立命館大学 全学方式理系 (2/2) l講評| 2022年大学入試数学

      2022/12/18

●2022年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2022年 大学入試数学の評価を書いていきます。

※コロナ禍ということもあり、健康・体調の維持を最優先しておりますので、更新がゆっくりめになると思います。


2022年大学入試(私大)シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。




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立命館大学(全学方式理系:2/2)
(試験時間100分、4問、穴埋め型)

1.全体総評~例年並みに戻る~

昨年がかなり易化でしたが、今年は例年並みに戻りました。多くの問題で数IIIは絡んでいますが、微積のがっつり計算は今年も影を潜めています。ど第2問、第3問などは比較的計算量が多いので、ここで時間を取られると時間内に終わらないかもしれません。

出題範囲に三角関数系統が多い印象があります。2年連続です。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は115分【78分】(←穴埋め考慮)

2021年は75分【51分】(←穴埋め考慮)

2020年は105分【72分】(←穴埋め考慮)

2019年は125分【81分】(←穴埋め考慮)

2018年は125分【84分】(←穴埋め考慮)

2017年は115分【79分】(←穴埋め考慮)

2016年は107分【70分】(←穴埋め考慮)

2015年は125分【81分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン~うまく捨てて7割を~

第1問は細々しているが誘導が丁寧で、最後まで出来れば取りたい。

第2問は本セット最難問か。計算量が多めなのと、最後は誘導が少しわかりにくいので、厳しい。「ク」まで出来ればとりあえずOK。

第3問はキー問題。前半の対称移動も演習量で差が出る。後半も図形のイメージがすっとわけば完答できる。

第4問もキー問題。場合の数や確率は基本的に差がつきます。極限の部分は確率が出せれば取りたいところ。


単純な正答数なら7割がラインでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【微積+方程式+極限】2次方程式の解、定積分、極限(B、20分【13分】、Lv.2)

数IIIの微積やら解と係数の関係やら極限やら、いろいろ融合していますが、1つ1つは大したことありません。

最初は微分して整理するだけ。k→wに書き換えるのを忘れず。次は重解条件を式にするだけです。

[1]の最初も、解と係数の関係が見えますので、和や積を用意しておきましょう。2次の係数が1なら、解の差αーβ=√Dを覚えていると「オ」も速いです。異符号になる条件も、積<0で楽勝ですね。(両方が正、両方が負になる条件等も確認しておきましょう)

[2]は積分計算ですが、単項式の積分なので大したことはありません。極限も、式変形もほとんどなく求められます。最後も、解と係数の関係などから出せます。

 

※KATSUYAの解答時間は8:34です。

 

☆第2問・・・【図形と式+三角関数】放物線と円の共有点(BC、40分【27分】、Lv.2)

放物線と円の共有点に関する問題で、共有点に三角関数が含まれています。第1問に比べるとうまく融合されており、結果としてはきれいですが、計算はかなりキツイです。

本サイトの「入試標準演習」タイプにならそのまま載ってそうな題材です。

[1]はよくあるタイプ。放物線と円の連立では、x^2=・・・にして円の式に代入すると次数が上がらないで済みます。図を書いて視覚化することも忘れずに。ポイントになるのは、下の方で2点で接するときです。yについての2次方程式が重解を持つ条件になります。(yの解は1つですが、交点としてはこれで2つあります)

[2]はyについて解がMAX2個、それに対応するxがMAX2個あることからMAXで4個わかります。あとは実際に4個である例が1つでも見つかればOK。これも、視覚化していれば分かりますね。

[3]から、三角関数も絡んできます。ここからが本番。誘導も第1問に比べると少し飛んでおり、計算量も多めでギブした人も出るでしょう。

条件よりというのは、f(cosθ)=sinθ、f(cos2θ)=sin2θということです。左辺をg(x)を使って書き替えて、g(cosθ)、g(cos2θ)について解きます。なかなか合わなさそうですが、分母の形に合うまで式変形します。理系なら、分母に1-cosθを見たら1+cosθを掛ける式変形は、三角関数の極限でも出てきますね。

「ク」はただの計算ですので、よくわからなかったらここだけでも計算するのが良かったですね。3倍角は数学を入試に使うなら覚えておきましょう。

問題は「ケ」です。まず、aというのは不明だから置いてあるわけではありません。ただの傾きですので、g(cos2θ)-g(cosθ)/cos2θ-cosθとなります。長いから置き換えただけで、計算するときは必要です。

aにこの長い式を代入しつつ、さらにx=cos3θを入れてg(cos3θ)を計算します。途中で「ク」の結果が使えます。さらにcos3θ-1をかけてf(cos3θ)を計算します。cos3θ-1=4c^3-3c-1の因数分解も必要で、ここの計算はかなり長いです。

結果は非常にきれいで、sinθの3倍角の符号替えとなりますので、4点目として(cos3θ,-sin3θ)を通ることになります。これを利用して最後のグラフをかけということですね。

 

※KATSUYAの解答時間24:00。「ケ」の計算で最後に約分ミスって、「コ」の意図がつかめず。こんなに丁寧に図が書いてあるのに、4点目の目印になるような式になってない。もういちど「ケ」をゆっくり見直し、3倍角が出てくることを確認して確信に変わった。

 

☆第3問・・・【複素数平面+図形と式】対称移動した点、円、共有点条件、面積(B、30分【20分】、Lv.2)

2年連続で、第3問は複素数平面です。昨年に比べると計算自体はマシですが、図形がスムーズにイメージできないと後半はつらいかも。差が出るタイプです。

[1]は対称移動点を聞いています。アイウはさすがに簡単すぎでは^^; 教科書にそのまま載ってるので、落とせませんね。「エ」も典型パターンで、誘導もあるので正解できるでしょう。軸以外の対称移動は、回転→対称→また回転と覚えておきましょう。

[2]は円を対称移動させます。先ほどのエの結果を使ってほしいのか分かりませんが、そんなものを使わなくても、135°(45°系)の直線であれば、対象移動すればx座標とy座標が入れ替わる感じになるだけです。2円が共有点を持つ条件については、中心間の距離と半径の和、差の大小で決まります。また、PQの長さはPやQの座標を求めるのではなく、弦の長さですから、dとrと3平方で出せます。(d:中心と直線の距離)

後半も縦線に対称な移動なので、中心も簡単に出せますし、共有点条件はもっと簡単に出せます。「コサ」については、まずPMQは余弦定理を使って出します。MP=MQ=半径、PQは出してますので、すべてrで表せます。3辺が分かっていれば、変形余弦定理ですね。(rも約分できますので、不要です) 30°と分かりますので、共通部分も出せます。

最後は円がめっちゃ増えていきますが、比の値や、共有点の条件から横の円は交わらないこと、斜めの円は交わることを確認しましょう。明らかに五輪を意識したマークですね。(ということは2020年に作った?)  面積は5つの円から、共通部分を4つ引けばOK。

※KATSUYAの解答時間8:30。図形のイメージが湧くかどうかでもっとかかると思われます。

 

☆第4問・・・【確率+極限】順列、最大値、eの定義利用(B、25分【18分】、Lv.2)

最後は確率です。前半に場合の数、後半に極限も入っています。

[1]は場合の数です。最初の2つはさすがにいいでしょう。6P3か6C3かの違いです。後半は意外と差がつくか。ウは6×6×偶数3通りで=108通りと出ます。

「エ」は正答率が低いと思われます。足して3の倍数になるものを探せばOKですが、重複OKなので、かなり見落としが発生するでしょう。とにかく辞書式で慎重に書き上げましょう。111、114、123・・・など。答えは72個ですが、全事象の数が216なので、妥当と言えます。これで54個(1/4)とか出たときに、ちょっと怪しいかな?と思える感覚を身につけましょう。

[2]は最大値の話であることに気づきたい。最大値n以下=全部n以下と読み替えましょう。キの極限では、問題文にあるようにeの定義に従います。書いてあるのは丁寧ですね。eの定義式を利用した極限では、問題文でいう「m」の部分を必ず一致させます。

もしあってなければ、ムリヤリ合わせるわけです。分母が2nなのに指数がnなら、指数を2n×1/2とムリヤリ2nを作り出すことになります。基本は、指数をいじりましょう。

 

最後は、全部2n-1以下の場合と、Yn=2nになる場合を分けて足すだけです。極限も同様に計算します。極限において端数はゴミという発想をうまく使えば、穴埋めならすぐに出せます。記述だと式変形メンドウですけど^^;

 

「エ」を一瞬で解く方法もあります。小学生も使うワザです。


>> KATSUYAが販売している数学の問題集『Principle Piece』シリーズであれば、地道に数える方法も、このワザについても詳しく解説しています^^

 

※KATSUYAの解答時間は7:02です。

 

4.対策~数学IIIと数学Aを中心に~

今年も微積がかなり穏やかですが、例年はメンドウなものが出ますので、油断は禁物。また、「数IIIと数A」という傾向は継続すると思われます。数Aは確率、整数両方マークしておくべきでしょう。

ただし数学IIIの問題では、数列や三角関数(←今年は特に)などと融合されることも多いです。(今年も例にもれず)「IIIに取り組みつつ、IIBの公式などで不安が見つかったら、その時点でIIBの学習もやっておく」というスタイルがよさそうです。チャート(青色がいいでしょう)と、同レベルの入試問題集(本サイトでいうと入試標準レベルになります)をたくさん練習しましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでよさそうです。

以上です^^

 

■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版!)

数学A Chapter2~確率~ (第4問)

数学I・A ~原則のみ~

数学II Chapter2~複素数と方程式~ (第1問)

数学II Chapter3~図形と式~ (第2問、第3問)

 

 

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