北海道大学 理系 | 2016年度大学入試数学

      2017/02/25

Pocket

●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

 

1.全体総評~全体的に質が上がり、やや難化~

難易度は、昨年よりやや難化。必要な計算量に大差はありませんが、全体的に問題の質が上がっています。これまで、旧7帝大の中ではかなり良心的なセットでしたが、今年は残りの大学の仲間入りしました。分野は北大が好きな微積、確率、数列、ベクトルに加えて、新課程の複素数平面でした。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は135分。解法がすぐに思いつけば、時間的には適量。
2015年:125分
2014年:130分

 

 

2.合格ライン

第1問はキー問題。実部xという表現に惑わされずに対応できたか。
第2問はやることは典型的。計算量はあるが、確保したい。
第3問は条件付き確率。丁寧に場合分けして確保したい。
第4問は(2)、(3)は経験がないと難しい。
第5問は空間図形に2次曲線が絡んだ問題。2次曲線の演習量がものを言うので、キー問題。



第2、3問は確保。第1問がダメなら、第5問か第4問を抑えたい。60強%ぐらいでしょうか。


3.各問の難易度

☆第1問・・・【複素数平面+2次関数】w=f(z)型、複素数の絶対値の最小値(B,25分、Lv2)

新課程の複素数平面からで、w=f(z)の形をしたものに対し、|w|の最小値を求める問題。|z|=2という条件と、zの実部だけできちんと変形できるかどうかがポイントです。

(1)では、|w|^2聞いているので、当然共役複素数との積です。基本の基本ですが、できたでしょうか。

 

Principle Piece III-新1

複素数zの絶対値は2乗してz・z(バー)で扱い

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.7-8)


また、zの実部ですが、z+zバー=2×(zの実部)となります。拙著では同シリーズのp35~36あたりで強調していますが、これが結構使えます。

実部xに惑わされると、どうするか迷うところですが、結局は「z=x+yi」とおいて進めてもyは消せます。ただし、計算量はそれなりに膨れます。

(2)は(1)がきちんと正解できれば、ただの軸分けの問題です。

 

Principle Piece I-25

2次関数の軸分けは5パターンをマスターする

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.25)

※KATSUYAの解いた感想
お、複素数平面で軌跡型。流れも他ではあまり見ないタイプ。2次関数の軸分けとも絡んで、かなり良問かな。解答時間13分。

第2問・・・【微積分総合】定積分方程式、最小値(B、30分、Lv.2)

第1問に続いて数学IIIからの出題で、微積分です。定積分方程式なので、前項はとっとと積分しましょう。後ろは=kとおくパターンですね^^

Principle Piece II-109

定積分は定数なので=kとおく

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.15-16)

 

なお、前項は「t」で積分しますので、不定積分は「t」が付くだけです。これを間違えると全滅しますので、注意。

三角×指数の積分をさせられますので、こちらの原則でミスなく行きましょう。

Principle Piece III-52

指数×三角は相方出して同時に微分

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.19-20)

 

e^(-x)sin xを積分したければ、e^(-x)cosx も一緒に持ち出しましょう、ということです。

(2)は、(1)で=kとおいた部分の最小値です。式は長ったらしいですが、微分すると結構消えます。符号に注意すればそんなに難しい微分ではありません。慎重に行いましょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
定積分=kタイプね。原則に従う。指数×三角入れてくるのか。ちょっと面倒。北大はもうちょっとラクな印象があるけど・・・。とりあえず(1)終了。式が長いな。(2)はkを微分して増減表書いて終了。まあまあかかったな。解答時間17分。

 

第3問・・・【確率】条件付き確率(B、25分、Lv.2)

メダルの色に関する確率の問題です。オリンピックでも意識しているのでしょうか。それはともかく、確率では最も大事なこととして、次の原則があります。これを見逃すと、本問は全滅です。

 

Principle Piece A-25

確率では、同じものでも区別して数える

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.5-6)


例えば、Aに入っている3枚のメダルについて、(金金金)の場合と、(金銀銅)では、後者のほうが6倍起こりやすいので、後者は並び替えを考慮して6通りと数えなさい、ということです。

条件付き確率では、「とき」の手前の確率を分母、前後がともに起きる確率を分子に持っておきましょう。分母を求める際に場合分けをしていきますが、その中に分子の場合も入っています。よくある流れですね。

Principle Piece A-39

条件付き確率=(前後両方)/(前)

(拙著シリーズ 数学A 確率 p.35)

※KATSUYAの解いた感想
条件付き確率か。新課程から結構出題されてる感じ。丁寧に場合分けして終了。レベルは普通よりちょい上。解答時間11分。

☆第4問・・・【数列+微分法】解の個数、漸化式、帰納法(BC、30分、Lv.2)

少し式のごつい一般項について、それが整数であることを示す問題。(1)はただの微分でもいけますし、左辺の符号に着目してもいけます。ー2<x<ー1、ー1<x<0、0<x<2の範囲に1個ずつあります。具体的な解は不要です。

(2)からがポイント。慣れてないと難しいですが、解s、t、uについては、方程式全体にsのn乗などをかけることで、一気に次数を上げれます。これで数列の漸化式が作れます。

Principle Piece II-13

2次方程式の解α、βのn乗の和は数列的に

(拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.13-15)


あとは係数を合わせて足すだけです。(3)は帰納法です。具体的にa_1,a_2,a_3を求める作業がポイント。こちらは分数式の計算です。a_3は、1文字について整理して、うまく因数分解しましょう。「数と方程式」で出てきてもどうってことない因数分解ですが、さらっと出てきても出来るように。(拙著 数学I 数と方程式p.10など)

※KATSUYAの解いた感想
4項間漸化式か。早稲田でもあったけど、今回はそこまで発想はいらないかな。式はごついが、普段通りのやり方でいけるな^^ (3)は帰納法。最初3つさえ整数なら、あとは大丈夫やな。通分して分子を計算し、終了。因数分解の大事さがわかる 解答時間18分。

第5問・・・【空間ベクトル+式と曲線】垂線、放物線の焦点と準線(B、25分、Lv.2)

最後は図形の問題ですが、図はあまり必要ではなく、ベクトルと2次曲線の知識でもって、式で処理していきます。

(1)は単純に空間ベクトルの原則に従いましょう。文字多めですが、診療に。

Principle Piece B-55

空間における点から直線への垂線
[1] 直線上なので1-t、tの係数表示
[2] 垂直なので内積ゼロ

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.79-90)


(2)は(1)の座標がきちんと出ていればすぐ出来るでしょう。式としてはただ放物線を平行移動しただけですが、2次曲線は演習量がすくないので、この程度でも差が出るかもしれまん。準線や焦点がわかる形にするには、y^2=4pxの形が必要です。

従って、今回の式は「(y-●)^2=4p(s+▲)」を見据えて式変形すればOKです。pがわかりやすいように式変形することもポイントです。


※KATSUYAの解いた感想
最後は空間ベクトル。今年は最後までまあまあ重かったな。最初はただの垂線の足。文字が多いと少しメンドウ。(2)はただ長さが等しいっておけばいいよな。(3)はただ放物線とわかるように式変形するだけやな。なんか意味のある式になるかと思ったが、ただの計算で終わった。解答時間17分。

 

 

4.対策

北大は旧7帝大の中ではかなり標準的かつ良問の組み合わせになっており、過去問自体が入試演習に最適です。もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。

また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

 

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 
2010年度
>> 2011年度
>> 2012年度
>> 2013年度
>> 2014年度
>> 2015年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 数と方程式 (第4問)

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第1問)

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第4問)

★ 数学II 三角関数 (第1問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第2問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第1問)

★ 数学III 式と曲線 (第5問)

 

 

Pocket

 - 2016年度大学入試数学 , , , , , , , , , , ,