。問題はＯ－ＰＱＲです。ＯＰ＝ＯＱ＝ＯＲですから、数Ｉの三角比のところで出てくる、等稜四面体になります。Ｏから下した垂線の足ＨがＰＱＲの外心になりますので、外接円の半径としてＰＨを、三平方でＯＨを出しましょう。

こんなところに数Ｉの立体図形を盛り込んでくるあたり、医科歯科はやはり一筋縄ではいかないです。

（３）体積が出せれば計算は出来ると思います。微分して増減を調べればOKですね。最大となるｔの値だけを求めるので、そんなに大変な計算ではありません。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間30分。（１）はさくっと。（２）は・・・空間苦手だが、たぶんちゃんと把握しないとダメな立体くさい。３方向ぐらい書きなおして、ようやく概形が分かる。真ん中は、、、等稜四面体で出すしかないよな。いや、今年かなり厳しい問題多いぞ。（３）は微分して終了。