東京医科歯科大学 | 2018年大学入試数学

2018/03/07

●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年　大学入試数学の評価を書いていきます。

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２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。

東京医科歯科大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東京医科歯科大学
（試験時間９０分、３問、記述式）

１．全体総評～センスや発想力、試行錯誤能力が試される医科歯科らしいセット～

難易度は昨年並です。全発想力と論証力の必要な1番、図形的考察力が必要な2番、微積分の式変形、計算能力が必要な３番と、高いレベルでバランスの取れた良問のセットですが、試験場ではとても厳しいセット。

試験時間90分に対し、
標準回答時間は120分。昨年とほぼ変わらずです。相変わらずオーバー。

2017年：115分

2016年：120分
2015年：115分
2014年：105分
2013年：105分
2012年：115分
2010年：105分

２．合格ライン

今年も、どれも取りづらい。第１問の(１)は押さえる、（２）はキー問題。（３）はただのフィボナッチなので行ける。（４）は（３）の利用に気づきたいが、厳しいか。

第２問は(１)は取れる。（２）まではなんとか取りたい。(３)は厳しいか。

第３問は計算力勝負。第１問、第２問をそこそこに時間を残したい。（１）は行ける。（２）は右辺が逆関数の接線の式になっていることに気づけるか。（３）は積分計算よりも式変形能力がかなり試される。

第１問（２）、第２問（３）、第３問（２）あたりの出来で合否が分かれそう。１つは欲しい。

５０％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【整数＋数列】互除法、フィボナッチ数列（C,35分、Lv. ３）

ユークリッドの互除法を行う回数と、フィボナッチ数列の関係についてです。（１）は実際に互除法をやれば、すぐに規則が見えてきます。

（２）は差がつきそうです。互除法の最後から行くと見えやすかったかもしれません。｛rN、・・・r2、r１}が最も小さくなるのが、互除法を行ったときの商が１となる場合で、{0,1,2,3,5,・・・}とフィボナッチになっていくわけですね。

（３）はf_n+5　を漸化式で変形するだけです。これは行けると思います。

（４）は難しいでしょうか。最初の５つの和を計算すると259／120　となります。次の５つは、（３）の結果からその1/10以下、次の５つはまたその１／１０以下、、、、と続くということで、公比1/10の等比数列の和と仮定した数値（の無限級数）よりも小さいことを示すわけですね。

（３）をどう活かすかが少し見えづらい、難しい問題ですね。最初の５つを足そうと思ったかどうかですね。

※KATSUYAの解答時間24分。（２）は割とすんなり思いつきましたが、（４）のほうがたまたまに近かったです。とりあえずいくつかたしてみて、5つ目で分子が259になったのが幸いしました。証明すべき式と「259」で一致しているのだから、これを使うはずだと、強く思えましたね。

第２問・・・【空間ベクトル】球面が共有点を持つ条など件上の点、条件を満たす点の軌跡（C、45分、Lv.３）

医科歯科大お決まりの空間図形の問題です。数IIIが入っているわけではないですが、深い空間的な考察を必要としますので、今年も難しかったですね。

（１）はいいでしょう。外接円の半径の和が距離AB以上になるようにすればOK。２円の関係と同じです。

（２）は、S_AとS_Bがかぶらない条件での設定ですので、どの球面もかぶっていませんから、球の一部分の和だけとなります。

（３）は平面との距離の式を活用して式で押していくか、空間的な考察をするかですが、数式で押すなら点と平面の距離を求める必要があります（公式として用いてもOK）し、空間的に考察するにしてもある程度数値を出す必要があり、どちらにしてもかなり答案量が必要ですし、手がつかなかった人も多いかと思います。

空間的には、体対角線に垂直な平面を考えて、rが最大値より大きな値を取ると、S_A～S_Dのどれともかぶりのない平面が取れることを示せばOKです。私はこれで解きました。

数式処理であれば、Kさん、Sさんのやり方が詳細に書かれていると思います。Yさんは空間寄りなアプローチですね。

本大学はいつもそうですが、原則にあてはめにくくて、かなり数学的な考察力が必要な問題が多くて大変ですね。

※KATSUYAの解答時間30分。空間は苦手です。（３）の方針を立てるまで、そして説明にかなりかかってしまいました。

第３問・・・【微積分総合】方程式の解の個数、不等式の証明、逆関数、面積（Ｃ、40分、Lv.３）

最後は数学IIIの微積分総合で、計算力重視の問題になります。第１、２問が不甲斐ないなら、ここで押し切るしかありません。

といっても、すんなりいくのは（１）だけかと。方程式の解の個数なので、視覚化すればOKです。

Principle Piece III-36

f(x)=a　で左辺の増減を調べる

（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.39-42）

（２）からは逆関数になり、少しきつくなります。（１）の増減を調べる過程で、グラフの概形や凸性などまで把握しておくと、逆関数のグラフもイメージしやすいです。y＝xの上側にあるので、左辺≦中辺はほぼこれで示されたことになります。

中辺≦右辺が難しいですが、右辺がかなり怪しげな形をしており、y＝g(x）上の点(f(u),u) （←逆関数なので、これがg上にあります）接線の式にx＝pを入れたものです。

関数が上に凸なら、どの点の接線でも、グラフより上にあるはずですね。

（３）は、（２）までの考察でイメージがつかめてれば、状況をまるごとy＝xで対称移動させてしまうと見えたと思います。g（x）の積分は出来なくはないですが、すでに与えられているf（x）の積分の方が楽ですからね。

g（p）が残って困るかもですが、g（p）の満たす式を考えて消去してしまいましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23分。（１）の過程でグラフは凸性まで考えましたが、（２）の右辺に気付くのに少しかかりました。凸性まで考えて接線との上下関係に行き着かないのは、反省ですね。

４．対策～計算力は必須＋独特の問題を過去問で征服～

医科歯科大の問題は非常に独特です。小問で誘導しながらも、そのリフトに飛び乗るにはジャンプ力が必要。また、普段はIIIの割合も高めで、計算力もかなり必要。なるべく早くIIIまで一通り原則習得を終えて、夏以降には量をこなしつつ、質の高い演習も並行したいです。仕上げ段階までこなして欲しいところですが、とにかく出題形式が独特なので、本学の過去問を徹底的に研究することで仕上げ段階としてもいいでしょう。

出題分野は、昨年や今年のように、数列、数学IIまたは数学IIIの微積、確率、ベクトルがここ最近は多いです。

量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。