北海道大学 理系 | 2018年度大学入試数学
●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
北海道大学（理系）
（試験時間120分、5問、記述式）
１．全体総評～微難化だが全体的に計算量が多い～
題材的には手を付けやすい問題が多く、微難化の印象ですが、分量の多いセットです。第１問や第３問などがいい例で、やることは単純ですが作業量の多い問題が並びます。数IIIからは２題、残りはベクトル、確率、図形とかなりバランスがいいセットと言えそう。複素数平面は今年も登場。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は130分。昨年より増えましたが、これで平均ぐらいみたいです。北大は時間が一定のレンジに収まっています。
過去４年間平均：125分
2017年：110分
2016年：135分
2015年：125分
2014年：130分
２．合格ライン
第１問はただの計算問題なのでかっちり合わせたい、。
第２問は（１）は典型パターン。（２）も結局は式の処理力勝負となるが、差が出そう。
第３問は条件付き確率。区別して数えないとミスする。簡単そうに見えるが、キー問題。
第４問は（１）は取れる。（２）が考えづらいか。
第５問は（２）の証明がキー問題。（３）は（２）を受け入れれば計算は可能。
第１問は押さえる。残り第２問～第５問の（１）を取り、どれか2問が完答出来れば余裕で、１問でもボーダーでしょう。５５％～６０％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【空間ベクトル】内積、長さ、なす角など（AB,15分、Lv.1）
４点の座標が与えられてたベクトルの問題ですが、成分・内積・大きさの計算をひたすらするだけです。
（１）はいいでしょう。（２）は内積の式に持ち込みます。（３）も2乗するだけです。s、tの２変数2次関数ですが、別々に平方完成できてしまう（stの項が存在しないので）ため、全然難しくはありません。
原則を使うまでもない問題でした。
※KATSUYAの解答時間８分。時間だけかかりそうなただの計算で面白くない。
☆第２問・・・【複素数平面】実数条件、等式を満たす実数の範囲（B、30分、Lv.２）
複素数の式が実数になる条件を求める問題。
（１）は北大でも出てますし、超頻出問題です。実数条件と言われたら、こちらの活用ですね。
（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.10-11）
バーをつけて「＝」で繋ぎます。zが実数か、半径２の円周かですね。
（２）は、その条件のもとで等式が成り立つような「k」の範囲ということです。領域を書くときに場合分けしているので、こちらも場合分けするといいでしょう。「実数」のときは、左辺に●iという式が残るので、ここが０、そしてkも０でないとダメですね。
半径２の円周のときは、z＝２（cosθ＋isinθ）として代入します。 そのとき、４／ｚ＝zバー となることも活用しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.7-8 ※大意を変えずに表現変更）
k=-sinθ／cosθ+2 とでます。①微分して増減表でもいいですし、②（ー２、０）と半径１の円周上の点の傾きとして捉えてもOKですし、③x＾２＋y＾２＝１ とy＝k（x＋２）の共有点条件でもOKですし、なんでもいいですが、少し融合的で難しかったですね。
※KATSUYAの解答時間13分。場合分けがあるので、少し時間がかかります。途中でkの最大・最小もやるところが少し骨がある。1番よりは全然解きがいがある。
☆第３問・・・【確率＋整数】カードから選んだ4桁の整数が２、９の倍数になる確率（B、25分、Lv.２）
年号絡みの確率の問題。２、０、１、８が２枚ずつあり、そこから４枚とります。
ここで大事なのは、確率を考える場合は、同じ数字でも区別して考えることです。そうでないと、2018は、2200よりも16倍起こりやすい（理由は考えましょう）ことなどを見逃し、全滅です。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.5-6）
（１）は整数です。９の倍数判定法の証明。さすがに旧７帝大理系の受験者であれば、これは出来なければいけませんね。
（２）から確率ですが、全事象は上記原則により全て区別するので、８P４となります。あとは和が９、１８になる組み合わせを探しましょう。こちらも区別します。例えば１８００のときは、この並べ方自体は24通り（１２通りとはやらない！）あり、１、８は選び方が２通りずつある、という風に計算します。
（３）は条件付き確率なので、分子と分母を計算すればOK。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.32 大意を変えずに表現を変更）
区別して数えるところで強い意識をもたないと、無意識にどこかで間違えてしまいそうです。その意味で、本問は差がつくと思います。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間９分。区別して計算する違和感に勝てれば行ける。最初は慎重に、慣れくれば・・・やっぱり慎重にやりました＾＾；
☆第４問・・・【図形と式】条件を満たす領域、領域内にある条件（BC、30分、Lv.２）
領域の問題です。条件はO,A,Bからの距離の比なので、片方が垂直二等分線で分けられ、もう一つはアポロニウスの円で分けられます。
そこまで意識しなくても、（x、y）とおいて計算で押すだけで（１）は出来ます。図示するときには、普通交点を求めますが、わざわざ交点を出せと書いてあります。この違和感を（２）に活かしたいところ。
（２）は式だけで押すのは難しく、少し図形的に考察が必要。pを０→１１へ進めていくと、OPの垂直二等分線の傾きが小さくなる（どんどん立ち上がってくる）ことと、Qは垂直二等分線の上側になることから、交点の１つを通るときが限界になります。
図形的な考察も必要となる上に、答案にもまとめにくいタイプの問題で、少し難しめ。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間19分。（２）で結構考えましたね。
☆第５問・・・【微積分総合】不等式の証明、面積（BC、30分、Lv.２）
最後は微積分総合です。こちらも適度に差がつきそうですね。
（１）は微分でもいいですし、関数のと凸性の利用が良さそうです。北大受験者なら経験済みでしょう。
（２）は（１）を使えたでしょうか。とりあえず差はとりますよね。
（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.44-47）
微分した式の分母に来る根号内を評価すると、キレイに（１）の式を使えることがわかります。キー問題ですね。
（３）は面積なので、（２）の結果（上下関係）と交点さえ意識すれば出せます。図も書いておいたほうが安全ですね。g（x）は円のなので、扇形を利用する方が計算は楽化と思います。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間16分。（３）は（２）の結果だけ使えるはずなので、（２）は（１）を利用するはずと判断し、評価にたどり着きました。
４．対策
頻出分野は数IIIからは微積と複素数平面、あとは整数、確率、図形で、数Bはどちらか１問でると思われます。
北大は旧７帝大の中ではかなり標準的かつ良問の組み合わせになっており、過去問自体が入試演習に最適です。もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習、入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。
また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第３問)
★ 数学A 整数 (第３問)
★ 数学II 図形と式 (第４問)
★ 数学B ベクトル (第４問)
★ 数学III 微分法の応用 (第５問)
★ 数学III 積分法 (第５問)
★ 数学III 複素数平面 (第２問)
ほとんど書き換えませんでしたので、出題分野は昨年と同じということになりますね。
