名古屋工業大学| 2020年度大学入試数学
●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋工業大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^ 2019年大学入試数学の評価も、無事に(?)終わりを迎えつつあります。
2020年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋工業大学です。
問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
名古屋工業大学
(全4問、記述式、120分)
1.全体総評~全問数III絡みで後半は計算量が多い~
難易度は昨年並みですが、量は増えています。全て数IIIが関わる問題であるのは昨年と変わらずですが、後半は計算量も多く、時間内に終わらせるのは難しいセットです。第3問などは本格的な数IIIで、誘導はあるもののかなり時間がかかると思われます。
制限時間120分に対し、目標解答時間は125分。
2019年:110分
2018年:105分
2017年:105分
2016年:110分
2015年:135分
2.合格ライン
1番は微分の問題。コツコツ計算して正解したいところ。
2番は計算もそこまで多くないので、誘導の(2)までは合わせたいところです。(3)はキー問題。
3番は演習経験がないとすんなりとはいかず、経験があっても計算量はかなり多いので、合わせられれば超有利。
4番もキー問題。外心までは取りたい。時間があれば(4)までは取れるか。(5)は経験が必要で時間的にも厳しい。
1番は押さえたいです。2番の(3)以外、4番を(4)まで取る。3番は(2)まではなんとか欲しい。あとは演習経験で取れるものを押さえる。2番が一番取りやすいと思います。今回は60%強ぐらいでしょうか。
3.各問の難易度
☆第1問 【微分法の応用】極値、実数解の個数、極値の個数(B,25分、Lv.2)
最初は数IIIの微分です。f'(x)=0の解の個数から極値の個数を調べる問題。
(1)は導関数を計算するだけです。g(x)の形が見えやすいように整理しておくといいでしょう。
(2)も微分して増減表を書くだけです。
(3)ですが、(1)とg(x)の形から、定数分離で視覚化することは思いつくかと思います。2/3k=g(x)と定数分離できますので、g(x)のグラフを書いて、共有点を探しましょう。
(4)は(3)と密接に関連していますが、注意が必要です。f(x)がx=tで極値を持つときとは、f’(t)=0かつその前後で符号が変わるときです。(3)の視覚化したグラフでいえば、接するだけでは上下関係が変わりませんので、接するところでは極値にならないことに注意。
※KATSUYAの感想:解答時間13分。(1)は微分。g(x)の形が見える。(3)を見て、流れを理解。(2)で増減書いて、(3)は右辺にg(x)がくるようにして視覚化。(4)は、いわゆる重解に気を付ければ(3)ほぼそのまま。最初の難易度としては適切な気がする。
第2問 【数列+極限】連立漸化式、帰納法、極限(B、20分、Lv.2)
連立漸化式による数列の極限を求める問題で、本セットでは最も楽かと思われます。
(1)は式の形から、(x_n+1)^2ー5(y_n+1)^2を計算し、{xn^2ー5yn^2}に関する漸化式を作ることは見えるでしょう。
(2)も、問題文の表現から帰納法なのは明らかです。前半はx(k+1)ー2(y+1)を計算すれば、後半はy(k+1)≧4y(k)から言えますね。
(3)は(1)(2)を利用します。(2)だけでは帰納法は完成しませんので、n=1を確かめて全てのnで言えることを断っておきましょう。これと(1)の結果から、2乗すると極限が5になることは思いつきたいです。
ざっくりと、x(n)^2=5(yn)^2±1ですので、(2)でynは大きくなることが分かっているので、比をとればしっぽの±1の部分はゴミになりますね。
※KATSUYAの感想:解答時間10分。良く見かけるパターン。(2)帰納法の[2]だけってこと?なんでこんな聞き方した?(3)でn=1も付け加えて、上記の流れで終了。
☆第3問 【積分法(図形)】不等式領域の体積(C、45分、Lv.3)
本格的な求積問題で、四角錐の内側かつ円柱の外側にある立体の体積を求めます。誘導があるので自分で原則を用いて解いてく必要はありませんが、題材的にはかなり高度です。過去にも東大、東工大などで出題があります。経験がないと誘導に乗ることすらままならないと思います。
(1)はまず領域Dを丁寧に書きましょう。第一象限で、円と直線が2点で交わるような図になります。そのようなtが範囲として接っていされていることに気づきたい。(t=1/√2のときは(1,0)と(1,0)で交わり、t=1のときは接する)
領域には円弧の一部が絡みますので、面積を求めるためには中心角θを設定する必要があります。そして、設定したθとtについて、中心と結んだりすることで、長さの関係式を求めます。この操作が(1)です。
(2)は(1)で設定したθを用いれば計算できます。
(3)は積分ですが、面積の式はθなので「dt」ですから、tをθに変換します。このときに(1)が必要なわけですね。dt=1/√2(cosθーsinθ)×dθとなります。
ここまで気づけただけでも3番なら合格ラインです。
この後の計算もまあまあメンドウ。整理すると、sinθcosθ^2という式が出ます。(cosxの式)・sinxの積分は置換積分で簡単に積分できますね。θ・sinθなどは部分積分でコツコツ計算しましょう。答案としては、一気に書くのではなく、項ごとに分けて丁寧に計算してから値を出した方がいいです。
(4)は(3)まで出来た人なら流れを読んでいるでしょう。不等式の形から、1-z=t、すなわちz=1-tで切断した断面積がDの8倍になることは、図を書けばすぐに分かると思います。Kの断面が存在する領域が、そもそ1/√2≦t≦1であることはさくっと述べておきましょう。
求める体積は∫8S(t)dz になります。最初はdzで表記し、dtに置換しましょう。こちらの置換は簡単です。
※KATSUYAの解答時間28分。問題文長いな。余白ないやん、不等式の領域、(1)(2)(3)でt、θなどを見て流れを確信。結構時間かかるやつやな。丁寧にDを書き、(3)までコツコツ計算。やっぱりメンドウ。(4)は予想通り(3)の図がそのまま出てくる感じね。8倍して終了。
☆第4問 【ベクトル+微分法】三角形の外心のベクトル、面積の最小値(BC、35分、Lv.2)
3辺が分かっている三角形について、外心ベクトルを求める問題。後半は三角形の面積の最小値です。後半は応用ですが良く見かけるパターンで、1度は経験しておきたいタイプ。両方やるとなるとかなり時間を持ってかれます。今年は時間的にもキツイと思います。
(1)はいいでしょう。3辺から内積を出す作業は、余弦定理そのものであると思っておくとやりやすいです。
(2)は内積が出たので、ベクトルの面積公式にあてはめればOK。
(3)は外心です。saベクトル+tbベクトルで設定し、s、tに関する方程式を作ります。OA,OBの垂直2等分線乗にあることを式にすればOKですね。
(4)は、BGとOAの交点D’を出します。BG上であることを1-p、pなどの係数設定で出し、出した結果bベクトルがなくなるようにpを決めましょう。このとき、OD’=15/19OAと出ます。図形的にも、DはこれよりもA側になることは明らかとしていいでしょう。
(5)は、ODE:OAB=OD・OE:OA・OBですから。OD/OA×OE/OB(比の積)が最小になる時を求めることになります。OD/OAはxですので、あとはGを通るようにしたときのOE/OBをxで表せばOK。分数関数なので微分がいいでしょう。なお、(2次)/(1次) なので相加、相乗でやろうと思えばできます。
※KATSUYAの感想:解答時間27分。Gを重心と勘違いして(5)までやり、問題文を見直して「まじか・・・」となる。さすがにMP(やる気)が・・・(3)だけなんかめっちゃ簡単やなぁと思ったんよなぁ。Oが使えないからって、なんで外心がGやねん!と思いながらもやり直す。外心って係数煩雑やし、これで(4)(5)もやるんか。ミスってなくても結構骨が折れるのに。かなりロスしました。
4.対策~数IIIの計算を重点的に演習~
名工大は普段、数学IIIが全問題で絡んできます。ここ最近は減ることもありましたが、また全問数IIIになっていますし、基本は数IIIと考えておいてもいいでしょう。
IIIだけが出るという意味ではなく、例えば極限には数列の漸化式が絡んだりしますので、IAIIBも適度に演習しておく必要があります。空間が好きなので、空間ベクトルのツールは使いこなせるようになっておいたほうがいいでしょう。
量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。
以上です^^
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