首都大学東京 理系| 2019年度大学入試数学
2020/03/15
●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は首都大学東京(理系共通)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１９年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
首都大学東京(理系共通)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
首都大学東京(理系共通)
（試験時間75分、３問、記述式）
１．全体総評～数学IIIの割合は戻るも計算はそこそこ～
難易度は昨年と変わらずです。昨年は数IIIがほとんど顔を見せませんでしたが、今年は2問が数IIIからです。しかし計算がそこまで多いわけではなく、積分も誘導がありますので、時間は足りるでしょう。
試験時間75分に対し、
標準回答時間は65分。
2018年：65分
2017年：80分
2016年：70分
2015年：70分
2014年：75分
２．合格ライン
どれも同じぐらいの難易度です。3問中2問を完答したいですね。70％弱ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
☆第１問 【複素数平面(＋ベクトル)】軌跡、２直線のなす角（B,20分、Lv.２）
複素数平面の軌跡の問題で、最後はなす角を聞いてきます。それをベクトルで解くかどうかで、ベクトルが範囲になるかどうか分かれます。
（１）は典型的なアポロニウスの円の問題です。α＝－２βとして計算を進めると、成分をそのまま入れずとも計算しやすかったかもしれません。2乗して準平方完成を行いましょう。(Principle Piece III-113 数学III 複素数平面 p.53-55)
（２）は変換による軌跡です。ｚ＝１／ｗにしてから、（１）で出した式に代入しましょう。(Principle Piece III-114 数学III 複素数平面 p.55-56)
ｗｗバーの式が消えることが分かりますので、直線が予想されます。（今回は分かっていますが）その場合は、ｗ＝ｘ＋ｙｉとおいてｘとｙの１次式になることを確認しましょう。(Principle Piece III-113 数学III 複素数平面 p.53-55)
（３）は２直線のなす角です。直線の場合はｘｙ平面で表す方が見やすいと思います。なす角はｔａｎなら三角関数の加法定理ですが、ｃｏｓならベクトルの内積が思い浮かびやすいかと。(Principle Piece Ｂ-31 数学III 複素数平面 p.27-28)
※KATSUYAの感想：解答時間16分。（１)は数値入れたが、そこまで計算には苦労せず。アポロニウスなので検算もしやすい。（２）は原則通り変ｚ＝１／ｗにしてから。１次式なら成分の方がいい。（３）も法線ベクトルのなす角で出す。一応ベクトルと融合しているのかな？
第２問 【積分法(III)】定積分漸化式（B、20分、Lv.２）
第１問に引き続き数IIIから。漸化式を利用して具体的な定積分の値を求める問題です。
（１）は微分するだけです。（２）がポイントになると思いますが、誘導も与えられていますし、結果も分かっていますので、たどり着きやすいでしょう。定積分の漸化式は、部分積分が原則です。(Principle Piece III-64 数学III 積分法p.56-60)
（３）は（２）を利用して計算するだけです。I_1はtanθの置換のパターンでお決まりですね。なお、この置換を行えばI_3ぐらいであればそこまで苦労せずに出すことが出来ます。
※KATSUYAの感想：解答時間８分。定積分漸化式ね。（１）はさくっと。（２）誘導あるし結果もあるし、結構優しい。てか、優しすぎな気も＾＾； （３）は（２）を利用する方法も直接出す方法も行う。結果が一致したので終了。
第３問 【ベクトル】平行六面体、垂線の長さ、体積（B、20分、Lv.２）
平行六面体の高さを出し、体積まで求める問題。四面体のときと殆ど変りません。
（１）は垂線ベクトルなので、CEF上にあることで１－ｓ－ｔ、ｓ、ｔの係数設定を、CE,EF(←CFよりはラクなのではないかと)の両方と垂直であることを利用して連立の流れです。(Principle Piece III-56 数学B ベクトル p.75)
（２）（３）は（１）が出れば、出ます。高さを求める計算はちょっとメンドウ。体積を求める際の底面の平行六面体は、三角形の面積の2倍ですので、１／２を除いた面積公式を使えますね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１１分。実質、（１）がポイントだよな、確実に。係数が汚いので一応見直す。（２）の計算結構メンドウやな。あたぶんなっていると思い（３）までやって終了。
４．対策
首都大は数学IIIの微積が頻出。まずは計算を確実にあわせる練習も含め、基礎固め＋微積の標準問題を重点的に練習しましょう。数学IIIの複素数平面も要注意分野です。
じっくり考え込まないと解けないようなレベルのものは稀ですので、解法が確実に出てくるように量をこなすほうがよさそうですね＾＾
量をこなす演習：じっくり演習＝８：２でOK。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学B ベクトル (第１問、第３問？)
★ 数学III 複素数平面 (第１問)
★ 数学III 積分法 (第２問)
