名古屋工業大学| 2020年度大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾　　２０１９年大学入試数学の評価も、無事に（？）終わりを迎えつつあります。

 

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋工業大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





名古屋工業大学
（全４問、記述式、120分）

１．全体総評～全問数III絡みで後半は計算量が多い～

難易度は昨年並みですが、量は増えています。全て数IIIが関わる問題であるのは昨年と変わらずですが、後半は計算量も多く、時間内に終わらせるのは難しいセットです。第3問などは本格的な数IIIで、誘導はあるもののかなり時間がかかると思われます。

制限時間120分に対し、目標解答時間は125分。

2019年：110分

2018年：105分

2017年：105分

2016年：110分

2015年：135分

２．合格ライン

1番は微分の問題。コツコツ計算して正解したいところ。

2番は計算もそこまで多くないので、誘導の(2)までは合わせたいところです。(3)はキー問題。

3番は演習経験がないとすんなりとはいかず、経験があっても計算量はかなり多いので、合わせられれば超有利。

4番もキー問題。外心までは取りたい。時間があれば(4)までは取れるか。(5)は経験が必要で時間的にも厳しい。

1番は押さえたいです。2番の(3)以外、4番を(4)まで取る。3番は(2)まではなんとか欲しい。あとは演習経験で取れるものを押さえる。2番が一番取りやすいと思います。今回は60％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問 【微分法の応用】極値、実数解の個数、極値の個数（B,25分、Lv.２）

最初は数IIIの微分です。f'(x)=0の解の個数から極値の個数を調べる問題。

（１）は導関数を計算するだけです。g(x)の形が見えやすいように整理しておくといいでしょう。

（２）も微分して増減表を書くだけです。

（３）ですが、（１）とｇ（ｘ）の形から、定数分離で視覚化することは思いつくかと思います。２／３ｋ＝ｇ（ｘ）と定数分離できますので、g(x)のグラフを書いて、共有点を探しましょう。

（４）は（３）と密接に関連していますが、注意が必要です。ｆ（ｘ）がｘ＝ｔで極値を持つときとは、ｆ’（ｔ）＝０かつその前後で符号が変わるときです。(3)の視覚化したグラフでいえば、接するだけでは上下関係が変わりませんので、接するところでは極値にならないことに注意。

 

※KATSUYAの感想：解答時間13分。（１）は微分。g(x)の形が見える。(3)を見て、流れを理解。(2)で増減書いて、(3)は右辺にg(x)がくるようにして視覚化。(4)は、いわゆる重解に気を付ければ(3)ほぼそのまま。最初の難易度としては適切な気がする。

第２問　【数列＋極限】連立漸化式、帰納法、極限（B、20分、Lv.２）

連立漸化式による数列の極限を求める問題で、本セットでは最も楽かと思われます。

（１）は式の形から、(ｘ_n+1)^2ー5(y_n+1)^2を計算し、｛ｘn^2ー5ｙn^2｝に関する漸化式を作ることは見えるでしょう。

（２）も、問題文の表現から帰納法なのは明らかです。前半はｘ(k+1)ー2(y+1)を計算すれば、後半はy(k+1)≧4y(k)から言えますね。

（３）は（１）（２）を利用します。（２）だけでは帰納法は完成しませんので、ｎ＝１を確かめて全てのｎで言えることを断っておきましょう。これと（１）の結果から、２乗すると極限が５になることは思いつきたいです。

ざっくりと、x(n)^2=５(yn)^2±１ですので、(2)でｙｎは大きくなることが分かっているので、比をとればしっぽの±１の部分はゴミになりますね。


※KATSUYAの感想：解答時間10分。良く見かけるパターン。（２）帰納法の[2]だけってこと？なんでこんな聞き方した？（３）でn=1も付け加えて、上記の流れで終了。

☆第３問　【積分法(図形)】不等式領域の体積（C、45分、Lv.3）

本格的な求積問題で、四角錐の内側かつ円柱の外側にある立体の体積を求めます。誘導があるので自分で原則を用いて解いてく必要はありませんが、題材的にはかなり高度です。過去にも東大、東工大などで出題があります。経験がないと誘導に乗ることすらままならないと思います。

（１）はまず領域Dを丁寧に書きましょう。第一象限で、円と直線が２点で交わるような図になります。そのようなｔが範囲として接っていされていることに気づきたい。（ｔ＝１／√２のときは(1,0)と(1,0)で交わり、ｔ＝１のときは接する）

領域には円弧の一部が絡みますので、面積を求めるためには中心角θを設定する必要があります。そして、設定したθとｔについて、中心と結んだりすることで、長さの関係式を求めます。この操作が（１）です。

（２）は（１）で設定したθを用いれば計算できます。

（３）は積分ですが、面積の式はθなので「ｄｔ」ですから、ｔをθに変換します。このときに（１）が必要なわけですね。ｄｔ＝1/√２(cosθーsinθ)×ｄθとなります。

ここまで気づけただけでも3番なら合格ラインです。

この後の計算もまあまあメンドウ。整理すると、sinθcosθ^2という式が出ます。(cosｘの式)・sinｘの積分は置換積分で簡単に積分できますね。θ・sinθなどは部分積分でコツコツ計算しましょう。答案としては、一気に書くのではなく、項ごとに分けて丁寧に計算してから値を出した方がいいです。

（４）は（３）まで出来た人なら流れを読んでいるでしょう。不等式の形から、１－ｚ＝ｔ、すなわちｚ＝１－ｔで切断した断面積がDの8倍になることは、図を書けばすぐに分かると思います。Kの断面が存在する領域が、そもそ１／√２≦ｔ≦１であることはさくっと述べておきましょう。

求める体積は∫８S(t)ｄｚ　になります。最初はｄｚで表記し、ｄｔに置換しましょう。こちらの置換は簡単です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間28分。問題文長いな。余白ないやん、不等式の領域、（１）（２）（３）でｔ、θなどを見て流れを確信。結構時間かかるやつやな。丁寧にDを書き、(3)までコツコツ計算。やっぱりメンドウ。(4)は予想通り（３）の図がそのまま出てくる感じね。8倍して終了。

☆第４問　【ベクトル＋微分法】三角形の外心のベクトル、面積の最小値（BC、35分、Lv.２）

３辺が分かっている三角形について、外心ベクトルを求める問題。後半は三角形の面積の最小値です。後半は応用ですが良く見かけるパターンで、１度は経験しておきたいタイプ。両方やるとなるとかなり時間を持ってかれます。今年は時間的にもキツイと思います。

（１）はいいでしょう。3辺から内積を出す作業は、余弦定理そのものであると思っておくとやりやすいです。

（２）は内積が出たので、ベクトルの面積公式にあてはめればOK。

（３）は外心です。ｓａベクトル＋ｔｂベクトルで設定し、ｓ、ｔに関する方程式を作ります。ＯＡ，ＯＢの垂直２等分線乗にあることを式にすればＯＫですね。

（４）は、ＢＧとＯＡの交点Ｄ’を出します。ＢＧ上であることを１－ｐ、ｐなどの係数設定で出し、出した結果ｂベクトルがなくなるようにｐを決めましょう。このとき、ＯＤ’＝15/19ＯＡと出ます。図形的にも、ＤはこれよりもＡ側になることは明らかとしていいでしょう。

（５）は、ＯＤＥ：ＯＡＢ＝ＯＤ・ＯＥ：ＯＡ・ＯＢですから。ＯＤ/ＯＡ×ＯＥ/ＯＢ（比の積）が最小になる時を求めることになります。OD/OAはｘですので、あとはGを通るようにしたときのOE/OBをｘで表せばOK。分数関数なので微分がいいでしょう。なお、(2次)／（1次）　なので相加、相乗でやろうと思えばできます。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間27分。Gを重心と勘違いして(5)までやり、問題文を見直して「まじか・・・」となる。さすがにMP(やる気)が・・・(3)だけなんかめっちゃ簡単やなぁと思ったんよなぁ。Oが使えないからって、なんで外心がGやねん！と思いながらもやり直す。外心って係数煩雑やし、これで（４）（５）もやるんか。ミスってなくても結構骨が折れるのに。かなりロスしました。

４．対策～数IIIの計算を重点的に演習～

名工大は普段、数学IIIが全問題で絡んできます。ここ最近は減ることもありましたが、また全問数IIIになっていますし、基本は数IIIと考えておいてもいいでしょう。

IIIだけが出るという意味ではなく、例えば極限には数列の漸化式が絡んだりしますので、IAIIBも適度に演習しておく必要があります。空間が好きなので、空間ベクトルのツールは使いこなせるようになっておいたほうがいいでしょう。


量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。

以上です＾＾
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