大阪公立大学文系数学講評| 2024年度大学入試数学

2024/04/02 2024/04/28

※動画、画像が読み込まれないときがあります。その場合、画像なら余白を、動画は文字リンクをクリックしてください。

●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪公立大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２４年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２４年大学入試（国公立）シリーズ。
大阪公立大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

※お知らせ

Principle Pieceシリーズはほぼ全分野販売中＾＾　

イチから学べる『原則習得＋入試基礎演習用の参考書』の決定版！！

YouTubeチャンネルです　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を動画にしてみようと思います。

X(Twitter)です　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

大阪公立大学　文系
（全4問、90分、記述式）

１．全体総評～昨年よりは穏やかに～

やや易化です。大阪公立大学になってから2年、文系にしては厳しめのセットが続きましたが、今年は見てすぐに手が付きそう打と思える問題が増えました。それでも場合分けが必要だったり記述量が必要な問題が多く、なかなかきっちり合わせにくいセット。

分野的には確率と整数、ベクトル、微積分からで、バランスはいいですね。

試験時間90分に対し、標準回答時間は105分。

2023年：115分

２．合格ライン

第１問の微積分は比較的手が付けやすそうだが、ａの値で場合分けが必要であることに気づけるかで差がつく。
第２問は文理の類似問題で最後以外は取りたい。最後は文系なら捨ててもＯＫかと。
第３問の確率は差がつきそう。前半は計算の仕方次第で答案量が変わり、後半は試行して規則がつかめるかどうか。
第４問は(1)で意外と悩むかもだが、あとはただの文字計算問題なので正解したい。

第１問は場合分けに気づければ勝ち。第２問は最後以外を確保。さらに第４問も確保すればほぼＯＫでしょう。今年は65%強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問【微積分法】絶対値付き2次関数、面積の最小値（B,30分、Lv.２）

絶対値を含む2次関数のグラフと直線で囲まれる部分の面積の最大値です。同じ年の、同じ大阪の阪大文系１番でも絶対値付きの2次関数のグラフと直線で囲まれる部分の面積が出ましたが、こちらの方が手ごわいです。

(1)はグラフを書くだけです。１を境目に場合分けしましょう。2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)で、(x-1)を因数に持つことに気づけるとグラフを書くのはかなりラク。なお、グラフを書けばどちらにしろ分かります。

(2)は面積を求めますので、まずこちらの原則に従います。

Principle Piece

面積を求めるのに必要なのは「交点」と「上下関係」

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 積分法 p. 28参照）

上下関係は(1)でも書いたグラフから分かりそうなので、交点です。直線の式もa(x－1)となり、こちらも(1,0)を通るので、(ｘ－１)でくくれるにことにこの時点で気づけるはず。場合分けをして交点を求めると、ｘ＝１の他にａ－１、1+a/3が出ます。ここで、a-1は0<a＜2のときにしか存在しないことに注意。

場合分けに気づければ、0<a<2では6分の公式で求まる部分が2つ、a≧2では1つだけ出てくることが分かります。ａを適当に変えて直線を引くことで、場合分けには気づきたいところ。

面積は今書いたように、6分の公式が使える形をしています。結構たくさんありますので、きちんと確認しておきましょう。

Principle Piece

6分の公式が使えるパターン [1]放物線と直線　など

（すべての詳細は割愛。拙著シリーズ数学Ⅱ 積分法 p.30、p.32 参照）

(3)は(2)が出来れば微分して増減表を書いて終わりですね。場合分けがありますが、増減表はつなげて一気に書くといいでしょう。

Principle Piece

場合分けしても増減表はつなげて1つに

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 積分法 p.51 参照）

※KATSUYAの解答時間は15:11です。やることは1本道だが、場合分けが多いので時間は持ってかれる。

第２問【整数】整数、倍数であることの証明（BC、25分、Lv.２）

理系第４問とほぼ問題です。理系は最後に難しい問題がありましたが、文系はないのでマシ。

(1)は文系のみ。真ん中からｑを消去し、ａ＝２を代入し、上に代入すればOK。ｐ，ｑともに０でないので、１つに決まります。

(２)、(３)の１．と２．は、理系の(１)、(２)の１．と２．と同じ。理系の方を参照のこと。

☆第３問【確率】カードの数字の最高点、合計点（B、30分、Lv.２）

確率の問題です。ＡとＢが交互にカードを取り。取り終えた後の合計点や最高点についての確率を求めます。

(1)(2)はケース１について。うまく数えないと結構メンドウかも。

(1)はＡが５を取る確率ですが、くじ引きで５番だけ当たりと考えると、１番目、３番目、５番目の人があたりを引く確率なので3/5と瞬殺出来ます。くじ引きは順番に並べて左から取ると考えるとラクなんでしたね。

Principle Piece

くじ引きの公平性 → くじを左から並べて取ると考える

（詳細は拙著シリーズ数学Ａ確率 p.29 参照）

(2)は合計点が8以上ならいいですが、ちょっと試してみると、8以上の事の方がほとんどです。このようなときは余事象を考える方がいいですね。

Principle Piece

補集合(余事象)で考えると有効なのは

[1] 「少なくとも…」と言い換え可能 [2] 補集合の方が圧倒的に少ない

（詳細は拙著シリーズ数学Ａ集合と場合の数 p.13 参照）

3枚で7点以下になる組み合わせは１，２，３か１，２，４のみです。これもまともに数えるとメンドウなので、うまくかぞえたい。Ａが取る3枚の数字の組み合わせは順番を区別しないと5C3の10通りで、これらはすべて同様に確からしいことを利用するとすぐ求められます。

(3)(4)は０が入り、カードを入れ替えるという作業が入ります。ちょっとややこしいですが、頭で悩ますことなく、手を動かして試してみると規則がすぐにわかります。０がいつとられようと、0以外の数字はＡが2枚、Ｂが3枚とります。ケース１の場合で、ＡとＢの立場を逆転させただけです。

これに気づけば(3)(4)はともに(1)(2)の答えを１から引けばいいと分かります。

「手を動かして実験する」ことの有効性が分かるいい問題だと思います。ちょっと問題文が長いですが＾＾；

※KATSUAの解答時間は13:52です。ただ実験するだけやな。文章が長いだけで見掛け倒し感が強い。

第４問【ベクトル＋三角関数】直線と平面の交点（B、20分、Lv.2）

空間における直線と平面の交点に関する問題です。最初はん？となるかもですが、(2)は最初とあんまり関係なく解けます。

(1)はPQ上の点を1文字設定して表します。こちらの原則ですね。

Principle Piece

平面と直線の交点：直線に始点なしなら1-t,tの係数

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.35，37など参照）

zx平面なのでy座標が0になるようなｔを求めます。ｔに関する1次方程式になりますが、こちらに注意出来ますか？という問題です。

Principle Piece

文字式で割る際には０の場合に注意

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅰ 数と式 p.56など参照）

(1)は結局、「ｔの係数が０にならないようにしてくれ」といっているだけです。sinθ-cosθ＝０を解き、それ以外ということですね。合成するか、cosθで割ってtanθ＝１とするかです。

(2)はｔの係数が０でない範囲で、実際に交点を求めるだけです。２．はθが消えるハズなので、分子にも(cosθ－sinθ)^2のようなものが出るはずだと予想が付きます。これと、１－2cosθsinθを見れば変形には気づけるでしょう。

理系の範囲ですが、(2)２．により、交点はzx平面上で双曲線を描きます。

※KATSUYAの解答時間9:22。(1)は見た瞬間は「？」ってなった。線分？いや直線やろ？絶対交わるやろ？とりあえず解いてみて、ｔの係数０でないときを出す。図的には、、、PとQのｙ座標が同じときってことね。スッキリしたところで(2)(3)もサクッと終了。

４．対策

レベル的には7帝大レベルに近く。同じ大阪の阪大文系と比べても大きく劣らないと思います(年によっては阪大の方が簡単)。分野は数IIが中心ですが、ⅠＡの手法も当然使います。小問で刻まれてはいるものの、つながりがなかったりもするので、やりにくさもあります。式変形をしながら、前問とは独立しているのか、どこかで使えそうな式が見えるか、常に意識する必要があります。計算量も文系としてはしんどいものがありますので、計算は怠らずに行いましょう。

原則習得タイプの問題集で早めに手法を一通りマスターし、次の入試基礎演習の段階まで終えたら、融合問題を多く解く演習をしましょう。医学部なら、仕上げレベルまでやったほうがいいかもしれません。

なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。