一橋大学 | 2018年大学入試数学
●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１７年 大学入試数学の評価を書いていきます。
※入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。３月中旬～下旬以降、少しづつ返信いたします。ご了承ください。
２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
一橋大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
一橋大学
（試験時間120分、５問、記述式）
１．全体総評～確率が復活。相変わらず発想力、忍耐力ともに要求～
一橋の難しさや質の高さは変わらず。難易度は、昨年並みです。
昨年なかった確率が復活しましたが、かなり地道な調査が必要。さらに第１問、第２問は発想力が、第４問は高度な手法の必要な問題など、相変わらず理系でも厳しいセットです。最後の第５問だけ異様に簡単です＾＾；
試験時間120分に対し、
標準回答時間は138分。昨年とほぼ変わらずですね。
2017年：135分
2016年：130分
2015年：150分
2014年：145分
2013年：125分
2012年：135分
2010年：125分
２．合格ライン
第１問も簡単ではないが、全体のセットを考えるとなんとかしたい。
第２問は発想の転換が出来ないと厳しい。
第３問はキー問題。（２）はかなり地道な調査がいる。諦めずに書き出せば、漏れたとしても部分点に期待でき、ぐっとボーダーへ近づきそう。
第４問もキー問題。このパターンを知っているかどうか。
第５問は取れる。
簡単な第５問が最後ですが、これと第１問、第３問（１）を押さえる。あとは目移りせず、なんとかなりそうなものに集中したい。書き出せばなんとかなる第３問でやはり頑張って、６０％を確保できればボーダーでしょう。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【整数＋数列】桁の和と数字の関係（BC,30分、Lv.2）
自然数nと、その桁の和S(n)との関係式から、元の数字nを求める問題。普段の一橋よりは易しい気もします。例年なら（１）もなさそうですけどね＾＾；
その（１）は大きなヒントで、５桁以上だと成り立たないことの証明です。「桁が大きいと左辺の方が全然大きくなりそう」という発想。「全然」は重要。かなりおおざっぱに評価してもいいのでは？という考えにつながります。
例えば６桁だとして、nの最小は１０００００だが、S（n）の最大は９９９９９９の５４。左辺が取りうる最小値よりも右辺が撮りうる最大値のほうが小さければ、どんな「n」でも等号は成立しません。
従って、「10^m≧270m＋２０１８」 を示すことになります。mは５以上の自然数なので、帰納法ですね。
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50～57）
（２）は（１）を利用しますが、２０１８があることで３桁以下でも全然ダメなので、４桁とぐにわかります。桁が特定できれば、a,b,c,dとおいて特定していけばOK。ａ～dが０～９しか取れないことから、こちらも評価していけば成り立つものが絞れます。係数が大きいものから特定するといいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.45～ ※一部割愛）
KATSUYAの解答時間１４分。方針は比較的すぐたったので、そこまで時間を取られていないかと思います。年号の絡め方がムリヤリな気がします＾＾；
☆第２問・・・【図形と式】弧と弦で囲まれた部分(弓型)の面積（C、25分、Lv.３）
弓型の面積の変化を捉えて、取りうる値の範囲を求めよという問題ですが、かなりごちゃごちゃ式をいじった人も多いと思います。
弓型の面積については、原則というか心構えとして、「扇形の中心角が有名角でなければ出すのは無理、ましてや一般的に出すなど、もってのほか」ぐらいにと思っておいても大丈夫です。三角形の面積を出すためにsinが必要なので。
今回は、弦が接線なので、傾きは「t」で表されます。傾きが文字なのに角度が有名角になるはずもなく、これを「t」や「θ」などの関数で表すのはまず無理です。
この「諦めの発想」に至ることで、発想の転換のチャンスが生まれます。単純に中心角が大きいほうが面積は大きいです（０°～１８０°に限る）し、弦の長さも長いです。弦が長い＝中心と接点との距離「d」が短い となります。
結局、距離dが短いほうが弓型の面積はでかいという、単純明快な事実を利用して進めれば行けたわけですね。
KATSUYAの解答時間１５分。弓型の面積やから角度がいるけど、、、これ表すの無理と判断し、発想の転換を上記の通りやりました。弧が大きいほうが面積が大きいことは図でOKと判断しています。
第３問・・・【確率】サイコロ３個と目の積の確率（B、35分、Lv.２）
サイコロ３個の目の積という、極めて単純な題材ですが、本問はちょっと忍耐が必要です。というよりは、試験場でどこまで書き出しを覚悟できるかを見られているように見えます。普段なら別に書き出せばいいので、あまり良問とは言い難いです。
（１）はいいでしょう。（１、１、６）か（１、２、３）です。
（２）は、場合の数として６通りになるものを探せ、ということです。（１）がヒントなのかどうかは分かりませんが、（●▲■）の組は１つあれば６通り、（●●▲）の場合は２つあれば６通りになります。これをもとに探せばいいわけです。
１２＝１・１・１２＝１・２・６＝１・３・４＝２・２・３ でも12が入っているのはダメ などとして６通りになるかどうかを数えるわけですが、これメンドウすぎませんか？
だったら、書き出したほうが早いです。大小の並び替えは放置すれば、ａ≦ｂ≦ｃの順になるのは５６通り（重複組み合わせの考え方。不明な場合は参考書等で今すぐ確認！）しかありません。５６通り「しか」と思うのか、５６通り「も」と思うのか、本セットなら合否の分かれ道といっても過言ではないかと。
（拙著シリーズ(白) 数学A 集合場合の数 p.２０）
サイコロ2個に関する原則というよりは、ある程度の総数しかないなら書き出してしまえ、という趣旨の原則です。
56通りなら、そんなに大したことはないと思います。あとは積と順列総数も書いておき、全部で６通りになるものを最後に書いておけばOKでしょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１８分。（２）は速攻で書き出しを覚悟。５６通りしかないなら。でも見直しもしていなく、順列１つだけミスりました。それが６通りだったので、解答に影響・・・＾＾；
☆第４問・・・【ベクトル】条件下における四面体の体積の最大値（C、30分、Lv.３）
なす角が１つ決められていたときの四面体の体積の最大値の問題。
成分が与えられているので、即座に数式の条件になおりますが、経験がないとこの数式を書いて手が止まったでしょう。
パターン的には、こんなかんじの問題です。数値は適当です。
a>0、b>0、（a+1）(b+1)=10 のとき、abの最大値を求めよ。
この手の問題は、等式から１文字消去してａｂに代入すると2次式／１次式になりますので、相加平均・相乗平均の関係に帰着できます。
（拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.19）
経験してないと見通しの立たない問題で厳しいですね。
本問はそれがさらにみにくく、p^2、q^2 が入っているので、体積も2乗してp^2、q^2が見えるようにするとよかったと思います。戻すときに2重根号になりますが、ここまで来れる人は外せますね。
（拙著シリーズ(白) 数学I 数と式 p.19）
KATSUYAの解答時間１１分。成分あるので数式にすると、上記形が見えましたので、あとは相加平均・相乗平均が見えるようにコツコツ式変形です。ミスもなく順調に行けました。
第５問・・・【積分法(II)】3次関数と2次関数の面積（B、18分、Lv.１）
昨日にエントリーした、北大文系の数学とかなり似た題材ですが、こっちのほうが全然簡単です。一橋にしてはちょっとしょぼいです。
（１）も３解のうち２解が決定しているので、残りの解が０＜x＜１にあればOK。
（２）は定積分f（x）ーg（x）を０～１で積分して０というお決まりのパターンです。計算も楽ですね。なお、答えだけなら解0、a-1、１が等差になるときなので、ａ＝３／２とすぐ出ます。検算ですね＾＾
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１１分。楽だといいながムダにかかっている。（２）の計算をケアレスミス。３／２のはずだが・・・やり直して発見。先日の北大文系の微積分の後だからか、簡単すぎて張り合いなし。
４．対策
頻出分野は整数、微積、確率です。まんべんなく融合してきますので、穴がないように対策しましょう。（今年確率なかったのは、まあまあ驚きでしたが＾＾；）
一橋の数学は理系で出題されても難しいタイプの問題なので、理系並みの対策をとる必要があります。青チャートを早い段階で終わらせ、入試基礎→入試標準レベルまでは行い、できれば仕上げ段階まで行いましょう。整数問題や確率・漸化式などは、旧７帝大の問題などで練習してても、ちょうどぐらいです。
一橋大は単科50年分のものなどがあります。ある程度演習をしたら、こちらを最新年度からさかのぼってやるのもアリでしょう。2005年までなので、これ以降は赤本で対策を。
