【後期】東北大学 理系| 2019年度大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^
後期の大学のうち、数学のある大学について評価を書いていきます^^



※前期にて合格された読者の皆様へ

合格おめでとうございます!どのような参考書に取り組んで合格を勝ち取ったかをコメントにて教えていただけると、これから受験する後輩の皆さんにとって非常に貴重な情報になります。合格した大学のエントリーのコメント欄から書いていただけると嬉しいです。

 

2019年大学入試(国公立)シリーズ。

東北大学(理系)【後期】です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東北大学(理系)【後期】
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~手のつけにくい難問が多く高難度セット~

昨年から難化で、ここ数年では最も難しい後期理系になりました。1番と3番を除き、類題経験があっても道半ば、類題経験がないとほぼお手上げに近い問題が並びます。

演習という意味ではぜひとも1回は経験してほしい問題ばかりなのですが、試験でそのタイプが多く出ると悲惨な結果になる人もいそうですね。

出題範囲は数IIIが2問で、残りは数IIが2問(微積+三角)、数B(ベクトル+数列)、数A(確率)なのでバランスが取れています。

小問はあるものの、2番、4番、5番あたりは(1)が出来ないと(2)以降も解きにくいため、点数には結びつきにくいセットです。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は195分。時間的にもオーバーしまくり。

2018年:145分

2017年:160分

2016年:160分

2015年:165分

2014年:180分

2.合格ライン

1番は決して簡単ではないが、全体のセットを考えると、ここを取らないと逃げ道がない。

2番は(1)は類題経験が必要。(2)は(1)を受け入れて解けばなんとかなるので、半分欲しい。

3番は文理共通。1番同様、これを落とすと理系は逃げ道なし。

4番は凸性を利用した有名性質だが、類題経験がないと厳しい。あっても最後までは行きにくい。

5番はキー問題。考えてたどり着けそうなのはこれぐらい。3で割った商になるときの出方の特徴が分かれば・・・。

6番は最初は行けるが、(2)は厳しいか。(3)は(2)を受け入れればラクですが、時間的にも(1)止まりでもOK。

1番と3番だけでも50分ぐらいかけてしっかり押さえて、あとの4問にどこまで食らいつけるか。2番と5番あたりに手がつけば合格に近付きそう。50%あればボーダーいきそうですね。

3.各問の難易度

☆第1問 【微積分総合(数II)】接線が直交する条件、面積の最小値(B,25分、Lv.2)

理系なので数IIの微積分がっつりです。よくある放物線と2接線(直交)の問題なので、理系の積分知識があればうまく計算をサボってここは押さえたいです。この後のレベルを考えても、ここを取らないとキツイ。

(最初数IIIにしてたけど、全体的に難すぎて数IIに変えた・・・?)

 

(1)はお決まりです。Pを「通る」ことよりも、Cと「接する」ことの方が重要。接点を設定して接線の式を立て、交点のx座標ががaになるとしましょう。(ULTIMATE Principle Piece) 積は直交条件から出ます。

 

(2)は長いですが、求める部分は、S1もS2も、放物線と2接線が絡む部分です(x軸も接線のため)。なので、(x-接点)^2 の積分を駆使していけば式はすぐ出ます。(Principle Piece II-120 数学II  積分  p.34-p.37)

接点s、tとおくと出た式は-s^3+t^3です(sは負)。t-sは対称式利用でもいいですが、(1)で出していますし、実際に引き算した方が早いでしょう。

a^2が小さい方が小さいので、a=0で最小です。S1とS2が同じ形しているときってことですね。


※KATSUYAの解答時間17分。(2)は面積の答えならすぐ分かるのに、記述だとインテグラルをつらつらと書かないとアカンから、時間はかかるな。接線がらみの積分を使わないと結構時間取られそう。

 

☆第2問 【三角関数+数列】等式の証明、三角方程式の解(BC、25分、Lv.3)

シグマを含む三角関数の等式の証明と、それを利用した三角方程式です。

(1)は比較的有名な式ですが、パターンレベルとしてはかなり高めで、類題経験があったかどうか。初見の人はぜひパターン問題として身につけましょう。やり方としては、積→和の変形をすると、真ん中がごっそり消える形になります。

シグマの計算は「公式にあてはめられないなら真ん中ごっそり型のはずだ」という考え方を常に持っておきましょう。(Principle Piece B-7 数学B  数列  p.23-24)

あるいは、nに関する等式の証明なので帰納法でも証明が可能です。(Principle Piece B-23 数学B  数列  p.50-57)どちらにしても積→和による式変形が必要です。

 

(2)は(1)を受け入れればできますが、sinx/2=0のときはcoskx=0とならないので注意しましょう。

 

※KATSUYAの解答時間8分。(1)は有名な証明問題なのでさくっと。(2)は(1)利用。sinx/2を掛けてるから、これが0になるときは確認しないと。危ない、これだとダメなのね。

第3問 【ベクトル】正四面体、長さ、内積の計算(B、25分、Lv.2)

正四面体上にあるP,Q,Rについて長さや内積の値を吟味する問題。空間で長さや内積なので、計算(展開計算ですね)は多めですが、ただ計算を頑張るだけです。ここを押さえないと他で取れないので、ここで頑張りたい。

 (1)はまずPQ→を基本ベクトルでしっかり表しましょう。空間では3つの基本ベクトル以外は使わわないことです。(Principle Piece B-51 数学B  ベクトル  p.63) P,QはOA上の点、BC上の点なので、実数s、tなどを設定すればいけます。長さは2乗しますが、展開計算は慎重に。

(2)も、ORがABC上なので、1-u-v,u,vなどの係数を設定して内積をとります。展開計算は慎重に(私は最初ミスってます)。BC上であれば常に最大値1/2なので、その範囲でcosθの範囲を出します。

ベクトルでcosθなので内積の式を利用ですが、内積も1/2で決定、PQも決定していますので、ORの長さ次第ということになります。

※KATSUYAの解答時間18分。(2)で内積の計算ミスった^^; x、yががちっと決まるのは問題文的におかしい。もう一度やり直してBC上ならどこでもいいと分かり終了。空間の内積の展開は嫌いです。

☆第4問 【微分法(III)】関数の凸性と不等式の証明(C、40分、Lv.3)

Jensenの不等式と呼ばれる有名な問題です。こちらもレベル高めのパターン問題で、類題経験がないと厳しいでしょう。

(2)の事実と、f''(x)>0であることは、どちらも関数が「下に凸」であることの性質であり、同値です。従って、これらのどちらかが成り立てば下に凸であると言えます。

証明自体はググれば出るぐらい有名ですが、tの関数として解くならば平均値の定理が必要なので、演習したことのある人もちょっと戸惑ったかもしれません。

p'(t)を計算すると、f(y)-f(x)や、y-xなる項が出てきます。y-xでくくると見やすかったかもですが、これに気づいたかどうか。

x<c<yとなるcを用いて、(x、yの大小は設定して問題ない)第2次導関数が正であることから、f'(x)<f'(c)<f'(y)が言えます。真ん中は平均値の定理によって、「f(y)-f(x)/y-x」に変えれます。これで分母を払えば、2つの不等式がそのままp'(0)>0、p'(1)<0となります。

(2)では、p'(t)=0となるtが0と1の間にあるのでしょうが、これが1つしかないことをはっきりさせなければいけません。そのためには、p'(t)が単調減少であることを言います。もう一度微分すると負であることが分かりますので、これで解決です。あとはp(0)=p(1)=0なので、増減表を書けば正と言えます。

(3)は(2)を利用するのですが、なかなか気づきにくく、難しいです。私もかなり考えましたが、a,b,c,dに1,3,9,13など(かなり)適当な値を入れてみて、(2)をどのように使うか分かりました。一般では書きにくいので、この数値で仕組みを見ておきます。私はこんな感じで発想にいたりました。

等差っぽいと何かいやなので、a=1,b=3,c=9,d=13ぐらいで試すことに。

示したい式はf(12)+f(6)>f(8)+f(10)です。

12、6,8の数値を見て(2)を適用したければ、8が12と6を2:1に内分することから、

1/3・f(12)+2/3・f(6)>f(8) (t=2/3を代入)

12,6,10の方は内分比が逆になるため、

2/3・f(12)+1/3・f(6)>f(10) です。(t=1/3を代入)

辺々を足すことで、うまく左辺も係数が1になる。内分比が逆になるところがミソなのだろうと考える。

これを一般で議論することになり、実際にうまくいきます。ただ一般となると、文字も多くてかなりしんどいですね。


※KATSUYAの解答時間28分。今度はJensenか。なんか知ってないとキツイ問題多くないか?(3)は上記のように考えてなんとかたどり着く。(3)は知っててもキツイな。

☆第5問 【確率+整数+数列】コインの表裏で与えられる漸化式と確率(C、40分、Lv.2)

コインが出たときの表か裏かで、a1、a2、、、、を決めていき、その値がどうなるかを求める問題です。問題文や値の取り方からして2進法表記がいいのだろうと気づけばなんとかなりそうですが、この変換が出来るには相当量の演習が必要です。

得点を2進法表記するにあたり、表が出れば左に0(最高位ですが、0を書くことにする)、裏が出れば左に1を書きくわえていけばa_nを表す数値になります。これさえ見ぬければ、(1)は出来ますし、(2)も2^100/3の商がどんな表記が分かればいけます。

以下、下線部は2進法表記です。

(1)は、0101010101となればOKです。等比の和として考えれば「(2^10-1)/3」となりますので、これが商となります。

(2)は(1)で気づきたいところです。まず2^100/3を超えない最大の整数の2進法表記が必要。(1)から、その表記が010101・・・・01(100桁)であることは想像がつくでしょう。あとはこれを超えないように、0をどこに4つ入れればいいかです。上の100桁表記とにらめっこして、

00・・・・・(98回中2回0.どこでもOK)

0100・・・・(96回中1回0、どこでもOK)

010100・・・(あと全部1)

となります。この確率を分子におき、分母は100回中4回表が出る確率です。(Principle Piece A-39 数学A  確率  p.32) 最後の計算はまあまあうまくサボらないと、結構しんどいです。
 

※KATSUYAの解答時間26分。2進法表記の仕方に気づかずとりあえず10回やれば0~1023までの全ての値を取ることを示して、(帰納法)(1)も出方が1通りであると説明。あとで2進法で0か1を加えればいいと気づいた。この時間を節約出来ればもっと早くできたなぁ。

第6問 【複素数平面】等式の証明と図形的条件の証明(C、40分、Lv.3)

最後は複素数平面で、今年の傾向である抽象度の高い問題です。(2)がコアでしょうが、これがまあまあ難しく、複素数特有の「新たに生成される条件」を使えたかどうかです。

(1)は、どちらも展開が出来るので、どちらも変形するだけです。(Principle Piece II-2 数学A  確率  p.12) 

(2)が難しい。①と(1)から、右辺第2項が0になることは分かります。さらに、共役をとった式も成り立つこともポイントです。新たに生成される式として、共役もとっておくことは大事です。(Principle Piece III-93 数学III  複素数平面  p.8) 

示したいことを式にすると、w2-z2/w1-z1が実数であることです。実数の証明は共役と等しいことを示せばOKです。(Principle Piece III-94 数学III  複素数平面  p.10-11) 

先ほど得た式から、ある程度までは近づきますが、最後にw1w2バー、z1z2バーなどが出ます。これが②と結びつかないので、詰まったことも多いのではないでしょうか。②だけではなく、①と合わせることで、z1z2バー=w1バーw2などが得られます。(これも共役を取ります) これらも合わせて、ようやく証明できます。

(3)は(2)の①、②から|w2|=|z2|も言えます。これと証明した事実を用いればAB、CDはともに垂直二等分線がOを通り、それが一致しますので、ABCDはAB,CDの中点を通る直線に対称な等脚台形になります。


※KATSUYAの解答時間19分。(1)は展開するだけ。文字多いしメンドイな^^; (2)はとりあえず右辺第2項が0になること、あとは②か。どう使うかよくわからん。実数の証明やから共役で差をとるか。②が出てこないな。右辺第2項と合わせるしかないな。共役も原則通り取っておく。うまくいった。(3)は上記の通り言葉で説明して終了。

4.対策

基本的には前期と同じです。前期のエントリーをご覧下さい。前期よりは難しい問題が多い傾向にありますが、構成や問題の特徴はほとんど変わりません。

分野的には、A、B、IIは確率、数列とベクトル、三角関数が好きなようです数IIIは微積は1題ありますが、あとはいろいろ出ます。

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

 

 

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■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第5問)

★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学II 微分法 (第1問)

★ 数学II 積分法 (第1問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第2問、第5問)

★ 数学III 複素数平面 (第6問) 

★ 数学III 微分法の応用 (第4問)

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