【後期】北海道大学 理系| 2016年度大学入試数学
2017/03/15
●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)【後期】です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾今回は、後期の大学についての評価をUPします。
２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(理系)【後期】です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
北海道大学（理系）【後期】
（試験時間100分、４問、記述式）
１．全体総評～前期同様に難化、新課程の複素数平面はレベルが高い～
昨年より難化。前期同様、問題のレベルが全体的にあがっており、計算量も多めで、苦戦した受験生が多発したと思われます。複素数平面は前期・後期の両方で出題され、いずれもレベルとしては高めで差がつきそうです。
試験時間100分に対し、
標準回答時間は115分。
第２問、第３問にかなり時間がかかり、制限時間オーバーです。
2015年：105分
2014年：100分
２．合格ライン
第１問は抑えないとマズイ。
第２問は（１）にどこまで手が付くか。後回しが正解。
第３問は（１）は取る。（２）以降はキー問題で、経験の差が出そう。
第４問もキー問題。題材としてはちょくちょく見かけるが、初見だと解けるかどうか怪しい。
第１問は確保し、第３、４問のどちらかが経験済みであれば２完。どちらもとれれば第２問は捨てれます。逆にどちらも取れないとまずい。
６０％強ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【微積分総合】弧長、最小値、アステロイド（B,20分、Lv２）
アステロイドの弧長を題材とした問題です。有名曲線なので、面積、回転体の体積、弧長はぼんやりとでも結果を頭に入れておいたほうがいいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 積分法の応用の巻末に一覧があります＾＾）
（１）は、1周していませんので、結果を覚えていても意味がないじゃないか、と思うかもしれませんが、それは違います。もし「ｔ」がπ／２であれば、覚えている結果の１／４となるはずですので、検算に使えます。
（２）は式の最小値なので微分すればOKですが、実はただの２次関数に帰着できます。角度「ｔ」の値は分かりませんが、欲しいのはPの座標ですから、sin、cosさえ分かればOKですね＾＾
※KATSUYAの解いた感想
お、アステロイドならそんなに苦労しないはず。（１）は、途中までやけど、ただ弧長の公式に当てはめるだけ。結果から検算する。（２）は距離公式でOPだして最大、最小か。（１）の結果をcosのままにおいたため、２次関数に帰着できず、ｃｏｓ^2を置き換えて微分。解答を見てsinに置き換えればラクだったと気づく。まあ理系やからどっちでもいいか＾＾； 解答時間13分。
☆第２問・・・【図形と式】三角形が領域内にある条件、2変数関数の最大値（C、35分、Lv.３）
本セット最難問の図形問題です。三角形が領域の内部にある条件ということで、「図形的考察→立式」の過程をただしく踏まないと、全く手が付かないか、手がついても計算量が膨れますので、完答できた人はほとんどいないと思われます。
（１）ですが、座標と不等式領域を見て、点Aは領域の下の境界線、Bは領域の上の境界線上にあることを見抜きます。ここは出来たと思います。
次に、０＜ａ＜２であることの意味を考えます。０だとＡと原点が一致してしまうのでこれはいいでしょう。ａ＝２のときは、ＯＡが上の境界線と接してしまうので、問題文の条件は、ＯＡは領域内に入る条件を示唆しています。
したがって、ＯＢ、ＡＢが境界内にある条件を考えればよい、ということになります。ＯＢについては、直前の考察が役に立ちます。仮にa=2とした場合に接してしまうその点は｜ｘ｜＝１です。もしBのｘ座標が｜ｘ｜＞１のとき（ここは図形的に考察）、OBは放物線と２点で交わりますので、線分の一部が領域の外に出ます。したがって、－１≦ｂ≦１ということになります。
ABもOB同様に、接するときを出して、「それより図形的にどうなっていればよいか」を考えるのがよいでしょう。このとき、接点はBですから、Bから考えます。「通る」よりも「接する」ですよね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.26-28）
Bにおける接線がAを通るとしたときの、AとBの位置関係を考えます。Bがこの位置よりどうなっていればいいかを考えれば、答えは出ますね＾＾
なお、ABを通る直線の式と上の境界を連立して判別式＝０でも出来ますが、かなりの計算量になります。
（２）は、（１）の条件の下での面積の式の最大値です。ここからは数式的に処理できますが、２変数関数なので、１文字固定です。（１）の聞き方からしても「ａ」固定がなんとなく見えますね。
軸のｘ＝ａ／２が、（１）で足した条件のａ－１≦ｂ≦１の真ん中である事に気づくと、さくさく進みそう。最大は両端で起こります。
あとは、その中でａを動かせばＯＫです。
※KATSUYAの解いた感想
問題文。Ａ，Ｂはずれた放物線上にある、と。（１）領域は下端にＡ，上端にＢがあるようなところね。三角形が内部にある？これは図をかかないと分からんわ。ＯＡはありそうやな。いや待てよ、結構上のほうにあるとはみ出るな。ただ、０＜ａ＜２やからそれを排除していると。まずはそのことを述べて、ＯＢ，ＡＢのみを考えることにする。ＯＢはさっきのが使えそうやな。ＡＢは、、、接するとして、ＡとＢの座標の関係を述べればＯＫか。たぶん一定の差だろう（←「上の放物線の接線と下の放物線で囲まれた部分の面積は一定であることを示せ」という問題の存在が背景にあります）これはかなり本格的な難易度。（２）は、、、さらに２変数関数か~。軸わけとかあんのかな。ｂ固定で軸が定義域の真ん中で一安心。ここは場合分けしなくてすみそう＾＾。あとはａも平方完成して終了。解答時間２３分。
第３問・・・【複素数平面】軌跡、反転（BC、35分、Lv.２）
反転を題材とした複素数平面の問題で、図形と式の単元でも扱われるネタです。
複素数平面として出題された場合は、絶対値の２乗の式の扱いに慣れているかどうかで、大きく差が付きそうです。特に（３）は文字ばっかりなので、慣れていても割と手間がかかります。難しいです。
（１）はいいでしょう。実数倍なので、ｚ＝ｋｗとでもおけばＯＫ。（２）は（１）で出した式に入れます。
この手の条件式は、まず2乗します。2乗は共役との積であることはいいとして、絶対値の中ならｚとｚバーは自由に入れ替えてもいいこと、｜α｜｜β｜＝｜αβ｜といった基本的な式変形を巧みに組み合わせ、最後は準平方完成も必要となります。
（２）については、|ｗ|^2 の項が消えます。こういったときは、この時点でｗ＝ｘ＋yi と置き換えてみると見えます＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.53-55）
（３）は文字が入っているため、文字計算力も問われます。ここまで一般化して何か意味があるともいい難いので、こちらは少し冗長な計算な気がします。
なお、（２）、（３）については、「原点を通る円は反転で直線になる」「原点を通らない円は反転で原点を通らない円になる」ということが背景になっています。（３）の「｜β｜がｒに等しくない」というのは、考えるのは「原点を通らない円です」と主張しています。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
反転か。反転なら複素数平面でなくても出来るけど、なれてればこっちのほうが楽だったりするよな。（１）は瞬殺。（２）は円が原点を通るから直線になるな。絶対値の２乗の項は消えたので、計算は間違っていないだろう。w=x+yiと置き換えて終了。（３）は原点を通らない円やから、また円になるな。中心も半径も文字＾＾；そんなに一般化して意味があるのか。ただ計算煩雑になるだけのような気が。結果を見て「あれ、（２）と（３）で結果が違う、こっちは円なんだ」って思ってもらいたい？試験時間中にそんな余裕はないと思うぞ。解答時間18分。
☆第４問・・・【数列＋整数】数列の漸化式、漸化式、帰納法（BC、25分、Lv.２）
先に一般項が与えられており、そこから漸化式を導くパターンです。その後、（２）の１の位の周期性に気づかせた上で、（３）へ持っていくという流れです。題材自体は、2003年の東京大学の問題と非常に似ています。経験済みの人にとっては得点しやすい問題ですが、上記2003年の東大の問題も、雑誌「大学への数学」で評価がCですし、決して簡単ではありません。
（１）は、１＋√２、１－√２ をα、βとでもおいて、解と係数の関係を使い、２次方程式を作ります。これを用いれば、n乗の和が漸化式的に作ることができます。
（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.13-15）
（２）は、１の位をひたすら調べていくだけです。合同式を使うと答案が書きやすいでしょう。１３、１４まで出させることで、周期に気づかせています。
（３）は、周期が12であることに気づけば、関わりが見えてきます。求めたい１の位は、a_1000よりも「わずかに小さい」ということが見抜ければOKです。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
東大2003年ネタとほぼ同じなので、ほぼ作業。（２）を見る限り、周期は長そう。１３、１４で無事に１、２に戻り、ミスはないと解釈。（３）a_1000の１の位を周期性で出し、そこから１引いて終了。解答時間７分。
４．対策
前期とほぼ同様の傾向なので、前期のエントリーをご覧ください。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学II 図形と式 (第２問)
★ 数学A 整数 (第４問)
★ 数学B 数列 (第４問)
★ 数学III 微分法の応用 (第１問)
★ 数学III 積分法の応用 (第１問)
★ 数学III 複素数平面 (第３問)
