大阪大学 理系 | 2018年大学入試数学
2018/03/01
●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１８年大学入試(国公立)シリーズ。
大阪大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
大阪大学（理系）
（試験時間150分、５問、記述式）
１．全体総評～処理量が多いセットでやや難化～
やや難化です。昨年に比べると難易の差は問題ごとにはあまりないですが、どれもそれなりの処理量を求められており、全体としてはかなり時間のかかるセットの印象です。
数IIIは第１問、第３問の２問で、残りは確率、空間ベクトル、方程式です。バランスはかなり取れていると思われます。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は165分。
2017年：150分
2016年：160分
2015年：165分
2014年：140分
2013年：145分
2012年：135分
2011年：170分
2010年：135分
だいたい制限時間前後ですので、阪大理系数学は適量と言えます。
２．合格ライン
第１問はうまく流れに乗っておさえたい。
第２問はキー問題。（２）をおさえられるか。
第３問もキー問題。（２）の証明と（３）の計算処理で差がでそう。
第４問は（１）（２）までは押さえる。（３）は図形的考察も必要で、ちょっと難しい。
第５問もキー問題。（１）は阪大理系なら押さえたい。（２）の方が差がつくか。
第１問と第４問（１）（２）を確保。（30点ぐらい）第２，３，５問で合わせて１完半以上（30点以上）は欲しい。全部（１）だけだと厳しいかも。60％強ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【微分法の応用＋極限】不等式の証明、取りうる値の範囲（BC,30分、Lv.2）
数IIIからの出題です。（２）はｘ→０での極限の利用に気づきたいです。
（１）は典型的な不等式の証明です。差をとって微分すればOK。
（拙著シリーズ(白)数学III 微分法の応用 p.44-47）
片方は微分した分子がｘ＋２－２√１＋ｘ などと出ます。符号が不明な場合は、これが０になるときを出してみればOK。重解ｘ＝０となり、接していることが分かります。
（２）でも、まずは微分です。微分した式には（１）の不等式を２乗したものが出てきますので、利用できます。単調減少が分かりますので、あとは∞と＋０での極限です。∞のときはいいとして、＋０のときは（１）の不等式の逆数で利用すると、はさみうちが使えます。
（１）を繰り返しうまく使えたかどうかがカギですね。
※KATSUYAの解答時間18分。
☆第２問・・・【複素数と方程式】相反式の性質と実数解条件（BC、35分、Lv.２）
相反方程式を題材とした問題で、良問です。
あるので差が付いたと思われます。
（１）は。ｆ（ｃ）＝０ならばf(1/c)＝０を示せばOKです。係数が対称なので、両辺をｃ^4で割るだけで示せます。ｃ＞０については、背理法です。ｃ≦０だと全項が０以上になり、最後の１があるので０になりませんね。
（２）は、4次方程式で解と係数の関係（係数比較）を用いることになります。1次の項を比較すれば、（１）で相加・相乗が見え見えですね＾＾
（拙著シリーズ(白)数学II 複素数と方程式 p.19 具体式は割愛）
（３）は難しく見えますが、未知数はbだけですので、普段通り相反方程式として解いてみればすぐに出来ましたが、どうでしょうか。真ん中の次数で割ってｘ＋１／ｘ＝t とおけばOKです。 t≧２なので、２以上の解（重解OK）が２つあるようにすればOKです。解の存在範囲でもいいですし、bだけ移項して定数分離でもOKです。
（拙著シリーズ(白)数学II 複素数と方程式 p.19 具体式は割愛）
※KATSUYAの解答時間18分。（３）は素直に相反方程式に持っていけば、もう少し早く解けたかな。
第３問・・・【微積分総合】媒介変数表示曲線の上下関係、面積（BC、30分、Lv.２）
微積分総合です。媒介変数曲線なので両方微分してx、yの変化表を作ればいいのですが、どちらも同じ「t」の値で最大値をとるため、その点でどのように曲線が変化するのか（上下関係）を（２）で考察することになります。
（１）は変化表を書くだけなので大丈夫ですね。
（２）がヤマになります。まずはx１とx２の満たす関係式を用意しておきます。角度で直接は出せませんが、sinx１とsinx２の関係式として出せます。g(x2)^2-g(x1)^2 の計算ですが、sinx1、sinx2だけになるように、2乗の項はsinに相互関係は寄せていきつつ、関係式を用いれば、かなり綺麗になります。
（拙著シリーズ(白)数学II 三角関数 p.17-18）
（３）は（２）によって上下関係がわかりますので、面積も求められます。媒介変数表示のときは、積分方法や「x」の動く方向などに気をつけて、符号を間違えないように。
（拙著シリーズ(白)数学III 積分法の応用 p.12）
被積分関数はかなり次数があがっていますので、半角などで次数を下げましょう。
（拙著シリーズ(白)数学III 積分法の応用 p.14-16）
※概形は、t＝π／２でとんがったような形になりますが、別にまるーく書いても上下関係があっていれば問題ありませんし、減点されません。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間25分。（２）の式変形に少し手間どう＋（３）で計算ミスし、面積が負になったので計算し直しでロス。
第４問・・・【空間ベクトル】正八面体の切断面の面積の最大値（BC、40分、Lv.2）
文理共通の空間ベクトルですが、理系でも（３）まで行くのは骨の折れる問題です。
（１）は、PQとRSが平行であることさえ示せればOKです。もし思いつかなければ、PR=ａPS＋bPQになるようなａ，ｂの存在を示せばOKですが、文字が多いので、こちらだと結構メンドウでたどり着かなかった人もいるか。
（２）は長さの最小値なので、成分出して2乗します。２変数2次なので1文字ずつ平方完成します。
（拙著シリーズ(白)数学III 積分法の応用 p.31）
ただ、sについて平方完成すると定数項しかのこりませんので、s＋tの値しか特定できず、s、tまでは特定されないです。それを特定するのが（３）という流れまで見れば、（２）の結果は納得です。
その（３）ですが、切り口がイメージできないとさすがに厳しいです。切り口は６角形ですが、台形２つに分かれること、さらにその高さの比がs：tになることまで見抜ければ面積の計算までいけます。ルートも入って煩雑ですので、結構難しいかもしれません。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23分。（３）の切り口は結構考えました。高さがs：tになることは自明ではなさそうなので、LMとBCDEの交点を出すことで一応証明までしたが、これが一番時間かかる。
☆第５問・・・【確率】確率と漸化式、連勝せずに勝つ確率（BC、30分、Lv.2）
最後は確率です。（１）と（２）はほぼ別の問題で、どちらもまあまあ骨があります。
（１）は確率と漸化式の典型的タイプで、こちらの原則です。今回はこれ１つで十分です。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
（２）の方がメンドウかもしれません。Bが連勝しないということなので、「BA」という並びがどこに入るかを考えることになります。先頭に入る場合だけ様子が異なるので、注意。p、q、１－pなどの確率がどのぐらい入るのかを調べる必要があるので、慎重にやらないと間違えます。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間２０分。（１）の方が７分ぐらいでやっぱり簡単。
４．対策
阪大は良問ぞろいです。融合型が多く、分野はまんべんなく出ます。中でも確率、整数、微積は頻出なので、重点演習が必要。昔の傾向からすると、複素数平面は東大や京大に比べると頻度は少ないかもしれませんが、出てないわけではないので油断はできません。
阪大は微積で空間図形のことが多いので、空間図形の演習も必要です。図形的な感覚よりも、数式処理で考察できることを重視しましょう。感覚だけでは、積分計算に持ち込めませんので。
原則の習得は早めに終わらせ、早い段階で入試演習へ移行したいところです。阪大数学は下記のように単科長年タイプの本もありますので、傾向つかむ上でも早めに購入しておきましょう。本格的にやるのは秋以降でもOK。先に入試標準レベルまでは最低限行い、できれば仕上げ段階まで行いたいところです。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
■他年度の、本大学の入試数学■
＞＞ 2010年度
＞＞ 2011年度
＞＞ 2012年度
＞＞ 2013年度
＞＞ 2014年度
＞＞ 2015年度
＞＞ 2016年度
＞＞ 2017年度
■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第５問)
★ 数学II 複素数と方程式 (第２問)
★ 数学B ベクトル (第４問)
★ 数学III 微分法の応用 (第１問)
★ 数学III 積分法 (第３問)
★ 数学III 積分法の応用 (第３問)
★ 計算０．９【IAIIB】 (計算練習帳です＾＾)
