センター試験 数学II・B【2017年】の難易度、傾向は?

      2017/01/17

 

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2017年に行われたセンター試験の数学II・BをKATSUYAが解き、その感想や各問題の難易度などをアップしていきます。

評価指標

1.難易度 A(易)~E(難)

2.パターンレベル 
 Lv.1(習得していて当たり前)
 Lv.2(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.3(習得していなくてもしょうがない)

3.解答するまでの標準的な時間

です。これら3点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

 

 

センター試験数学Ⅱ・B(60分)

実際の答案ははこちらをご覧下さい^^


1.全体評価(難易度)~ワースト4に入る2015、2016からは脱却か~

2015年、2016年は過去20年で平均点がワースト1、ワースト4です。これで難化させたらワースト5に最近3年が入るのでそれはないだろうと予想していましたが、その通りになるかと思われます。

全体的にはそこまで変わっているわけではないのですが、難易の凸凹を修正してきた感じです。簡単すぎたものは難しく、難しかったものは抑えてきましたので、各大問の前半部分を中心に点数は稼ぎやすいセットかと思われます。ただし、最後までいくための計算量は昨年より多そうです。

なお、全体的に連立方程式を解かせる問題が目立ちました。

 

第1問[1]
三角関数は昨年よりやや易化。連立方程式だが、誘導が丁寧で解きやすい。最後の符号判定は慎重に。

第1問[2]
指数関数・対数関数は昨年が簡単すぎたためか、反動でやや難化。常用対数を用いておおよその値を評価させる問題あり。三角に続いて連立方程式を解かせる。

第2問は微分、積分で、昨年比微易化。曲線外から引いた接線の式を求め、面積の増減や積分計算を行うもの。やるべきことを読み取りやすいが、計算量は昨年に比べると多めか。

第3問は数列。ここ2年が難しく、2017年にようやく例年並みに。等比数列、等比中項を利用する問題で、本セット三度めの連立方程式。後半は対数と絡むが、ただの等差×等比の計算が見抜ければ最後までいける。

第4問は正六角形を題材とした平面ベクトル。普段書いている六角形(ベンゼン環の向き)と向きが違う。前半は誘導が丁寧だが、後半は自分である程度計算が必要。最後は計算量が少し多め。、昨年より難化。

※KATSUYA個人の見解に基づくものです。予備校の見解にひっぱられないように、ブログ掲載時点では予備校の見解を見ておりません。

■目標解答時間・・・77分 【53分】←穴埋め形式なら
(昨年解答時間・・・72分 【49分】←穴埋め形式なら)

※私の2016年の見立てが甘かったため、昨年とあまり変わらないように見えますが、2016年は見立てよりかかるものと思われます。

KATSUYAは38分で終了しています。(昨年26.5分)今年は途中の計算ミスが多すぎました・・・

 

2.各大問の難易度

第1問[1] (三角関数、三角連立方程式、倍角の公式、解と係数の関係、符号判定、昨年比やや易、AB、10分【7分】)

今年の三角関数は連立方程式ですが、昨年よりも見た目がおだやかで、定数「k」も入っておらず、具体的に解を探すための誘導も丁寧で、あまり詰まることなく進んだのではないかと思います。

最初は誘導にあるとおり、倍角の公式で変形します。これと②から、和と積が分かるので解と係数の関係が使えます。

 

Principle Piece II-18

 和と積の情報と2次方程式の解は結びつく

(拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.19)

 

2次方程式は、解の形から因数分解できると信じてやりましょう。絶対値の大小でどっちがどっちか分かります。

 

最後は符号判定です。もしcosαが負だと、かなり180°に近い鈍角になります(この感覚は大事!)ので、cosβが正でも負でも、βよりαの方が大きくなります。従ってcosαは正、②からcosβは正です。穴埋めのケタ数からも、実はどちらも分かりますけどね^^;

 

 

 
KATSUYAの感想

今年の三角は連立か。倍角で①を変形して、②は2乗。解と係数の関係が見え見えやな。2つ出るけど、、、絶対値が大きいほうがαか。最後は符号判定か。手前が合ってるとケタ的には明らかやけど^^; 一応確認。cosαが負だとβより絶対大きくなるな。OK。昨年よりラク^^ 解答時間2分。

 

第1問[2] (指数・対数関数(+図形)、内分点、連立方程式、対数のおおよその値、昨年比やや難、B、10分【7分】)

今年の対数は、図形の内分点と少し絡んでいます。昨年度のやさしさからは少し反動がありましたが、こちらも誘導は丁寧でしたので、原則を用いなければいけないような問題もなく、比較的解きやすかったと思います。

真数条件や内分点の条件はいいでしょう。三角関数に続いて連立方程式ですが、こちらも式変形の手順が書かれているので、詰まることなくp、qまでは出せると思います。

最後のおおよその値については、センター試験としては初。まずは与えられているのは常用対数ですから、まずは底の変換をします。log2=0.3010、log3=0.4771などを用いて、変換した値を計算していけばOKです。なお、log7は用いません。

log2√6なので、1+log√6 として、後半だけ変形すればOKです。ただし、最後に1足すのを忘れないように。1.3を選んだ人、いませんよね?

常用対数については、1桁のものは覚えておくといいでしょう。

 

※なお、今回の選択肢であれば、以下のような解法も可能。検算で出来ると安心ですね^^

求めたい値の2倍 2log_2_2√6=log_2_24 の評価をすると、2^4<24<2^5 なので、4と5の間。元の値は2~2.5の間。これに該当するものは6番しかないので、6番。

 

 

KATSUYAの感想

指数・対数はグラフ絡み?ここで図形絡むか。難しいのかな。いや、全然簡単だわ^^; てか、また連立なのね。こっちも誘導丁寧やし、点数取りやすいな。最後は、、、値を出させるのは初やな。とりあえず1だけ前に出して、log_2_√6だけ底の変換。結局、0.7781÷0.6020をやれってことね。 1.29・・・やからあとは1足して終了。解答時間4分。

 

第2問(微積分、曲線外からの2本の接線、3次関数の最大値、面積計算、増減調査、昨年比やや易、B、18分【12分】)

 

微積分は例年並みで、aの値によって図形の様子が変わるような昨年のタイプよりは穏やかでした。微分・増減の調査を2回やらされ、後半の面積計算は、理系の公式を用いないと計算量が少し膨れます。

(1)最初は、(a,2a)から引いた接線を求める問題。手順通りで、かつ原則通りです。見通しも立ちやすいですね^^円などでもそうですが、曲線外から接線を引くときは接点が重要です。

 

ULTIMATE Principle Piece 

「通る」よりも「接する」→接する問題ではまず接点をおく

(拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.26-28)

 

接点「t」でおいて接線を出し、それが(a,2a)を通るようにして下さい。ということです。式は因数分解できることを、やはり答えから予想しましょう。2a-1、1です。

a=1のときは重解なので、そうでないときは2本あります。接線の式の t に 2a-1と1 を入れるだけです。y=2xのほうは無視され、その後はややこしい方が最後までついてきます。y軸との交点 r は(誘導過剰で)y切片ですので、これが正になる条件をときます。

この下で図をかけば、OPRの面積Sも比較的容易に出せます。ORを底辺と見ますね^^ あとは微分して増減です。時短テクでも繰り返しお伝えしていますが、センター試験では増減表は不要です。最大になるときはある、ということなので、とっとと2/3のときを計算しましょう。

 

(3)は少し計算量が膨れる問題ですが、こちらの原則(厳密には、理系の公式)を用いれば少し(いや、結構)計算がラクになります。

 

Principle Piece II-120

 放物線と接線の絡んだ面積の計算

 [1] 放物線の式ー接線の式=a(x-接点)^2

 [2] (x-●)^2 の積分 → (x-●)^3/3 

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 pp.34-37)

 

放物線から①の式を引いた式は少しややこしいですが、そんな式をつらつら書く必要はありません。x=2a-1で接することはわわかっていますので、x^2の係数にだけ注意して、引いた式は (x-(2a-1))^2 と分かります。それを積分するので、そのまま3分の3乗にすればOK。3乗の展開公式だけで計算できますので、かなりラクです。「フ」に定数が入ると思いきや、aなのが若干のひかっけ?^^;

 

これも微分して増減を調べて欲しいとのことですが、先ほどよりは少し思考が必要。極値をとるaの値は汚いです。マイナスの方は明らかに範囲外なのでいいですが、プラスのほうはきわどく、先ほどの範囲の2/3を僅かに下回ります。従って、2/3~1の範囲では T’ は正なので、増加となります。

IAでもそうですが、√ の近似値を知っておくことはかなり有用であると分かります。1<√2<2 では本問は出来ません。

 

KATSUYAの感想

今年は普段通りに戻った感じがする。まず接線。曲線外からの接線で方程式。2つ出す。いたって典型。ややこしいほうだけ残すのね。 次はOPRの面積。3次関数になって微分→最大・最小の流れかな・・・当たったわ^^ Tは積分。接線絡みやから原則(裏ワザ)でいこう。てか、まともにやると結構かかりそうやけど^^;

「フ」が定数と思い込んだが故に、結果が合わないと勘違い。俺が計算すると定数が消えるんですけど・・・求める場所違う?いや、合ってるな。計算は?合ってるはずやけどなぁ・・・。あ、「フ」は「a」が入るのか。なんだ。 最後はまた微分して増減か。ん?ちょっときわどいので、慎重に評価して終了。Tの計算で合っているのにやり直してロス。解答時間10分。

 

第3問 (数列、等比数列、3項数列(等比中項利用)、対数計算、等差×等比の和、昨年比やや易、B、18分【12分】)

2015年は循環系漸化式、2016年は群数列と、受験生には非常に苦しい数列の問題でしたが、今年は3項の等比数列についてで、難易度が下がりましたが、計算量はこちらも少し多め。

最初はいいでしょう。計算するだけです。

メインは(2)から。x,r,a,bと文字が多いですが、落ち着いて考えます。x、xr、xr^2 の3項が並んでいます。その積がa^3 なので、真ん中のxr=a となります。等比中項の基本ですね。

 

Principle Piece B-4

 3つの数列の問題なら等差(等比)中項の式を利用する

(Principle Piece 数学IIB (原則のみ))

 

さて、ここからまた連立です。「②、③を用いて」とあることと、④の式からは「x」が消えていますので、xを消去しろ、ということです。 ③からx=a/r とし、それを②に代入して分母を払うと得られます。穴埋めは文字ばっかり入りますね。その次はただの実数解条件で、おまけです。

 

今回の試験で多かった連立方程式の解法のコツですが、本問は文字が多く4文字あります。条件式は2つです。従って、2文字まで減らせるはずです。

ULTIMATE Principle Piece 

条件式1つにつき文字は1減らせる

(拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.15)

出来上がった式はr,a,bの3文字じゃないか、と思うかもしれませんが、これで例えばr=・・・とすればa,bだけとなりますので、実質2文字になっています。

 

(3)は具体的にa,bを与えています。64r^2-272r+64=0 というごつい式ですが、こちらも因数分解できると信じてやりましょう。16で割るとよかったですね。

最後は対数が絡んできますが、ただ等差×等比の数列を作りたいだけです。等比数列は対数を取れば等差数列に出来ます。

 

Principle Piece B-5

 等差×等比の和は、S-(公比)Sを考える

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 pp.19-20)

この原則で最後も計算できますね。この手の計算はミスしやすいので、慎重にやりつつ、n=1を代入して32になることを確かめましょう。

 

KATSUYAの感想

今回は等比数列か。題材は簡単になったな。(2)は文字多いな^^; 流れを見て、何を消して欲しいのか判断。x=にして突っ込めばOK。(3)は値入れてコツコツ計算。最後はただの等差×等比ね。ミスが怖いのでn=1で確かめて終了。 解答時間9分。

 

第4問 平面ベクトル、正六角形、交点ベクトル、垂線のベクトル、内積となす角、B、昨年比難、21分【15分】)

 

今年は平面ベクトルの問題で、正六角形が題材です。普段書いている六角形と向きが違いますので、そこだけ注意すれば前半は比較的誘導も丁寧なので出来ると思います。

 

交点ベクトルの扱いは、両方の線分上にあることを利用し、係数1-t、tを利用するか、ベクトル方程式の公式でaベクトル+tdベクトル とやることです。後者の式で始点を合わせると前者になります。実質的には同じ。

 

原則は前者の方針で書いています。今回のセンターの方針は後者です。

Principle Piece B-35

 交点は1-s、sのベクトルを2つ作って連立

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.34~35)

 

これで前半のr、s、ONベクトルまではいけます。

後半は垂線をおろしていきます。PやHを書いていくと図が複雑になりますが、Hがどんな点で、どんな式を満たすかがわかればOKです。三角PCEの垂心ですね。

Principle Piece B-40

 垂心のベクトル 垂直条件を2つ用いて連立

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.38~39)

 

今回はCEに垂線を下ろすので、その垂線はx軸に平行で、Hのy座標はaと決まります。これで1つ解けたことになります。残りはx座標ですが、誘導がここはありませんので、これは自分で置きます。未知数はこの1つだけなので、あと1個条件があればOKで、もちろんCH⊥EPだとわかりますね^^

Hの座標にはaの式があります。Pの座標もaが絡むので、最後のcosの方程式は比較的複雑。OHの長さは√ が外れることにも気づかないと、最後までたどり着くのは難しいでしょう。

 

 

KATSUYAの感想

今年は平面ベクトル。円周上とみて、円絡みかと思ったが、全然違った^^; ただの正六角形。座標は瞬殺。交点はいつものパターン。誘導があるので親切。連立して終了。後半はHをいきなり聞く。そんな簡単に出せ・・・ないね、x座標を未知数でおいて方程式を作る。最後のcosの計算は√ が外れることには気づくも外した式のaに2乗が抜け、最後の形にあわず。絶対、a^2=● に出来るはずだよなぁ。うろちょろして時間ロス。気づいて終了したときには解答時間13分。うーん、今年は途中で計算ミスが多かったな。反省。

解き方はこちらをご覧下さい^^ 

センター試験 数学IA(2017年)はこちらからどうぞ

 

 

3.対策~教科書の基礎事項にも目を配る~

レベル的には、教科書の章末問題レベルです。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。

→ 分野別のセンター用参考書はこちらから

→ 過去問・模試のセンター用参考書はこちらから

 

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