北海道大学 理系 | 2017年度大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2017年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~昨年の反動で易化、例年並みに戻る~

昨年やや難しかった北大理系ですが、今年はその反動で易化しています。第3問の複素数平面を除けば、良心的な(差がつかない)セットです。分野は頻出の微積、確率、整数、図形と式、複素数平面です。複素数平面は2年連続の出題。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は110分。今年は少し余裕があるかもしれませんが、適量。

 

2016年:135分

2015年:125分

2014年:130分

 

2.合格ライン

第1問、第2問は基本的なレベルで誘導も丁寧。取りたい。
第3問は複素数平面で最難問。(1)まで抑えたい。(2)は方針が立ちにくいか。

第4問は確率でキー問題。(2)と(3)は差がつきそう。
第5問はただの図形と式の計算問題。(2)、(3)でうまく変えてあるが、意図は分かりやすく取れる。



第1、2、5問を抑えて第4問もとれれば第3問は捨てても大丈夫そうですが、ボーダーは上がって70%ぐらい欲しい。

3.各問の難易度

☆第1問・・・【整数+式と証明】条件を満たす自然数(AB,15分、Lv.1)

n(n+1)+14 が平方数となるような自然数「n」の条件ですが、(1)の誘導があるおかげで(2)にそのまま活かせるため、かなり簡単になっています。全体的に易しめのセットなので、(1)がなければ適度に差がついたかもしれませんね。

(1)がないときのための原則を紹介しておきます。整数問題に関するアプローチの基本です。

 

Principle Piece A-65

 整数解問題 → 候補を絞って全調査する

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.45)


たとえば、本問の場合は、n^2+n+14 が平方数になるとしたら、(1)にあるようにnより大きい数字の平方数のはずですが、「nよりそんなに大きくはない」はずです。この感覚を身につけることが大事。(n+4)^2=n^2+8n+16 で、全ての項の係数が勝っていますので、これ以降はありえないでしょう。したがって、あり得るとすればn+1、n+2、n+3のいずれかの平方ということになりますね。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)がなければ差がつきそうやけど、1番ということもありかなり良心的にした?解答時間5分。

 

第2問・・・【微積分総合】最大・最小、不定積分、絶対値付き定積分(B、20分、Lv.1)

昨年に引き続き、第2問は微積分ですが、関数も単純で、(3)の計算をする際の情報が段階的に(1)と(2)で与えられており、昨年より簡単です。

(1)は微分して増減表を書くだけです。π~2πの間で、一度0になることがある、ということを確認するための設問と捉えると(3)に生かせます。

(2)は不定積分。xcosxは部分積分です。

Principle Piece III-45

 不定積分の優先順位 指数=三角>整式>対数

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.9)

 

(3)は絶対値付き定積分です。0~2πのうち、どこで符号が変わるのかを意識すると、(1)の増減表がいきてきます。π~2πの間で1度あり、かつ3/2πを代入してみると0になることに気づけば勝ちですね^^
 

 

※KATSUYAの解いた感想
簡単な関数。(1)は微分して増減調べて終了。(2)もただの計算。(3)は最初πと2πの間にあることは分かったが、交点が分からないかな、と思い文字でおいたが、消すことは難しそうなので求まるのかなと考え直す。3/2πか。じゃあ計算するだけやな。解答時間12分。

☆第3問・・・【複素数平面+図形と式】三角形の頂点、外心の存在範囲(BC、30分、Lv.2)

外心の存在範囲に関する問題で、具体的な数値がほとんどないため、難し目かと思われます。

外心なので「垂直二等分線の交点」と結びつけ、zが|z-α|=|z|かつ|z-β|=|z| を満たす必要があります。これとz=αβ を合わせるとα、βの存在範囲がわかります。逆もそのままたどればOK。

言われてみれば、という感じもしますが、式変形の余地が多く、色々といじれてしまうので、適切なタイミングでz=αβを代入できたか、というところがポイントとなります。

(2)は、(1)の条件によって、α、βはともに実部が1/2だとわかりますので、今度は成分に入れて軌跡の問題として帰着させることになります。垂直二等分線などの場合はx+yiで置く方法も有効です。

zの存在領域ですが、x座標にab、y座標にa+bといった対称式が現れますので、こちらの原則になります。a,bが異なる実数であることから、実数解条件(判別式D>0)がそのまま存在領域になるということですね。

Principle Piece II-61

 対称式絡みの存在領域は「暗黙の」実数解条件に注意

(拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.66-67)


※KATSUYAの解いた感想
全然数値はいってないな。数値入ってない複素数平面の問題、今年かなり多いな。(1)は垂直二等分線を式にしてzを代入し、|α|=|α-1|と出す。でも、必要条件に過ぎない。結局βについても同じ条件で、さらに逆も言わないとダメだな。意外と差がつくか。(2)は、αとβを成分にしたほうがいいかな。(1/4-ab、a+b) の存在範囲? 対称式に気づかず、「どこでも行けそうやけど」と考え込む。
通らなさそうなところを入れてみて、実数解条件に気づく。なんだ対称式利用か。なんで気づかなかったんだ。マダマダやなぁ。解答時間11分。

 

第4問・・・【確率】反復試行の確率(B、25分、Lv.2)

サイコロの目によって数直線上を移動するパターンの問題で、一般的な確率の問題です。昨年よりも簡単。

(1)は証明せよ、と言われると書きにくいですが、全て言葉で述べる必要はないでしょう。

10回目で10を超えるなら、9回までの和が9以下である→目は1以上なので、和は9以上である→9ぴったしで、全て1が出る必要が有り、10回目はなんでもいい

この流れでいいでしょう。

(2)は(1)の考え方を応用します。8回までの和が9以下である→8か9→8のときは次が2以上、9のときは次はなんでもいいですね。

(3)は3回しか投げませんので、2回目までの和と、3回目に何が出る必要があるかを整理すればOKです。2回目までの和は、さいころ2個ですから、書き出しが最も堅実でかつ早いでしょう。


Principle Piece A-7

 サイコロ2個 → 高々36通り 表を書いて整理する

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.20)

2回目までの和(4~9)を取る確率、および3回目に出るべき目と確率も表で整理しておけば明快ですね^^

※KATSUYAの解いた感想
この確率は比較的楽かな。(1)はとりあえず9回目まですべて1であることをきっちり言えばいいのかな。(2)はこれを応用すればいい。(3)3回なら2回目までで4~9か。書き出し確定。数字によって3回目に出ていい数字(確率)も違うから、これも表にしよう。
解答時間13分。

第5問・・・【図形と式】条件を満たす領域と三角形領域の包含関係(B、20分、Lv.1)

最後は領域の問題です。(2)と(3)でうまく設定されていますが、あまり差のつかなさそうな難易度です。最初は円または点を表す条件ということなので、平方完成したときの右辺が0を下回らないようにしてくれ、ということです。

(2)は、Dの中心と△ABCの各頂点との距離の最大値を上回ればOK。(3)は、各辺との距離の最小値を下回ればOKです。本学受験者のレベルなら、すぐに気づくと思われます。

模試にでそうな、いや模試よりも簡単な問題ですね。


※KATSUYAの解いた感想
最後は図形と式かな。条件式はただの円。この式なら中心は重心かな。(1)はワークレベル。(2)は頂点との距離で(3)は直線との距離か。うまく聞いてるな。でも適度に難しいわけでもなく、みんな出来そうやから試験としては微妙。解答時間11分。

 

4.対策

北大は旧7帝大の中ではかなり標準的かつ良問の組み合わせになっており、過去問自体が入試演習に最適です。もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。

また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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>> 2016年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学A 整数 (第1問)

★ 数学II 図形と式 (第3問、第5問)

★ 数学III 微分法の応用 (第2問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第3問)

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