慶應大学医学部 | 2019年大学入試数学

2019/02/24

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回慶応大学(医学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。
慶応大学(医学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

慶応大学（医学部）
（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

１．全体総評～質・量ともに穏やかな方～

以下の３点において、2018年と同じ傾向が続いており、これがさらに穏やかになった感じです。

①題材的には難しいものも多い

②最後は計算量も多く、大問を解き切るのはかなり厳しい

③しかし、途中までは手をつけやすい

今年は、この中でも③の印象が強いです。所要時間(後述)から考えても、全体量はここ７年では最も少ないです（でも、オーバーします＾＾；）ので、普段よりはボーダーも上がりそうかと思われます。

試験時間100分に対し、
標準回答時間164分【106分】（←穴埋め考慮）

2018年：197分【124分】

2017年：185分【128分】

2016年：200分【125分】　

2015年：213分【115分】

2014年：165分

※本エントリーの【　】内は、慶応医学部受験者層のレベルを考慮していますので、その他の大学に比べて短めです。それでも、100分をオーバーしていますけど＾＾；

２．合格ライン(科目全体では60％)

第１問は今年は全部欲しい。「え」は意外とキツイ？

第２問の名物「確率と漸化式」は本学受験者なら取りたいが、全体を考えるとここがキー問題か。最初ができないと全滅なので。

第３問は軌跡の計算で計算量は多いが、流れを間違える可能性は低いはず。半分以上は解き切りたい。

第４問も軌跡絡みでまた計算量は多いが、本学受験生なら手はつけて（２）ぐらいまでは。

第１問はおさえて、第２問をおさえられれば、少し気楽に残り時間で第３問、第４問を解く。第２問さえできれば今年は70％ぐらいとれそうです。

３．各問の難易度

第１問（１）　【三角関数】三角関数の最大値（AB,7分【3分】、Lv.1）

2次の項だけを含む三角関数の最大値なので、半角などを駆使して２θに合わせて合成です。(Principle Piece II-76 数学II 三角関数 p.52-53) 本学受験者がこれを知らないことはないでしょう。

２θなら一周しますので、最大値はすぐに分かりますが、最大値なるθはマイナスを取らないので注意。あわてると足元をすくわれるような設定してあります。

☆第１問（２）　【確率】非復元抽出（AB,7分【3分】、Lv.2）

こちらも確率の問題で基本的。前半はさすがにいいでしょう。後半は意外と難しいか。P(A）＋P(B)ーP(A∩B)で出せることには気づくかと思いますが、くじ引きでは順番は関係ないので、P(A)＝P(B)となることがポイントですね。

第１問（３）　【空間ベクトル】三角形の面積、平面に垂直なベクトル（AB,10分【5分】、Lv.2）

空間ベクトルですが、かなり穏やかです。前半の三角形の面積はさすがに易しすぎるかと＾＾；

後半も遠まわしですが、単純にABCに垂直なベクトルを聞いているだけです。（ABCからの距離が等しい点は、ABCの外心を取って平面ABCに垂直です）切片型なので、平面の方程式から法線ベクトルも一瞬で出ますし(Principle Piece B-60 数学B ベクトル p.82-83) 、これは落とせないですね。

※KATSUYAの感想：合計5分で終了。第１問ってこんなに簡単やったっけ？もう少し難しいのもあるような気がしたけど。

☆第２問　【確率＋数列】確率、漸化式（B、30分【20分】、Lv.２）

慶応医学部お決まりの確率と漸化式です。ここ数年は穏やかな設定が続いていますが、最初が出来ないと全滅になるので、合否を最も分けやすい問題と言えます。

確率については、とにかく3点セットの原則を意識しなければいけません。本問は格好の例だと思います。

まず、ｎ回目とｎ－１回目の関係を詳しく見る必要がありますので、遷移図などを書きましょう。四面体の図で十分です。(Principle Piece Ａ-40 数学A 確率 p.39-43)

やっててわかると思いますが、Ａ，Ｃだけでは設定は足りず、Ｂ、Ｄにいる確率を設定することになります。(Principle Piece Ａ-41 数学A 確率 p.39-43)

これで（１）は解けます。「ｎ－１回目にＢにいる」→「ｎ－２回目にＡかつＢへ移動」とすれば、Ｐｎだけの式になります。上記２つの原則に従っていれば問題ないはずです。

慶應医学部なら漸化式が出れば一気に一般項でもいいような気もしますが、なぜか（４）の一般項まで刻んで聞いてきます。ネタなかったんですかね。（１）が出来ないと絶望的な設定ですね＾＾；

（５）はＣの確率ですが、対称性からＣ，Ｄの確率は同じでしょう。従って、（４）からＢに止まる確率を出し、１から引いて２で割ればＯＫです。対称性と、確率の和は１であることを利用した原則です。(Principle Piece Ａ-42 数学A 確率 p.39-43)

※KATSUYAの感想：15分で終了。漸化式は特に詰まることはなし。qnの計算はちょっと慎重に。

☆第３問　【2次曲線＋微積分総合＋図形と式】放物線、媒介変数表示の微分、弧長、軌跡など（C、50分【35分】、Lv.３）

関数総合問題といった感じで、かなりボリュームのある問題です。2次曲線はちょろっとだけ絡みます。

（１）の放物線はいいでしょう。ここをミスると全滅なので、慎重に。

（２）はP（ｔ、t^2-1/2）などと置いておけばｘ座標もｙ座標もｔの式になりますので、頑張って両方とも微分して増減を調べましょう。これだけでもまあまあメンドウなんですけど＾＾；

（３）は弧長です。微分式は（２）で出してはいますが、これを2乗して足すという作業が待ってます。あきらめずにやると比較的にすっきりした式になります。tanθで置換するタイプになります。(Principle Piece III-53-60 数学III 積分法 p.28-35)

（４）は軌跡Cとの交点です。対応する「ｔ」の値が2つ出ますが、当然のように汚く、これをもとのｘ、ｙに代入するのは苦しいです。聞いているのは中点なので、解と係数の関係の活用が見えますね。(Principle Piece II-54 数学II 図形と式 p.28-35)

ここが出せれば、最後はまた（２）の最初と同じような計算をするだけです。軌跡はおまけ程度でしょうが、結果はかなり興味深いですね。

なお、最初の放物線は原点が焦点にありますので、極方程式の活用も有効だったようですね。

※KATSUYAの感想：解答時間23分。（２）だけならともかく、（３）は何だこれ＾＾；無理やり積分入れてきたな。そこに追い打ちで（４）と。文字計算ばっかりやな。数値でもメンドウそうやけど。（５）がキレイすぎて疑ったが、結局見直さず終了。

第４問　【図形と式＋2次曲線】内心となる条件、垂心の座標、点と直線の距離、内心の軌跡など（CD、60分【40分】、Lv.３）

第３問に引き続き、2次曲線絡みの軌跡です。微積分はなく、数IIの図形と式の分野が主です。最後に軌跡を出したいからだとは思いますが（たどり着くかは別として）、ｓ、ｔなど文字で計算していかなければならないので、こちらも計算量が多めです。

（１）から解法によってはかなりキツイ問題かと。円外から引いた接線ですが、点がｙ軸上なので、ｙ＝ｍｘ＋１と設定しておくのがよかったと思います。中心との距離＝ｓとすればOK。接点を置いていくと文字が多すぎてキツイと思います。傾きを聞いているので、発想としても自然なはず。

私も、∠QAB＝θなどを設定し、傾きなのでtanを利用して2倍角などで傾きを出していきました。

（２）は、（１）で出した傾きが、Laの方が大きければOKですが、これは図形を書かないと気づきにくいです。数式だけで攻めるなら、LaとLbの交点を実際に出して「ｘ座標が正」でもいいと思います（本質的にはほぼ同じ）。私はこっちです。

（３）は垂心です。１つがｙ軸に平行なので、「えお」はそこまでしんどくはないはずです。教科書にもあるレベル。「か」は設定の仕方を考えると意味があるのでしょうが、図形的にも気づきにくく、数式的にも計算は煩雑で、時間はかかるでしょう。私はLaの式を出していたので、点と直線の距離公式でゴリ押ししました。

（４）はさらにキツイ。連動系でＱの軌跡が欲しいので、ｓ、ｔを残したいところ。(Principle Piece II-55 数学II 図形と式 p.49-50)　（２）で交点Ｐのｘ座標は出していましたが、ｙ座標も出す必要があります。ｓ、ｔで表せていますが、これを、さらに楕円の式に代入することになるので、途方もない計算量が待ち受けています。

図形的な定義でＰの満たす式AP+BP=２ａを用いることと、内心には辺の長さの和（ＡＰ＋ＢＰ＋ＡＢ＝２ａ＋２）が絡む（面積との関係など）ことを利用するともっとうまく出来るのでしょうが、時間内に思いつくのは至難の業でしょう。

※KATSUYAの感想：解答時間34分。図形的なことはあまり考えませんでした。やることは迷うわけでないですが、計算がキツすぎてあってるかどうか迷う＾＾；　最後の結果は０が多く入り不安だが、A,Bも原点対称やし、内心の軌跡の楕円も、中心は原点だろうと踏んだので、見直しせず。　今年はなんとか時間内に終わりました。ほっとしています。

４．対策～癖と計算力の多さに慣れる～

傾向、形式ともに癖の強いセットです。確率と漸化式は名物で、微積と極限もボリュームの大きいものが出ます。計算力、演習ともに必要です。
高校２年生の段階でも、典型パターンの7割が習得済みであることが望ましいです。センターは余裕で9割とれるようなレベルにいないと厳しいでしょう。本学受験生の高２で、数IIIにまだ手がついていない人は、いますぐ独習してください。そんなペースでは本学部の試験には耐えれません。教科書ガイドと青チャがあれば進められます。
高３に入ったら、もう入試問題演習に入りたいところです。夏以降はさらにレベル高めの入試演習、を行い、仕上げ段階まで行ってから過去問、といった感じでしょう。理工学部もレベルや出題内容(確率と漸化式はかなり似ています)、形式が似ているので、使えます。

量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。３年生になったらできる限りじっくり演習したいです。2時間でも考え込んでしまってもOKです。ただし、あらゆる手段（計算がかかると分かっていても、それで押し通してみる！）で手を動かしてみることです。答えにたどり着かなくても、計算力は着実にUPしていきます。普段の練習から「キツイ、無理じゃね」と思ってあきらめるのはNGです。

以上です＾＾