名古屋工業大学| 2019年度大学入試数学
●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋工業大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^ 2019年大学入試数学の評価も、無事に(?)終わりを迎えつつあります。
2019年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋工業大学です。
問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
名古屋工業大学
(全4問、記述式、120分)
1.全体総評~全問数IIIセットで計算量は変わらず~
難易度は昨年並みです。今年は全部数IIIが関わる問題でしたが、計算量はそこまで膨大なわけではなく、慎重に計算していっても試験時間内に取り組める量だと思います。
制限時間120分に対し、目標解答時間は110分。
2018年:105分
2017年:105分
2016年:110分
2015年:135分
2.合格ライン
1番はひたすら計算するだけですが、最後は計算力が問われますのでキー問題。
2番は計算もそこまで多くないので合わせたいところです。
3番はQの位置が分からないと手がつかないので、キー問題か。
4番は1つ1つが独立しているので、出来るところを押さえたい。落ち着いてやれば最後以外は行けるかと思われます。
1番最後以外、2番は全部、4番も最後以外は押さえたい。残り時間で1番の最後と3番に手を付けれられればいいかと。65%~70%あればいいと思います。
3.各問の難易度
☆第1問 【微積分総合】接点の座標、面積、回転体の体積(B,30分、Lv.2)
微積分総合で、いろいろやらされますが、計算力勝負の問題と言えます。
最初は接点を求める問題。点(-1,1)は曲線外の点ですから、まず接点を置いて接線を作り、それが(-1,1)を通ることから求めましょう。(ULTIMATE Principle Piece)
(2)は(1)が出来れば出ます。刻んでくれますね。
(3)からはグラフが必要。k>1/2に注意ですが、単純なグラフの組み合わせです。面積も体積もそこまで難しくはないでしょうが、体積はy=1/2での回転なので、1/2を引く必要があり、計算は煩雑になっています。
※KATSUYAの感想:解答時間18分。(4)の計算は結構メンドクサイし、数値もそんなにきれいにならない。kが入っているせいで正か負かも明白ではないので、この手の問題は計算プロセスを見直すしかないか。さくっと見直して終了。
第2問 【積分法+極限】不等式の証明、定積分の極限(B、20分、Lv.2)
定積分を求め、その極限を求める問題ですが、頻出の不等式ですし、誘導もかなり丁寧なので、これは流れにっておさえたいですね。
(1)不等式の基本は差を取って微分です。分からなければもう一度微分しましょう。(Principle Piece III-38,39 数学III 微分法の応用 p.41-47) 今回は、正→微分前の関数が単調増加→微分前の関数も正→さらに前の関数も単調増加・・・の繰り返しで出来るパターンです。指数や三角関数ではこの流れが多いですね^^
(2)も(1)を利用して証明できる式で、教科書にも載っている式です。
(3)は√x=tとでも置換しましょう。(4)は(2)(3)を利用するだけです。
かなり芋づる式ですが、名工大受験者なら数IIIの演習量は多いはずなので、このレベルなら解いてくるでしょう。
※KATSUYAの感想:解答時間8分。こちらも典型パターンでざっと見渡して詰まることなく終了。
☆第3問 【図形+積分法】Qの軌跡、弧長(B、30分、Lv.2)
図形上に条件を満たす点Qを取り、その軌跡が絡む面積や弧長を求める問題。
(1)はAPが円と接するときがギリギリだと分かれば、そのときのθを出せばOK。OAPが1:2:√3の直角三角形になりますので、すぐに分かります。
(2)はAとQがOPに関して対称、というかOPQ≡OPAに気づけば、OQ=2、∠AOQ=2θと分かるので一瞬ですが、気づかないと意外と求めるのに苦戦するかもです。
(3)の面積は積分は必要なく、ただ扇形から三角形引くだけです。
(4)は弧長です。Rの座標自体はすぐ出ますが、2乗したりする前に、ルートの前に係数をうまく出しておき、なるべく計算が煩雑にならないようにしたいですね。サイクロイドなどの弧長を計算するときにも出てきますが、1+cosθ=2cos^2 θ/2の変形が必要な胡蝶計算です。
※KATSUYAの解答時間20分。(2)で上記の事実に気づかず、AからOPに下した垂線Hとして、AHベクトルを出し、OQ(→)=OA→+2AH→として出しています。気づけばもっと早く解けたなぁ。(4)は座標の形からみて、例の変形が入ってくるパターンと予想して変形しているので、さくっと終了。
☆第4問 【複素数平面】3点A,B,Cの条件(BC、30分、Lv.2)
複素数平面の問題で、3点が異なる、一直線上、正三角形、垂直など、いろいろ聞いてきますが、独立しているので解けるものを解きましょう。
(1)は同じだとしたときのzの値を出せばOK。これは簡単なので押さえられるでしょう。
(2)もベクトル的に考えれば、z^5-z/z^3-z=実数が思い浮かぶかと思います。(Principle Piece III-106 数学III 複素数平面 p.40) z^2=k(実数)と出ますので、±1、±i以外の実数か純虚数(z=√k または √ki)などと書けばOK。
(3)は正三角形です。正三角形は回転に強いです。(Principle Piece III-111 数学III 複素数平面 p.48-49) ほぼ(2)の式が使え、実数の部分を±60°の回転を表す複素数に変えるだけです。
(4)も実は殆ど同じ考え方で式を立てられます。(1)と同じで、垂直のときは純虚数なので、w+wバー=0にあてはめるのがいいでしょう。(Principle Piece III-106 数学III 複素数平面 p.40) z^2の軌跡をそこから出すことが出来ます。唯一絶対値が1となるときのzは±iとなり不適なので、そこから導けます。最後はちょっと難しめです。
※KATSUYAの感想:解答時間17分。全部独立してる?てか、立てる式が殆ど同じなんですけど^^;最後はどうやって持っていくか悩む。z^2の軌跡がこれなら出そう。1になるときがあるけど、、、zの値が不適になるから除かれると。OK。
4.対策~数IIIの計算を重点的に演習~
名工大は普段、数学IIIが全問題で絡んできます。ここ最近は減ることもありましたが、また全問数IIIになっていますし、基本は数IIIと考えておいてもいいでしょう。
IIIだけが出るという意味ではなく、例えば極限には数列の漸化式が絡んだりしますので、IAIIBも適度に演習しておく必要があります。空間が好きなので、空間ベクトルのツールは使いこなせるようになっておいたほうがいいでしょう。
量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。
以上です^^
■他年度の、本大学の入試数学■
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学III 複素数平面 (第4問)
★ 数学III 極限 (第2問)
★ 数学III 微分法の応用 (第1,2問)
★ 数学III 積分法 (第2問)
★ 数学III 積分法の応用 (第1,3問)
★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)