京都大学文系講評 | 2022年大学入試数学

2022/02/27 2022/12/18

●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２２年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

京都大学（文系）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～やや難だがまだ穏やか～

2021年はかなり穏やかなセットでした。そのときほどではないですが、今年も典型的なアプローチで問題が並んだと思います。理系同様に大問のみになりましたが、文系の方は小問のときより重くなっています。

出題内容は数IIが中心で、あとは難関大頻出の確率、ベクトル、数列といった感じです。

試験時間120分に対し、標準回答時間は110分。

2021年：96分

2020年：170分

2019年：125分

2018年：175分（ただし第４問で80分）

2017年：150分

2016年：115分

2015年：175分

2014年：110分

2013年：110分

2012年：127分

2011年：105分

2010年：145分

２．合格ライン

文理共通の第１問、第５問は共通ですが、やることはある程度決まっているので、文系もこれは確保したいです。
キー問題は第２問、第３問、第４問です。典型的な解法が多いが、思いつくかどうか。

第１問、第５問を確保し、真ん中の３問中１完以上は最低は欲しい。全体で３完は欲しい。

６５％ぐらいでしょう。

３．各問の難易度

第１問　【対数】対数値の評価（B,15分、Lv.２）

文理共通問題です。理系のエントリーをご覧ください。確保して波に乗りたいですね。

☆第２問　【場合の数】点の移動でのｎ回後の頂点（BC、25分、Lv.2）

頂点を点がｎ回移動した後の場合の数を求める問題で、漸化式が絡む問題です。場合の数や確率に漸化式が絡むのは最近は下火ですが、京大文系では２年連続の出題です。

確率や場合の数で漸化式を作りたいときは3つのことをセットで意識しましょう。

[1]ｎ回目とn+1回目の様子を詳しく見る

[2]求める部分以外の確率も設定する

[3]確率はすべて足すと１であること、対称性なども利用

まずは[1]n回目からn+1回目に移動することを考えると、DEFからの移動が発生します。なので[2]A,B,CだけでなくD,E,Fに移動する総数も考える必要があります。なので、今回はいっそ各頂点に移動する総数を全部文字で置く方が見やすかったと思います。

An+1＝Bn+Cn+DnなどをA,B,Cのみで作り、辺々を足すことで

A(n＋1)+B(n＋1)+C(n＋1)=2(An+Bn+Cn)+Dn+En+Fnとなります。ここで、[3]確率(今回は場合の数)をすべて足した場合を考えます。１回ごとに、どこにいても移動できる頂点は３つあるので、総数は3^n通りですなので、D＋E＋F＝3^nー(A+B+C) とできますので、結果的にanとan+1だけになります。

今回は階差型の漸化式となり、一般項は和の公式で出すことができます。

※KATSUYAの解答時間7:09。典型的な漸化式利用のパターンですね。頂点が多いので差がつきそう。

☆第３問　【微積分総合】放物線に直交する２接線、面積（B、20分、Lv.2）

微積分の問題で、放物線に直交する2接線を題材とした問題です。偶然にも、東大でも似たような題材の問題が今年文系で出題され増した。東大の方が計算がメンドウで完答が難しいです。

２接線が直交するタイプの問題は、以下のどちらかの方法で攻めます。

A．傾きを設定して解と係数の関係で攻める(積＝ー１の利用)

B．接点を設定して接線を求め、傾きの積ー１を利用する

今回は直線が分からない＋放物線が単純なので、Bの方法がいいと思います。東大のタイプだとAの方がいいです。

2接点、2接線を用意し、傾きの積がー１になることから、αβ＝－４とでます。また、２接線の交点のｘ座標を連立して求めることで、これによりα＋β＝３も出ます。(放物線の２接線の交点のｘ座標は２接点の真ん中であることは有名です)

この時点で和と積が出ましたので、対称式利用と予想がつきます。

求める面積も放物線と2接線で囲まれる部分で、典型的な1/12の3乗のパターンで、(βーα)^3が登場するので、和と積から出すわけですね。

放物線と接線絡みの面積は、(ｘー●)^2の積分→(ｘー●)^3/3の計算の流れで計算しましょう。なお、今回はαとβがきれいな数値(ー１と４)なので、そのまま数値にして計算してもＯＫです。

※KATSUYAの解答時間は7:59です。典型的ですね。

☆第４問　【図形と式】中点の軌跡（B、25分、Lv.2）

図形と式の軌跡からで、双曲線と直線との交点に関する条件から、2交点の中点の軌跡を求める問題。第３問と似たような感じの手法を使いますが、こちらの方が文字が多いので繁雑になりがちです。

中点の軌跡の問題なので、解と係数の関係の利用が思いつきたいです。直線Lと双曲線の交点は汚いのでα、βと置き、和と積を用意しておきましょう。

典型問題はこれで、あとは和と積を利用して中点のｘ、ｙ座標を出して文字を消去すれば軌跡が出せますが、今回はまだ2文字あります。それを問題文の条件で解消するわけです。条件式が1つあれば、文字は1つ減ります。(当たり前ですが非常に大事な原則です)

PQ/RS＝√２ですが、ナナメの線で出さずとも、全部Ｌ上にある直線なので、ｘ座標の差を比較すればＯＫです。これでａ，ｂの式が出ますので、好きな方を消去してください。

中点のｘ座標はα＋β/2、ｙ座標は－(1/α＋1/β)なので、どちらも対称式利用ですね。ａ，ｂのどちらかに統一したのち、その媒介変数を消去して軌跡を出しましょう。

※KATSUYAの解答時間は10:56です。また対称式か。ちょっと分野が偏っているような＾＾；

第５問　【空間ベクトル】垂直の証明、長さの最小値（B、25分、Lv.2）

文理共通問題です。詳しくは理系のエントリーをご覧ください。ちょっと計算はしんどいですが、やることは一本道なので真ん中の3問で不完全燃焼ならここで何としても解き切りたいですね。

４．対策

いつもは微積、整数、確率あたりが頻出です。確率は文系の場合は穏やかなのものが多いですが、n絡みも油断はできません。今年のように、理系の複素数平面に乗っかって、「類似問題」で複素数を出してくる可能性もあります。

パターン問題として習得しておけばすぐに解けるものも割と出題されますので、頻出分野のパターン問題は100％習得するつもりで演習しましょう(2022年の場合でいえば、第3問の直交する2接線、第４問の中点の軌跡は典型分野です)。微積は取りやすいです。青チャートなどの原則習得系の参考書をいち早く終わらせ、入試演習で類題を繰り返しつつ実力を上げていきましょいう。あまり一つの問題集を繰り返すよりも、いろんな問題に触れたほうがいいと思います。