京都大学 文系 | 2018年大学入試数学

   

●2018年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2018年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2018年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(文系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





京都大学(文系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~捨てもんを除けば得点は稼げるか~

微難化です。第4問の捨てもんを除けば、落ち着いて処理すれば得点できるセットだと思われます。文系にしては計算処理が多く論証も必要なセットですが、京大文系は毎年こんな感じなので、対策をしていれば取れそうです。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は175分。(ただし第4問で80分)

2017年:150分

2016年:115分
2015年:175分
2014年:110分
2013年:110分
2012年:127分
2011年:105分
2010年:145分

難問(2010年、2015年、2017年にあり)を捨てれば、基本的には残り100分前後でほぼ一定なのも、京大文系の特徴です。

2.合格ライン

第1問は面積計算を合わせられるかどうか。やることは見えやすい。
第2問はキー問題。図形的アプローチで(1)を解ければ(2)はいける。
第3問は京大受験者なら対策済みを期待したい。
第4問は無理です。まさか文理共通がこの問題とは思いませんでした。理系でも捨て問。(1)だけとりましょう。
第5問はキー問題。確率ですが、少しルールがメンドウ。(1)、(2)ともにかなりギリギリの値であると気づかないと難しい。



第4問を捨てれば時間的には少し余裕があるはず。第1,3問は押さえて、第2,5問で合わせて1問分。第4問をつまみぐいすれば6割ぐらいです。

3.各問の難易度

第1問・・・【微積分総合】絶対値付き2次関数、接点など(B,20分、Lv.2)

絶対値付き2次関数と、もうひとつの2次関数のグラフが接するようにaを決め、面積を出す問題。状況は典型パターンです。

2曲線が接するのであれば、こちらの原則が使えます。

ULTIMATE Principle Piece 

 2曲線が接する →f(t)=g(t) かつ f'(t)=g'(t)

 

文字「t」が増えますが、式が2つできますので、a,tともに求められます。aを決定したあとで囲まれた部分について特定し、面積を求めます。放物線同士も接し、C2もx軸に接するので、こちらの原則で多少は計算をサボりたいところ。

 

Principle Piece II-120

 放物線と接線がらみの面積

 [1] 放物線-接線=a(x-接点)^2となる

 [2] それを積分してa/3(x-接点)^3 となる

(拙著シリーズ(白) 数学II 微分 p.34-37)

放物線同士でも同じ仕組みになりますので、ある程度はサボることが出来ます。交点に√が入っていることので、それでもまあまあ煩雑な計算になります。


※KATSUYAの解答時間13分。計算は2回見直しました。

 

☆第2問・・・【三角比 or 三角関数+微分法】図形上の線分の長さの最小値(B、25分、Lv.2)

正方形に線分を引き、垂直に等分線との交点などから長さを特定する問題です。

三角関数よりは三角比によっているかもしれません。ポイントは、直角三角形がたくさんできるので相似な図形が見えるかどうかということです。

Principle Piece I-54

 直角三角形から垂線を引く問題は、相似を考えてみる

(拙著シリーズ(白) 数学I 三角比 p.42)

直角三角形の辺に垂直な直線を引くと、その三角形と相似な三角形が中にどんどん出来ます(親子の三角形)。これを利用し、∠BAP=θが他にどこに現れるか、また、その直角三角形の辺を全てsin、cos、だけで(tanはcos、tanに変えます)表していけるかどうかです。

(2)は分母がsinの3次関数なので置き換えて微分して増減表です。θは0~45までしかとらないので注意。

※KATSUYAの解答時間11分。直角三角形と垂線が見えたので、原則を使ってさくっと終了です。

 

☆第3問・・・【整数】3次式が素数となるnの値(BC、20分、Lv.2)

理系と同じですので、理系のエントリーをご覧ください。


第4問・・・【空間幾何 or 空間ベクトル】四面体の2等分(D、80分、Lv.∞)

理系と同じですので、理系のエントリーをご覧ください。理系でもかなりキツイです。


☆第5問・・・【確率】カードに書かれている数の和と確率(C、30分、Lv.2)

文系の確率は漸化式ではありませんが、こちらはまあまあ骨があります。個人的には漸化式使うほうが簡単かも^^;

まずは状況を理解しましょう。毎回、何らかのカードが追加されますので、確実にn+1枚あります。

(1)(2)ともに見ると方針が立ちづらいですが、書いてある右辺の式が、かなりギリギリの値((1)は最大値、(2)は最小値)に近いところであると予想がつけば手が付けられそうです。

サイコロで言えば、サイコロn回なげて6n-1以上になっている確率は?と聞かれているようなものです。結構6ばっかり出てると分かりますよね

(1)では、最大値と比較しましょう。毎回0を取り出せばどんどん大きい数字が追加され、1+2+3+・・・+nとなります。この最大値と右辺の差は1しかありません。よって、「最大値か」「それより1小さいか」の2つです。

最大値は毎回0を取り、それより1小さいということは、最後だけn-1を取るしかありません。従って実はどちらも1通りずつですね。

(2)は逆に最小値と1しか違いませんので、まず最小値を考えます。最小値は最初0あとずっと1を取り出せばOK。ただし1のカードはどんどん増えているので注意。それより1大きいなら、0,1,1、・・・0、1・・・1,1のように、どこかで最初以外に0を1回とれば「2」が追加されます。あとは1を取ります。


「ギリギリに近い値で設定されている」タイプは、京大は過去にも出題があります(年度は忘れました。結構まえ)ので、無意識にこの考え方が身に付いているといけたかもです^^

※KATSUYAの解答時間13分。無意識に身に付いていた、というより過去の問題を思い出したため、(1)ってもしかして最大値ギリ?と思えたのがよかったです。

4.対策

微積、整数は必須。確率は文系の場合は穏やかなのものが多いですが、n絡みも油断はできません。今年のように、理系の複素数平面に乗っかって、「類似問題」で複素数を出してくる可能性もあります。

パターン問題として習得しておけばすぐに解けるものも割と出題されますので、頻出分野のパターン問題は100%習得するつもりで演習しましょう。微積は取りやすいです。青チャートなどで習得したのちは、入試演習で類題を繰り返しつつ実力を上げていきましょいう。あまり一つの問題集を繰り返すよりも、いろんな問題に触れたほうがいいと思います。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■


★ 
数学A 確率 (第5問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学II 三角関数 か 数学I 三角比 (第2問)

★ 数学II 微分 (第1問、第2問)

★ 数学II 積分 (第1問)

★ 数学A 平面図形 (第4問)

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