首都大学東京 文系| 2020年度大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は首都大学東京(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。

 

2020年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
首都大学東京(文系)です。

※首都大学東京は、2020年4月より「東京都立大学」へ名称変更しますが、入試が行われた段階では「首都大学東京」ですので、今回までこちらの名前でいきます。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。




首都大学東京(文系)
(試験時間90分、4問、記述式)

1.全体総評~計算量多めでやや難化~

昨年から難化です。今年は複数の分野にまたがる融合問題も多く、計算量も昨年に比べると増えました。分野は2次関数がらみが3問あり、少し偏っている印象です。

配列も昨年は後半の2問が簡単でしたが、今年は後半の2問が少し重めです。




試験時間90分に対し、
標準回答時間は73分。

2019年:63分

2018年:95分

2017年:80分

2016年:65分

2015年:90分

2013年:80分

2.合格ライン

第1問は融合問題ではあるが、(4)までできれば落としたくない。

第2問も誘導があるおかげでやることは見えるはず。計算に負けずに最後まで行きたい。

第3問はキー問題。(2)は経験があればしっかり正解したい。

第4問もキー問題。積分計算をうまくさぼれるかどうか。

全体で2完半ぐらいは欲しいところ。今年は3完あればかなり余裕でしょう。65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問 【対数関数+2次関数】対数関数の不等式成立条件(AB、15分、Lv.2)

定数aを含む対数関数で表された式が負になる条件を求めます。2次関数との融合になっていますが、1つ1つは教科書のワークレベルです。

(1)log同士の掛け算やlogの2乗がある場合は、置き換えが有効です。置き換えも指定されているのでラクですね^^

(2)はいいですね。

(3)は(2)の範囲で置き換えた関数が負になる条件です。定義域に制限がある場合の不等式条件は、最大・最小に言いかえられます。本問は、f(x)の最大値が負になればOKです。置き換えた式は下に凸の2次関数なので、定義域の両端がともに負であればOK。軸分けも不要ですね。

※KATSUYAの解答時間3分。うまく融合してきたな。でもやることは単純。詰まることなく終了。

 

第2問 【数列+図形と式】連立漸化式、円の内部にある条件(AB、18分、Lv.1)

第1問に引き続き融合問題。連立漸化式の一般項に、座標平面を絡めた問題。連立漸化式は誘導に従えば簡単なパターンであることも分かるので、計算問題に近いです。

(1)は求めたい式を見て、連立漸化式の辺々を引いて、{xnーyn}に関する漸化式を作ります。隣接項が等しい(公比1の等比数列な)ので、定数列ですね。

(2)は(1)から、xn=yn+1/2をもとの漸化式に入れましょう。xnもynもただの等差数列であることが分かりますので、一般項も簡単に求められます。

(3)は整数問題かな、と変に考えそうですが、一般項を円の内部を表す不等式に突っ込むだけです。数値は大きめですので解くのにMP(気合い)が少し必要ですが、因数分解できます。意外と差がつくかもですね。

 

※KATSUYAの解答時間8分。連立漸化式。(1)だけ与えられるのか。もう片方の式は?と思いながらやるが、定数列かい。(2)代入して両方とも等差数列になる。だから誘導が1つだけなのか。(3)は図形的に?いや、代入するか。xの方だけ19/2になってるし、一般項代入したらキレイになるし、たぶん代入やな。因数分解できるんか。円の式が無理やり感あるけど、答えをきれいにするためってことか。

☆第3問 【2次関数】絶対値付き2次関数と直線の共有点の個数(B、20分、Lv.2)

タイトル通りです。(2)は定点(-3,5/2)を通る直線なので、視覚的にアプローチ出来たかどうか。経験で差がでそうです。

(1)は絶対値の中身の符号で場合分けして素直に書くだけです。

(2)は上記のとおり、定点を通る直線であることが分かりやすく書かれています。グラフとの位置関係を考えると、上に凸の放物線とは接することがありそうです。微分でもいいですし、重解でもOK。k=1,5と出ますが、k=5の方は接点が上に凸の放物線の範囲内にないことに注意。

定点を固定して直線をぐるぐる回していくと、接するときのk=1と、関数の変わり目(1,-1/2)を通る時のk=1/2が境目になると分かります。あとは丁寧に場合分けするだけですね。

※KATSUYA解答時間10分。グラフ書いて、共有点を調べる。直線は傾き変化のパターンか。やることは上記のとおりで手が止まることなく終了。

☆第4問 【微積分+式と証明】直交する2接線、面積の最小値(B、20分、Lv.2)

最後は微積分総合です。直交する2接線や面積などを聞いてきます。計算は少し多めですので、本セットでは最も時間を取られるかもしれません。

(1)は問題文の通り計算するだけ。原点における接線の傾き2a、x=tにおける接線の傾き-2t+2aの積がー1になることを式にしましょう。

(2)ですが、(1)のtをmの式に代入すると結構ツライので、まずtのままで積分の式と作りましょう。放物線と接線mは、x=tで接することから、引き算すれば(x-t)^2となることを利用し、それからt=a+1/4aを代入しましょう。さらにそれを積分するので、(x-t)^3/3になることも利用したいです。これを用いないと、この定積分計算はかなりしんどいです。

(3)は(2)の式の形を見れば、相加・相乗が使える形であることは分かるかともいます。最小値を求めるので、必ず等号成立条件を確認してください。

x>0のとき、x+1/x≧2ですが、2以上だからといって、最小値が2とは限りません。2になるようなxが存在することの確認は重要です。

※KATSUYAの解答時間11分。今年は昨年よりは骨が合った感じかな。なんか、昨年の④番の解答時間2分て書いてあった^^;そう考えると結構難化してる?

4.対策

首都大(文系)は数IIから2題(うち、1題は微積)、数Bから1題、残りが確率(または場合の数)という構図が多いようです。(今年はIIが2題、Aが2題+Bちょこっと)題材的には、多くが典型パターンの範囲内といった印象です。

IAIIBの基礎がある程度固まってきたら(青チャート黄色チャート重要例題までマスター)、これらの分野を重点的に行ってもいいでしょう。また、小問間につながりがないこともありますので、柔軟に切り替えて自分の知っている解法で対応しましょう。

量をこなす演習:じっくり演習=9:1でOK。

以上です^^

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