大阪大学理系 | 2016年大学入試数学

2016/02/26 2017/02/24

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試(国公立)シリーズ。
大阪大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

大阪大学（理系）
（試験時間150分、５問、記述式）

１．全体総評

難易度は、昨年とほぼ変化なしか、微易化。完答できるところと、まあまあ取れそうなところに分かれており、全滅になる大問がない分。点数は稼げそうなセットです。微積総合の第３問は易しめで、典型題材も見られました。整数は難しいです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は160分。
2015年：165分
2014年：140分
2013年：145分
2012年：135分
2011年：170分
2010年：135分

だいたい制限時間前後ですので、阪大理系数学は適量と言えます。

２．合格ライン

第１問は文理共通。理系なら規則に気づいてしっかり確保したい。
第２問はキー問題。予選決勝法を迷わず使えて、かつただしく微分計算できたか。
第３問もキー問題。単純な微積総合だが、放物線と円なので差がつきそう。
第４問は難。（１）、（２）は食らいつきたいところだが、（３）は厳しい。
第５問は典型題材なので、ミスなく確保したい。

キー問題片方と第4問の（１）、（２）の勝負になりそうですね。65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【数列＋確率＋三角関数】三角関数、関数列、数列の和、サイコロの目（B,30分、Lv２）

三角関数を題材とした関数列の和に、サイコロの目の確率を加えた融合問題です。確率の導入に多少の無理を感じますが、調査してみないと分かりづらい部分などもあり、うまく融合されています。

（１）で具体的に作業して気づかせて、（２）で予測＋帰納法で証明といったところでしょう。三角関数なので、周期性があることにも気づけば、これもできます。

Principle Piece B-22

数学的帰納法は次の場合に使える
[1] 自然数nに関する証明であるとき
[2] 結果が分かっている or 推測出来る

（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57）

（３）は（２）の帰納法の結果を応用できます。サイコロ２個なので、全調査が早いでしょう。

Principle Piece A-7

サイコロ２個なら高々36通り

（拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.17-20）

※KATSUYAの解いた感想
なんか約束のふくざつな関数。１／ａ＋１／ｂってなんだ？（１）は実際に５までやるだけか。ここで規則を発見できればいいわけやな。おし、なんとなくわかったから（２）で帰納法で証明。周期12に気づく。（３）は（２）と同様に、でいいかな。サイコロ２個なら迷わず書き出し。解答時間18分。

☆第２問・・・【微分法】多変数関数の最大値・最小値（B、30分、Lv.２）

多変数関数の最大値・最小値が題材になっていますが、（１）があることで難易度が下がっています。これがなければ、Cでしょう。

まず（１）は、単純に１文字消去で微分して増減調査でいけます。なお、相加・相乗を用いてもできます。メインは（２）で、いわゆる予選決勝法です。x＋y＝c　と固定したときの関数は、少なくとも（１）の結果のときより小さい（予選を通過させる）ということです。ここで、１－４／３ｚが負であることに気づかないと、（１）では最小なのに、（２）では最大である意味とリンクしないです。一旦符号をひっくり返してもいいですね＾＾

（１）がなくてもできるようになれば、この手の問題はこわくないです。本問では（２）がいきなり出ても、x＋y＝cのときの最小値をまず求めるべき。x、yについては対称だからです。

ULTIMATE Principle Piece

2つが動く → １つを固定する

多変数関数に限らず、図形上で２点が動く場合など、分野をまたいで適用できる原則ですね＾＾

※KATSUYAの解いた感想
問題を両方見て、予選決勝法と確信。（１）は1文字消去で微分。（２）はなんで最大値か、リンクせず。１－４／３ｚの符号に気づいて、やはり（１）の利用を確信。さすがにそうだよな＾＾；　x＋y＝cで固定し、z＝１－cにして予選通過させて微分。なんか今年、分数関数の微分ばっかりやっているきがする。東大の第１問とか。適度に計算練習になるんよな、これ。解答時間19分。

☆第３問・・・【微積分総合】円と放物線の接点、回転体の体積（B、25分、Lv.２）

今年の積分はこの第３問ですが、ここ数年ではかなり穏やかな積分で、関数自体はただの整式です。（１）のａ、b、rを出すほうがメインでしょう。

放物線と円が接するというのは、どちらも（ａ、b）を通るということと、接線における傾きも等しいということです。

Principle Piece III-31

2曲線f(x),g(x)が接する
[1] f(a)=g(a)　　[2] f'(a)=g'(a)

（拙著シリーズ(白)数学III 微分法の応用 p.39～44）

本問では（１）において、その結果がbであることまで与えられていますので、式は３つできます。円のような陰関数の場合は、ａ，ｂを代入した式を作りましょう。（２）は（１）が出来れば、丁寧に計算するだけです。回転体なので、２乗すれば円の式も簡単になります＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
お、今年の微積総合は割とラクそう＾＾　円と放物線だと難しいか、、、いやそうでもないな。原則に従ってａだけにする。まともに３次方程式になるのはいやなので、単調性を述べる＋ａ＝１／２なら当たったので(笑)、「これだけ」と言い切って（１）終了。（２）はただの計算。　解答時間13分。

☆第４問・・・【整数】逆数の和、小数部分（D、50分、Lv.３）

整数の論証問題で、（１）、（２）はなんとか手が付くと思いますが、（３）はかなり難しく、試験場では捨て問です。

逆数の和とAnをかけたとき、さらに2^Nを書けることで、全て整数になることはちょっとした考察でわかります。１／２＾Ｎだけは奇数で、あとは偶数になることが分かれば、本問はとけますね＾＾

（２）は（１）を利用しますが、mが20と互いに素であるとは限りません(偶数かもしれません)ので、N=2と決めるけるのは早計です。（１）を利用して言えることは、N≦２が必要条件であることです。これに、S3だと２を超えないことをあわせて、n＝４、５、６、７で絞ります。絞ったら全調査するのが整数の基本ですね＾＾

Principle Piece A-66

分数系の方程式の解法はある程度しぼって全調査

（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.47-48）

（３）は難。何か方法があるわけでもなく、基本的に計算をしていきます。出すのは少数部分なので、確実に整数になるものは全て無視です。ですので、１／奇数は除けます。1/偶数の10個を足し、さらに奇数を全てかけ算したときに、分母（2^N=16）で割ったあまりが分かれば、それが少数部分となります。

まともにかけ算すると天文学的数字になるので、合同式を利用してどんどん小さくしていきましょう。しかし、A20S20とは、ちょっと数字が大きいですね＾＾；

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
整数問題。（１）をやっていて、数年前にどっかでみたような・・・＾＾；思い出せんな。まいいや、あとで調べよう。（２）は（１）利用やけど、m偶数かもしれんから、N≦２のみか。n＝１～７。多いな。３までだと１超えないからパスして残りを調査。結局m奇数なのね。（３）は最初、何か方法を考えようとするが、うまい方法が見つからない。てか、20個中10個は無視可能やから、10個ぐらいなら通分ガンバると決めて計算。計算過程で、16の合同式利用で済むことに気づく。なるほどな＾＾　でもちょっと数字でかくないか＾＾；　A12・S12ぐらいでいいような気がするけど。解答時間26分。