北海道大学理系 | 2016年度大学入試数学

2016/02/27 2017/02/25

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

北海道大学（理系）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～全体的に質が上がり、やや難化～

難易度は、昨年よりやや難化。必要な計算量に大差はありませんが、全体的に問題の質が上がっています。これまで、旧７帝大の中ではかなり良心的なセットでしたが、今年は残りの大学の仲間入りしました。分野は北大が好きな微積、確率、数列、ベクトルに加えて、新課程の複素数平面でした。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は135分。解法がすぐに思いつけば、時間的には適量。
2015年：125分
2014年：130分

２．合格ライン

第１問はキー問題。実部xという表現に惑わされずに対応できたか。
第２問はやることは典型的。計算量はあるが、確保したい。
第３問は条件付き確率。丁寧に場合分けして確保したい。
第４問は（２）、（３）は経験がないと難しい。
第５問は空間図形に２次曲線が絡んだ問題。２次曲線の演習量がものを言うので、キー問題。

第２、３問は確保。第１問がダメなら、第５問か第４問を抑えたい。６０強％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【複素数平面＋２次関数】w＝f（z）型、複素数の絶対値の最小値（B,25分、Lv２）

新課程の複素数平面からで、w＝f（z）の形をしたものに対し、｜w｜の最小値を求める問題。｜z｜＝２という条件と、zの実部だけできちんと変形できるかどうかがポイントです。

（１）では、｜w｜^2聞いているので、当然共役複素数との積です。基本の基本ですが、できたでしょうか。

Principle Piece III-新1

複素数zの絶対値は２乗してz・z(バー)で扱い

（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.7-8）

また、zの実部ですが、z＋zバー＝２×（zの実部）となります。拙著では同シリーズのp３５～３６あたりで強調していますが、これが結構使えます。

実部xに惑わされると、どうするか迷うところですが、結局は「z＝x＋yi」とおいて進めてもyは消せます。ただし、計算量はそれなりに膨れます。

（２）は（１）がきちんと正解できれば、ただの軸分けの問題です。

Principle Piece I-25

２次関数の軸分けは5パターンをマスターする

（拙著シリーズ(白) 数学I ２次関数 p.25）

※KATSUYAの解いた感想
お、複素数平面で軌跡型。流れも他ではあまり見ないタイプ。２次関数の軸分けとも絡んで、かなり良問かな。解答時間１３分。

第２問・・・【微積分総合】定積分方程式、最小値（B、30分、Lv.２）

第１問に続いて数学IIIからの出題で、微積分です。定積分方程式なので、前項はとっとと積分しましょう。後ろは＝kとおくパターンですね＾＾

Principle Piece II-109

定積分は定数なので＝kとおく

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.15-16）

なお、前項は「t」で積分しますので、不定積分は「t」が付くだけです。これを間違えると全滅しますので、注意。

三角×指数の積分をさせられますので、こちらの原則でミスなく行きましょう。

Principle Piece III-52

指数×三角は相方出して同時に微分

（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.19-20）

e^(-x)sin xを積分したければ、e^(-x)cosx　も一緒に持ち出しましょう、ということです。

（２）は、（１）で＝kとおいた部分の最小値です。式は長ったらしいですが、微分すると結構消えます。符号に注意すればそんなに難しい微分ではありません。慎重に行いましょう。

※KATSUYAの解いた感想
定積分＝kタイプね。原則に従う。指数×三角入れてくるのか。ちょっと面倒。北大はもうちょっとラクな印象があるけど・・・。とりあえず（１）終了。式が長いな。（２）はkを微分して増減表書いて終了。まあまあかかったな。解答時間17分。

第３問・・・【確率】条件付き確率（B、２５分、Lv.２）

メダルの色に関する確率の問題です。オリンピックでも意識しているのでしょうか。それはともかく、確率では最も大事なこととして、次の原則があります。これを見逃すと、本問は全滅です。

Principle Piece A-25

確率では、同じものでも区別して数える

（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.5-6）

例えば、Aに入っている３枚のメダルについて、（金金金）の場合と、（金銀銅）では、後者のほうが6倍起こりやすいので、後者は並び替えを考慮して６通りと数えなさい、ということです。

条件付き確率では、「とき」の手前の確率を分母、前後がともに起きる確率を分子に持っておきましょう。分母を求める際に場合分けをしていきますが、その中に分子の場合も入っています。よくある流れですね。

Principle Piece A-39

条件付き確率＝(前後両方)／（前）

（拙著シリーズ数学A 確率 p.35）

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
条件付き確率か。新課程から結構出題されてる感じ。丁寧に場合分けして終了。レベルは普通よりちょい上。解答時間11分。

☆第４問・・・【数列＋微分法】解の個数、漸化式、帰納法（BC、30分、Lv.２）

少し式のごつい一般項について、それが整数であることを示す問題。（１）はただの微分でもいけますし、左辺の符号に着目してもいけます。ー２＜x＜ー１、ー１＜x＜０、０＜x＜２の範囲に１個ずつあります。具体的な解は不要です。

（２）からがポイント。慣れてないと難しいですが、解s、t、ｕについては、方程式全体にsのn乗などをかけることで、一気に次数を上げれます。これで数列の漸化式が作れます。

Principle Piece II-13

２次方程式の解α、βのn乗の和は数列的に

（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.13-15）

あとは係数を合わせて足すだけです。（３）は帰納法です。具体的にa_1,a_2,a_3を求める作業がポイント。こちらは分数式の計算です。a_3は、１文字について整理して、うまく因数分解しましょう。「数と方程式」で出てきてもどうってことない因数分解ですが、さらっと出てきても出来るように。（拙著　数学I　数と方程式p.10など）

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
４項間漸化式か。早稲田でもあったけど、今回はそこまで発想はいらないかな。式はごついが、普段通りのやり方でいけるな＾＾　（３）は帰納法。最初３つさえ整数なら、あとは大丈夫やな。通分して分子を計算し、終了。因数分解の大事さがわかる　解答時間18分。

第５問・・・【空間ベクトル＋式と曲線】垂線、放物線の焦点と準線（B、25分、Lv.２）

最後は図形の問題ですが、図はあまり必要ではなく、ベクトルと2次曲線の知識でもって、式で処理していきます。

（１）は単純に空間ベクトルの原則に従いましょう。文字多めですが、診療に。

Principle Piece B-55

空間における点から直線への垂線
[1] 直線上なので１－t、tの係数表示
[2] 垂直なので内積ゼロ

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.79-90）

（２）は（１）の座標がきちんと出ていればすぐ出来るでしょう。式としてはただ放物線を平行移動しただけですが、２次曲線は演習量がすくないので、この程度でも差が出るかもしれまん。準線や焦点がわかる形にするには、y^2=4pxの形が必要です。

従って、今回の式は「（y－●）^2=4p(s+▲)」を見据えて式変形すればOKです。pがわかりやすいように式変形することもポイントです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
最後は空間ベクトル。今年は最後までまあまあ重かったな。最初はただの垂線の足。文字が多いと少しメンドウ。（２）はただ長さが等しいっておけばいいよな。（３）はただ放物線とわかるように式変形するだけやな。なんか意味のある式になるかと思ったが、ただの計算で終わった。解答時間17分。