慶應大学 医学部 | 2017年大学入試数学

      2017/02/24

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回慶応大学(医学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2017年大学入試(私大)シリーズ。
慶応大学(医学部)です。





問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。




慶応大学(医学部)
(試験時間100分、4問、ハイブリッド型)

1.全体総評~第1問に記述。前半穏やかも後半はいつもの慶應医レベル~

昨年より少し易化したかな、という印象ですが、もちろん相変わらずきついセットです。第1問は比較的取りやすく、名物の確率も今年は抑えめ。第3問と第4問はどちらもかなりきついです。計算量も後半を中心に相変わらず多めですが、前半が比較的マシだったように思います。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は185分【128分】(←穴埋め考慮)

2016年:200分【125分】 2015年:213分【115分】(穴埋め考慮) 2014年:165分

※本エントリーの【 】内は、慶応医学部受験者層のレベルを考慮していますので、その他の大学に比べて短めです。それでも、100分をオーバーしていますけど^^;

 

2.合格ライン(科目全体では60%)

第1問は今年は全部抑えられそう。確実に取りたい。論証も本学受験者なら抑えたい。
第2問の確率も、普段よりは考えやすいので、できればなんとか確保したい。最低でも4/6。
第3問、第4問は慣れない題材でキツイ。合わせて1完できればOK。

第3、4問の後半を捨てる代わりに、第2問にあてて完答できれば6割強とれそうです。



3.各問の難易度

第1問(1)・・・【指数・対数関数】指数不等式、3次不等式(AB,10分【4分】、Lv.1)

指数関数の絡む3次不等式です。絶対に落とせません。(1/2)^x=t とすれば、tの3次不等式ですので、因数定理などで因数分解しましょう。t>0に注意。

 

Principle Piece II-82

 (最小数)^x または (1/最小数)^x を置き換える

(拙著シリーズ(白) 数学II 指数関数・対数関数 p.9-10)

 

第1問(2)・・・【集合と場合の数+整数+数列】集合に属する自然数の和(A,10分【5分】、Lv.1)

「5で割って2余る数」または「7で割って1余る数」の和を求める問題で、これも簡単です。このぐらいの計算は一気にやりましょう。両方にかぶる数字は「35」までに1度現れ、その後は35おきです。この考え方は重要。3つしかないので、書き出しましょう。数列は等差数列の和ですね。

融合というほどのものではなく、難関中学入試でも出そうな問題です。

 

☆第1問(3)・・・【関数+微分】絶対値付き1次関数の最小値(B,20分【14分】、Lv.3)

一部、証明問題が入る問題です。第1問の小問に論証記述が入るのは珍しいですが、おかげで比較的ラクだと思います。1次式の絶対値の和については、本学受験者であれば一度ぐらい見たことがあると思われますので、題材のレベルとしては高いですが、出来ると思います。

与えれた区間では、|x-x_1|、|x-x_2|、、、、|x-x_(i-1)|まではそのまま外し、それ以降は符号を変えて外します。微分すれば定数項はなくなりますので、+xでカウントしているものが何個、-xでカウントしているものが何個あるか分かればOK。

それを元に、f(x)が最小値となるのが、中央値のときであることを示せ、というものです。中央値の取り方が、データの個数が偶数か奇数かで違いますので、分けましょう。偶数(n=2k)のときは、中央値のときというよりは、x_k≦x≦x_(k+1) の任意のxで最小値となります。ここに中央値が含まれていますね。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)はKO医とは思えない簡単さ。(2)は中学入試みたい^^; (3)は証明がある。ここで?1次の絶対値の和か。有名題材やな。真ん中らへんで最小ってことをきちんと証明する流れ。微分系数を穴埋めにさせて、その後は証明せよ、と。偶数と奇数で分けて終了。解答時間計2+2+11=15分。

 

☆第2問・・・【確率+数列】確率、漸化式、玉の入れ換え(BC、40分【30分】、Lv.2)

今年も出ました。慶応医学部の名物、確率と漸化式です。今年は例年に比べると易しめかもしれません。これでも易しめと言わざるを得ないあたりが、慶應医学部です^^;

ルールと初めの状態から、実は状態Aと状態Bのいずれかしかないと分かります(赤3個になったりはしない)。したがって、AとBの状態で遷移図を書けばすぐにpnの漸化式は立てられます。ここでは差がつかないでしょう。

 

慶應医学部の場合、いつもは3点セットで用いないと解けないことが多いですが、今回は一番上だけで済みます。

 

 

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

Principle Piece A-41

必要のない部分も文字でおいてみる

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

 
Principle Piece A-42

対称性、「足すと1」も利用

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

 

(2)以降は、漸化式の問題ではありませんので、ここからが差のつくところです。具体的なq4やr4は数えればOKでしょうが、ここから規則性を見出すことが出来るかどうかで、「え」「か」の出来が別れます。

Bが来れば次に間違いなくAが来ますので、「BA」をセットにできます。しかし、最後がBのときはこの限りではありません。したがって、最後にBが来る場合とこない場合で分ければ出来そうだ、という流れとなります。

出た式には、具体的に出したn=4を代入して検算しておきましょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
今年も18番の確率ね。やはり漸化式で来る。毎年よく考えつくな。しかも適度に難しいし。ルールと最初の状態で遷移図を書く。赤3なども用意したが、まったく不要なことが分かり、遷移図書き直し。逆にめっちゃ単純^^; 漸化式はそのまま終了、(2)はとりあえずq4を計算。B来たら絶対Aやな。あ、でもB最後かもしれん。危ない危ない、書き出して計算し、Bが最後にこないものは全て同じ確率になったので、qnを求めながら一般化して確かめる。OK。r4、rnもBが最後に来るかどうかで分けてうまくいき、検算もして終了。今年はシグマ使う系ではなかった分、かなりマシ。解答時間17分。

☆第3問・・・【式と曲線+積分法の応用】軌跡と極方程式、軌跡の通過する領域の面積(CD、60分【45分】、Lv.3)

軌跡(楕円になります)の問題で、後半は楕円の通過領域の面積です。楕円は斜めになっている上に、極方程式まで聞いてきます。

慶應医学部は他の大学に比べれば(r、θ)座標は割と好きですが、この極方程式Cと数学III(面積)が合わさると難易度がぐっと上がりますが、いろんな考え方が詰まっているので、考える価値のある良問です(←受験者はそれどころではありませんが)。

最初は、Rの軌跡です。楕円だということは分かっていますので、定義に戻って「どこ」と「どこ」の和が一定値になるのか探しましょう。図を丁寧に書いていれば、すぐにOR+PR=2と分かりますので、OとP(2焦点)からの距離の和が2となるような楕円になります。これで、長軸と短軸は出せますね。(出せない人、すぐに教科書で公式を確認!

次の極方程式は演習量が少ないと厳しいです。極方程式は「rとθ」の関係なので、原点からの距離「r」と、x軸から回った角度θを設定して、その関係式を導きます。楕円の場合は、2焦点と結んで△ORPで余弦定理考えると比較的うまくいきます。定義の「OR+PR=2」を使いましょう。

y座標はそれにsinをかけたものになりますので、微分して増減表で「お」まで出来ます。

「か」は捨てもんレベルです。こんなものを穴埋めにするのはかなり酷です(記述でも誘導なしだと地獄ですが^^;)。楕円の式xyの式でも、rθの式でもどちらでも出来ます。y(r)の取りうる範囲がx(θ)の値でどう変わるかを見るというのが大まかな流れですが、場合分けも必要で式も計算も煩雑です。試験場で最後まで解くのはかなり厳しいです。

 

※KATSUYAの解いた感想
軌跡の問題かな?あまり好きではないタイプかも^^; 楕円であることはヒントなのね。OR+PR=2やから、確かに楕円か。斜めってる時点でいやな予感しかしない。とりえあず長軸と短い軸は出す。S(1,1)の式は極方程式で出せと。ORPで余弦かな。焦点を極にとってるから式はすっきりするはず。よし。なったなった^^ 最大値は微分して増減でさくっと。最後は、、、うわ、通過領域か。これはキツイわ。試験なら捨てもん。とりあえず楕円は斜めってないので、xyの式で表してみる。y^2=の形には出来るので、0<t<2で取りうる範囲をxの式で表せば境界線が出そう。微分するもtの3次式となり、因数分解に苦労する。t=xの他に変なの2つ。場合分けか。これかなりきついな。x>0とx<0で領域の境界線が違うのか。両方とも、図形的には正しそうなのでこれで計算。解答時間34分。

 

☆第4問・・・【積分法の応用】回転放物面、水入れ+傾けて残る水の体積(CD、45分【30分】、Lv.3)

最後は、水入れの問題です。回転放物面を傾けて水をこぼすという設定です。容器から水をこぼす問題を1度もやったことがないとかなり苦しいタイプの問題でしょう。

「あ」は、容器Cの端っこ部分(√h、h)における接線の傾きを入れればOKです。言われればなるほど、という感じかもしれませんが、気づかないとさっぱりだと思います。

「い」は若干、範囲外の疑惑がありますが、断面をxy平面に投影したときの図形(円)の面積を求めて1/cosθ 倍するのが最もラクだと思います。T(a)が出せれば、「う」は出来ます。「え」も、T'(a)が0<a<2√h で正から負に変わればよい と分かれば、出来るはずです。ここまで取れれば大丈夫でしょう。


「お」は、放物線はまっすぐにしておき、水が斜めに入った状態で考えましょう。斜めの水面の面積を出しているため、その方向で積分、という発想にいきそうですが、積分方向は面と垂直である必要がありますので、これでは難しいと思われます。^^;

 ULTIMATE Principle Piece 

 断面と積分方向必ず垂直に

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.8

こちらの原則にしたがって、x=t、y=t、z=tのいずれかで切りましょう。

Principle Piece III-82

 不等式を満たす空間領域の断面図  → 何をtとおくか

[1] 出現回数が多い [2] 次数が高い

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.48)

回転放物面の上側はz≧x^2+y^2、斜めの水面は平面z=√h・xの下側です。原則により、xで切るのがよさそうですね。切断面は放物線と直線なので、面積は6分の公式で出せます。最後に断面を積分する際にうまく置換すると、問題文に与えられている式の結果を使えます。

計算量もやはり多く。見慣れないネタで差がついたかもしれません。

 

※KATSUYAの解いた感想
最後は水入れか。これも結構めんどくさそうやな。容器傾けるのはメンドウなので、水面を傾けることに。「あ」は接線の傾き聞いてるだけやな。「い」は、この斜めの部分を出せと。範囲外なのでは?まいいか、連立してx、yだけの式にし、投影図(円)の面積を出してcosで割る。cosはaで表せるな。「う」はそのまま微分して終了、「え」も符号の変わり目を調べるということはわかるも、計算は比較的メンドウ。「お」は原則に従いx軸に垂直に切る。最後の結果を使うために置換積分。これなかったらかなりかかるな^^; 解答時間26分。8分しか余ってない。

4.対策~癖と計算力の多さに慣れる~

傾向、形式ともに癖の強いセットです。確率と漸化式は名物で、微積と極限もボリュームの大きいものが出ます。計算力、演習ともに必要です。
高校2年生の段階でも、典型パターンの7割が習得済みであることが望ましいです。センターは余裕で9割とれるようなレベルにいないと厳しいでしょう。本学受験生の高2で、数IIIにまだ手がついていない人は、いますぐ独習してください。そんなペースでは本学部の試験には耐えれません。教科書ガイドと青チャがあれば進められます。
高3に入ったら、もう入試問題演習に入りたいところです。夏以降はさらにレベル高めの入試演習、を行い、仕上げ段階まで行ってから過去問、といった感じでしょう。理工学部もレベルや出題内容(確率と漸化式はかなり似ています)、形式が似ているので、使えます。

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。3年生になったらできる限りじっくり演習したいです。2時間でも考え込んでしまってもOKです。ただし、あらゆる手段(計算がかかると分かっていても、それで押し通してみる!)で手を動かしてみることです。答えにたどり着かなくても、計算力は着実にUPしていきます。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第1問(3))

★ 数学A 集合と場合の数 (第1問(2))

★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学A 整数 (第1問(2))

★ 数学II 指数関数・対数関数 (第1問(1))

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 微分法の応用 (第3問、第4問)

★ 数学III 積分法の応用 (第3問、第4問)

★ 数学III 式と曲線 (第3問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)

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