早稲田大学 人間科学部(文系) 数学 講評| 2024年大学入試数学
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●２０２４年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(人間科学部A：文系)です。
２０２４年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(人間科学部A：文系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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YouTubeチャンネルです 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
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早稲田大学（人間科学部A：文系）
（試験時間60分、5問、穴埋め型）
１．全体総評～昨年とほぼ変化なし～
昨年とほぼ変化なしか、やや易化で、2022年から安定しています。
文理共通の3問は方針が立たない問題ではないと思いますが、計算量が多いものもあります。後半2題は今年は軽めだと思いますが、第5問の最後は気づかないと難しいかもです。でも昨年の第５問よりはマシだと思ったので、その分易化かなと思っています。空間ベクトルは４年連続で出題されています。
試験時間60分に対し、標準回答時間は86分【56分】(←穴埋め考慮)
2022年：88分【58分】(←穴埋め考慮)
2022年：90分【62分】(←穴埋め考慮)
2021年：106分【71分】(←穴埋め考慮)
2020年：101分【67分】（←穴埋め考慮）
2019年：87分【55分】（←穴埋め考慮）
2018年：61分【40分】（←穴埋め考慮）
2017年：83分【53分】（←穴埋め考慮）
2016年：99分【63分】（←穴埋め考慮）
2015年：107分【67分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン
第１問は小問３つですが、出来れば全部欲しいですね。今年は落とせないです。
第２問は意外と差がつくと思います。
第３問は空間ベクトルでキー問題。いつも通り典型パターン。そしていつも通り計算量が多いので合わせられるか。
第４問は簡単な微分法なので行けるはず。答えが2つ出るが、穴埋めなので片方がダメなことも予想がつく。
第５問はキー問題。最初は取りたいが、後ろは気づかないと取れないかも。
第1問、第4問、第5問の前半を取って、第２問か第3問が完答出来ればいけるでしょう。３完強ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
☆第１問(1) [共]【2次関数 or 微分法】4次関数の最小値（A、8分【5分】、Lv.1）
4次関数の最小値の問題ですが、2次式＝ｔと置くパターンとして2次関数でよく見かけるパターン。
因数分解や展開でもよく見ます。かけ算の順番を変えて、同じカタマリを探します。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 数と式 p.21 参照）
端っこ２つと真ん中２つでx^2+3xが見えます。なので、この最小値を求めつつ、これをtをおいてｔの2次式も平方完成します。
（詳細は拙著シリーズ 数学I 2次関数 p.40 参照）
ｔ＝ー１はtの範囲内ですので、今回は平方完成した式の後ろのー１がそのまま入ります。
第１問(2) [共]【図形と方程式】領域の面積（A、10分【6分】、Lv.1）
不等式を満たす領域の面積を求める問題です。こちらも出来ればさくっといきたい。
絶対値が入っていてうざそうに見えますが、よく見ると2乗と絶対値のみです。ということは、ｘ→ーｘ、ｙ→ーｙにしても同じですから、ともに0以上の部分(第1象限)をぺたぺた折り返せば領域は出来ます。
この手のタイプはうまく対称性を活かし、絶対値を外すとともに調べる量を減らしたいですね。
領域はハート型が上下にひっくり返っているような感じです。全部右側に寄せれば、半円2個と直角二等辺三角形ですね。
第１問(3) [共]【指数対数】条件式と式の値（A、6分【4分】、Lv.1）
指数に関する条件式が与えられており、そのときにある式の値を求める問題。
素直に行くならｘ＝、ｙ＝にして対数を持ち出して計算。
対数を持ち出さないなら、10の3x+6y-2乗を条件式を用いて計算します。
10^3x=25^3=5^6、10^6y=20^6=2^12・5^6 なので合わせると10^12になります。あと２引いて10ですね。
※KATSUYAの解答時間は計4:33。去年よりはかかっているけど、まあ軽め。(2)は意外とミス出る？
☆第２問[共]【確率】条件付確率（AB、15分【10分】、Lv.2）
今年は2番が確率。ｎ回取り出し、１～ｎ－１まで取り出したときに、ｎも取り出している条件付確率。
条件付確率の原則はもちろんこれ。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ａ 確率 p.27）
今回は、１～ｎ－１が全部出ている場合を、ｎも出ている場合と出ていない場合に分けますので、この時点で分子も計算出来ていることになります。原因の確率系でよくあるパターンですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ａ 確率 p.36）
１～ｎが全部出ている場合はｎ！です。１～ｎ－１までのみの場合は、どれかが２つ出ています。２つある数字の選び方、その時の並べ替えは同じものを含む順列で２！で割るだけですね。
※KATSUYAの解答時間は5:40です。実は、空欄に５９まで入れれることを忘れており、４９までだと思っていました(以前は４９までだったんですよね)。で、「え？絶対５１残るけど＾＾；」って思いながら３回ぐらい計算し、「確か変わったんやっけ？早稲田やから変えそうやし」ぐらいの感じで通過しました。ちゃんと把握しとかないとですね。
☆第３問【空間ベクトル】平面に下ろした垂線の足、長さの２乗（AB、20分【13分】、Lv.２）
空間ベクトルの問題。今年は直方体が題材。直方体の時点で結構安心感はありますが、無理数もあるので計算はメンドウ。
垂線や長さを聞かれている時点で内積絡みは確定です。空間ベクトルでは基本６量を準備します。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・Ｃ 空間ベクトル p.36）
今回はＯＡ、ＯＣ，ＯＤがいいと思います。直方体なので内積３種が０になることも大きいですね。
最初は平面OEGへの垂線。垂線の原則に従いましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・Ｃ 空間ベクトル p.39）
問題文通り、OH=ｓOE＋ｔOGとします。OE,OGは基本ベクトルで表します。あとはBH⊥OE、BH⊥OGとして連立します。
空間ベクトルの計算としてはまだマシな方なので、押さえたいですね。Hが出ればBHも出せます。
※なお、別解として座標でも取りやすいので、そっちもありです。私は座標で取りました。
※KATSUYAの解答時間は11:10です。座標でやり、最後の最後で長さの計算ミスって、え？形に合わない？ってなり、最初から見直し。めっちゃ最後の方での超凡ミスが見つかり、「なんでやねん」と自分で心の中でツッコミを入れてしまう。こういうところほど見直しても気づかない。
☆第４問[文]【微分法】極値条件、接線の傾きの最小値（AB、12分【8分】、Lv.２）
３次関数の極値条件から係数を決定し、接線の傾きの最小値を求める問題。定期試験にもありそうな問題。ａが２つ出ますが、１つが不適であるところがひねりとしてあるぐらい。
今回は問題文が親切ですが、極値をとることと、その値がいくつであるかは条件が別です。意識しましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.22）
条件からｂを消すとａの２次方程式になります。「え？２つあるけど」と思うかもしれませんが、片方は極値を持ちません。確かにf'(-2)=0とf'(-2)=1は成り立ちますが、x=ー2が、f'(x)=0の重解なわけですね。
極値を持つ方に絞れれば、傾きの最小値はf'(x)を平方完成すればＯＫ。
片方が重解になるようにうまく数値設定したなあと思いました。
※KATSUYAの解答時間は3:46です。原則通り計算。２つ出るやろうけど、たぶん１つは重解。数値的に６，１２の方と判断。
第５問[文]【図形と方程式】角度、２点間の距離（B、15分【10分】、Lv.2）
最後は再び図形と方程式から。角度と、条件を満たす２点間の距離を求めます。
最初ですが、穴埋めなので、ＯＡやＯＢがｘ軸と15°の角をなすことを用いてしまいたいですね。座標の値を４で割ったものは、明らかに15°、75°系の三角関数です。従って、ＯＡ＝ＯＢ＝４もすぐ分かります。(これ使います)
もしまともに角度を計算するなら、ベクトルとみなしてcosθ＝・・・の公式にあてはめるのがいいと思います。
後半は気づかないと厳しいかもですが、条件の角度がθの半分であることから、中心角と円周角とみなせます。従って、P、QはOを中心とした半径４の円周上にあります。すなわち、P,Qは2円の交点です。
これに気づけば勝ちでしょう。P、Q自体は必要ありません。PQを通る直線の方程式を求めます。円の式の辺々引くだけですね。
PQ、すなわち弦の長さは、こちらの原則です。中心とPQの距離を用います。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 図形と方程式 p.36）
ｒ＝２、ｄは中心(1,5)とPQの距離です。あとは計算できますね。
※KATSUYAの解答時間は3:25です。最初は穴埋めを活かして180-15×２で瞬殺。後半の75°からも150°を確信。２円の交点ってことね。あとは上記の通り計算sにて終了。また空欄に５５とか出てきたけど＾＾； あとで表紙確認しよう(59までOKでした)。
４．対策～確率＋IIBを中心に典型パターンを反復練習～
内容的には、1歩進んだ典型パターンが多めです。原則習得パターンを組み合わせるか、少しひねった問題という感じ。制限時間との勝負になりますので、数列の規則性の発見(2年連続で通用する手法)など、穴埋めならではの飛ばし方も練習しましょう。
文系はIIの微積(最近影薄いですが・・・)、三角、指数、対数、数列、ベクトル、確率あたりがよく出ます。
学習対策としては、原則習得タイプ→入試基礎演習レベルまでやれば、過去問は手がつきます。原則習得タイプは、問題を見た瞬間に方針が立つぐらい繰り返しやるか、そのレベルでいろんな問題に当たりましょう。さらに安定させたい場合は、入試標準演習までやりましょう。
なお、拙著Principle Pieceシリーズであれば、「原則習得」と「入試基礎演習」の段階を１STEPで終了させることが出来ます。それが実現できるように編集してあるのが、本シリーズです。
量をこなす演習：じっくり演習＝10：０でOK。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter３～２次関数～ (第1問(1))
数学A Chapter２～確率～ (第２問)
数学II Chapter３～図形と方程式～ (第１問(2)、第５問)
数学II Chapter５～指数関数・対数関数～ (第１問(３))
数学II Chapter６～微分法～ (第４問)
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第３問)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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