東京医科歯科大学 | 2016年大学入試数学

      2017/03/02

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。

東京医科歯科大学です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。






また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。




東京医科歯科大学
(試験時間90分、3問、記述式)

 

 

1.全体総評~数学IIIの微積から出題されずだが難化~

難易度は、昨年よりやや難化。昨年よりも原則に当てはまりにくい問題が多く、数学的なセンスや発想力がかなり問われるセット。IIIの微積が出題されないという、非常に珍しい年になりました。90分ということを考えると、第3問の計算量はどうにかして欲しい。。。


試験時間90分に対し、
標準回答時間は120分。
2015年:115分
2014年:105分
2013年:105分
2012年:115分
2010年:105分

 

 

2.合格ライン

第1問は(2)まで、第2問は(3)まで、第3問も(2)までは押さえたい。どれもメインが残っているので、発想の第1問をとるか、計算の第3問をとるか。第2問は(3)の利用に気づけば勝ち。


60%ぐらいでしょうか。


3.各問の難易度

☆第1問・・・【整数】約数の和、完全数、1の位(C,35分、Lv3)

完全数を題材とした問題です。完全数は有名な題材ですが、全体的には発想力が必要で難しめ。(1)は、約数の総和の公式に当てはめ、1+p+p^2、1+q の性質に注意して絞ればOKです。(2)S(n)=n+1というのは、素数のときにしか成り立ちません。従って、素数でないことさえ言えればよさそうですね^^

(3)は難問。(2)と直接関係ないですが、この形をしていて、S(n)=2nとなるには、実は「a」が合成数ではないことに気づく必要があります。そのときに、2^a-1 と2^a の1の位を調べることで解決できます。しかし、これはかなり難しいですね^^;

1の位は、10で割ったあまりです。余りについては、いくつか調査して集計性を見つけるのが最も効率的でしょう。

 

Principle Piece II-79

余りの漸化式は周期性を調べる

(拙著シリーズ(白) 数学A  p.72)

※KATSUYAの解いた感想
完全数か。(1)約数の和が因数分解の形してるから、これを利用するのがよさそう。(2)は他に約数が1つでもあればいいから、a=pqとおき、他に2^p-1はあるとして終了。(3)は何をすればいいんだ?(5分以上手が止まる)とりあえず、少なくともありえる約数を足すと2nになった。ってことは、これで全部やから、少なくともaは素数か。これで1の位はしぼれそうやな。結構発想力がいるな。解答時間20分。

 

第2問・・・【空間図形+微積分】不等式の表す領域の体積の最小値(C、40分、Lv.2)

医科歯科大学が好きな、立体の体積の問題です。しかし、今年は積分計算自体に数学IIIの知識を必要とせず、逆に気づきにくい問題に見えたかもしれません。

(1)はいいでしょう、ぎりぎり、両方からはみ出ますね。(2)は意味がわかればどうってことはありませんが、表現が非常に遠まわしなので、意外と気づきづらいかもしれません。

(3)はただの回転体の積分です。積分式自体はただの2次式で、計算不要。(4)は(3)を利用します。図形的な考察が必要ですが、(3)で求めた部分と立方体、球をうまくたしひきすれば、実は割と簡単に出せます。z=t で切断して、、、などとおくと、rも変数な上にθもおかないと出せないので、かなり泥沼にはまりそうですが、最初は私もやってしまいましたし、本学受験者であれば逆にやってしまいそうですね。

 

※KATSUYAの解いた感想
なんか条件がごちゃごちゃしてて、難問の予感あり。(1)は瞬殺。意外とはみ出た図を書くのが難しい^^; (2)のr1はすぐに分かった。r2、r3はなんだこれ?でもここにそんな時間かかったら、(4)まで解ける気がしないから、もう少し簡単に考えたい。図を書いて考えてみる。あ、(1、1)が入ればいいのか。なるほど。じゃあr3は(1、1、1)が入ればいいのね^^ V(r1),V(r3)なら包含関係あるから簡単。
(3)はただの回転体。急に簡単^^; (4)はここぞとばかりにz=tで切断するも、rも不明なので撃沈。んー、これ積分で出さないのか。じゃあどうやって出す。てか、(3)は何のためにあった?ここで使うのか。あ、分かった分かった。立方体からはみ出た部分がこれなのね。各面ではみ出て、範囲的に共通部分がないから、6つ足せばいいのか。あとは足し引きで出せそうやな^^ これ、意外と気づかないと解けないかもしれんな。 解答時間28分。

 

第3問・・・【2次関数+積分】絶対値付き関数と定積分関数の最大、最小(B、50分、Lv.2)

絶対値を含む定積分関数の問題ですが、ただの計算マラソンで、場合分け→計算 ひたすらを繰り返すのみです。

(1)は、演算記号はとりあえず戻すとして、x=0、1、2の境目で場合わけです。パルス波のようなグラフとなります。

(2)はその関数を平行移動して積分ですが、区間を移動させたほうがいいでしょう。x-t=u とでも置けばOK。

(3)は展開すると、実はただの「s」に関する2次関数です。従って、係数部分を出して平方完成するだけ。しかし、その係数は(2)で求めた関数の定積分値なので、ひたすら場合分けと計算です。しかも、これが3回もあるので、結構膨大な計算量です。


本問の原則は、実質これだけです。

 

Principle Piece II-109

絶対値付き定積分 中身=0と積分区間を比較する

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.10-11)


(1)でグラフを書き終わっているので、きちんと使うように誘導されていますね。

※KATSUYAの解いた感想
なんかややこしそうな関数^^; いや、そうでもないな。ただ場合分けが多いっぽい。(3)まで見る限り、多項式関数のままやな。なんか去年か一昨年か、どっかで大量の場合分けと計算をした覚えがあるけど、その予感。(1)のパスル波はさくっと終了。(2)はまだ場合分けが少ないし、直線なのでラク。(3)はsの2次関数であることは見抜くも、係数が^^;これ、3回ともやるのかなりきついやろ~。でも時間の許す限りやるしかないんやろな。 解答時間29分。結構ギリギリか。

 

 

4.対策

医科歯科大の問題は非常に独特です。小問で誘導しながらも、そのリフトに飛び乗るにはジャンプ力が必要。また、普段はIIIの割合も高めで、計算力もかなり必要。なるべく早くIIIまで一通り学習し終えて、夏以降には量をこなしつつ、質の高い演習も並行したいです。形式になれるには、過去問を20年分ぐらいやっておきたい。

 



量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 整数 (第1問)

★ 数学II 微分(第2問)

★ 数学II 積分 (第2問、第3問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第1問)

★ 数学III 積分法 (第3問)

★ 数学III 積分法の応用 (第2問)
(回転体なので一応入れておきましたが、実質数IIです)

 

 

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