広島大学理系| 2019年度大学入試数学

2019/03/07

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は広島大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
広島大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

広島大学
（全5問、150分、記述式）

１．全体総評～全体的に質が高く難化～

昨年から難化です。2017年から難、易、難を繰り返しています。(そこまでの変動幅ではない)　文理共通問題は2問あり、片方は穏やかですが片方は文理ともに厳しめで、理系のみの最後の問題には苦しめられそう。その他も全体的に計算量が多いセット。小問に分かれているので、点数は稼げそうです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は150分。これで適量ですね。

2018年：140分

2017年：160分

2016年：113分

2015年：145分

２．合格ライン

第１問は文理共通の穏やかな方。全体を考えるとここは取りたい。
第２問は確率だが、全体的にひねりが多い。（３）が難しいか。他は確保したい。
第３問はキー問題。やることは明確だが、最後まで計算をしっかり合わせられるか。
第４問もキー問題。第３問同様、小刻みな計算に耐えれば、やることは明確なものが多い。
第５問の文理共通は平面幾何の証明もあり、苦手意識が高いかも。（５）の計算も厳しい。前半押さえればOK。証明まで出来ればOK。

１番をおさえ、2番は（３）以外、5番は（１）（２）まで確保。３番と4番が両方できれば余裕。最低でも1完以上欲しいところ。60％強ぐらいでしょうか。今年は難しめですね。

３．各問の難易度

第１問　【指数対数＋数列】漸化式、等差(等比)数列の証明など（B,20分、Lv.２）

指数対数と数列の融合問題。つながりがあるような、ないような感じの文理共通問題です。

作成者の意図からすると（１）は対数を取らずにやることを想定していそうですが、漸化式の形からは（１）から対数を取りたくなりますね。(Principle Piece B-22 数学B 数列 p.48-49)

（２）は、（１）で対数を取っていればすぐに出来ます。ｎの1次式であれば等差数列は確定ですが、証明なのでc_n+1ーc_nが定数になることを確認しておきましょう。

（３）は（２）のシグマ計算をしてｎで割ります。ｌｏｇ_2●の形におしこめば、ｄｎ＝●です。指数に対数が入っている場合の計算は、広大理系の受験生ならいいですよね。(Principle Piece II-85 数学II 指数関数・対数関数 p.16-17)

等比数列の証明なので、（２）と同様にｎ＋１項目とｎ項目の比が一定であることを証明しましょう。

※KATSUYAの解答時間11分。漸化式的には対数を取ろう。いや、なんか後半から対数の設定になってるな。てか、文字がかぶったし＾＾；　対数とらずに（１）やるってこと？　いや、ｅｎとおいて対数とることにする。普段通りにやることが大事。（２）は（１）で対数とってるので瞬殺。（３）も和を取ってｎで割るだけ。

☆第２問　【確率＋数列】カードの数字の条件を満たす確率（BC、30分、Lv.２）

カードの数字をもとに座標を作っていき、その条件に合う確率を求める問題。座標設定にはそこまでの意味はなく、条件が分かればカードの数字だけに目をむければＯＫ。

全体として、Ｎに具体的な数値を入れてみると様子が分かりやすいです（（２）（３）など）。サイコロだとＮ＝６なので、これで試してみてイメージがつかめるとよかったと思います。

（１）は「ａ１＝ａ３かつａ２＝ａ４」と言っているだけです。そもそも、２回引いて数字が等しい場合はＮ^2のうちＮ通りしかありません（(1,1)~(Ｎ,Ｎ)）ので、確率が１／Ｎと分かります。この事象が２回起きればＯＫ。サイコロ２回のときを思い出せばそんなに難しくないでしょう。対角成分です。

（２）の条件は「ａ１≧ａ３かつａ２≦ａ４」です。対称性を活かすとかなりラク。まず、前半と後半は確率が同じです。また、a1＝a3となる場合以外で、ａ１＞ａ３とａ１＜ａ３は同数あります。これもサイコロ２個の表をイメージすると分かります。上三角の部分と、下三角の部分ですね。

よって、（１）の確率を１から引いて２で割り、それに（１）の確率を足せばＯＫ。それを２乗しましょう。

（３）は難しいと思います。条件としては、ａ１＋ａ４＝ａ２＋ａ３　となりますが、この値が何を取るかによって何通りあるかが変わります。これもサイコロでイメージするといいでしょう。

和が５となる場合は４通りありますので、ａ１＋ａ４＝ａ２＋ａ３＝５となる場合は４×４＝１6です。サイコロの場合なら、これを２~１２までやればいいわけですが、一般のＮだとシグマ計算が必要となりますので、難易度は高めです。

また、和も２~Ｎ＋１までと、Ｎ＋２~２Ｎでは様子が変わります。サイコロでいうと、７を境目に対称になります。これを一般のＮで説明しないとダメですので、シグマも２つに分かれますし、経験がないと難しいでしょう。

（４）は設定がややこしいだけで、結局はａ１×ａ２＝２＾ｍ　となる場合を聞いているだけです。落ち着いて絵をかけば分かります。指数を考えるとｍ＋１通りしかないです。そのとき、ａ３はａ１と、ａ４はａ２と同じのため、１通りずつですね。

※KATSUYAの解答時間２０分。なんだこの座標設定。ストレートにきいてもそんなに変わらない気がするけど。（３）はサイコロのイメージでやる。Ｎ＋１を境目に変わるから結構説明がメンドウ。

☆第３問・・・【微積分総合】定積分方程式、解の配置、面積の大小（B、25分、Lv.２）

今年も３番が微積分総合です。こちらはかなりうまく融合されており良問です。小刻みに誘導があるので、あとはこれに従って計算を合わせられるかです。

（１）の前半はｘ＝０を代入すればすぐに分かるかと。後半は両辺を微分です。定積分の積分区間にｘがあるパターンですね。(Principle Piece II-116 数学II 積分法 p.23)　都合の悪い項が全て消え、キレイに出ます。

（２）は（１）を積分するだけです。部分積分は三角の部分から変形です。(Principle Piece III-45 数学III 積分法 p.9)　

（３）はグラフがｘ軸と１回だけ交わればOK。極小値ｃｏｓ１－１／２の部分がポイントでしょうか。１(ラジアン)＝５７°ぐらいで覚えていると、cos１＞cosπ／３＝１／２と出来ますね。

（４）はＳ１とＳ２の大小ということですが、αも分かりませんので、別々に求めるわけではないと気づきたいところです。ｆ（ｘ）を０~πまでそのまま積分すれば。Ｓ１－Ｓ２になりますので、これの符号で決めるわけですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間20分。やることは明確。関数も適度に複雑やけど増減はわかる。全体的に計算もそこそこある感じなので、適度に差がつくかな。良問。

第４問　【複素数平面】軌跡（B、25分、Lv.２）

今年も4番が複素数平面で、軌跡です。他の分野とがっつり融合ではないようです。

（１）（２）あたりを見ると、最初からｘ＋ｙｉとかおいておく方がいいのでしょう。絶対値などが付いているならともかく、ただのz^2などがあるので、成分のほうがよさそうですしね。

（３）は見かけ倒し、問題文が長いだけです。ｚがｙ＝ｘ＋１上のー１≦ｘ≦０の部分を動くだけです。ｗの実部、虚部もｘだけの式にできます。（１）の直線上ですので、もちろん実部はなくなります。あとは虚部の範囲だけです。

（４）も同じ。ｚの成分にはｙ＝－ｘ＋１の関係があります。これを代入するだけです。

成分表示出来たかどうかだとは思いますが、（２）があるのでこれは押さえたいところです。軌跡は受験生は苦手なので差は付きそうですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間14分。（３）（４）あたりは問題数を稼いでいるように見えるが。同じことやってるだけやん。途中計算ミスったのでロスあり。

第５問　【図形と式＋平面図形＋微分法(III)】垂心、内心、内接円の半径の最大値（C、45分、Lv.２）

最後は三角形の垂心を題材とした図形総合問題に、微分が絡んでいます。文理共通問題です。(文系は（４）までで微分なし)途中で内心であることの証明が入ります。平面図形の演習量が少ない受験生にはこの程度でも差が出そうで、（３）（４）あたりは難しいかもです。

（１）は簡単です。傾きの精、内積・・・何を使っても行けそうですが、座標平面にあって「直角」なので、長さの2乗が絡む3平方が思いつきやすいかと。(Principle Piece II-30 数学II 図形と式 p.6-7)　

（２）はOPとADの交点でOK。垂心の定義や存在については問題文で書いてありますし、BEまでやる必要はありません。

（３）は有名な事実なのですが、これでも難しいかもしれません。こんな感じの流れです。

∠BOP=∠BEP=90°からBOEPは同一円周上にありますので、∠BPA=∠AOEです（対角の外角は等しい）。

∠PDA=∠POA=90°からPDOAも同一円周上にありますので、∠BPA=∠BODです（対角の外角は等しい）。

ということは∠AOE=∠BODですので、90°から引いた∠EOPと∠DOPも同じです。他も同様に言えます。同一円周上に気づけるかどうかですが、垂線を引いた場合にはよく利用する円です。

（４）はHが内心であることを受けいれて計算は可能。交点Dを出す→ODを出す→HとODの距離が半径となります。結果はまあまあ煩雑ですね。（５）が嫌になるのが見えます。

（５）は、ややこしい（４）の結果を微分することになります。最大値を与えるｔの値はどーのこーのありますが、結局はある程度まで出さないと存在は証明できません。うまく置き換えて微分することになるとは思いますが、それでも計算はかなりありますね。

形的には、対数微分も計算は少しラクになるかもです。(Principle Piece III-25 数学III 微分法 p.20-21)　

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間23分。（５）まじか。これ微分するんか。対数微分法でいくかな。それでも4項もあるのでまあまメンドウ。結局微分してから解の存在を確かめるために置き換える。最初から置き換えてもよかったかな。とりあえず増減から最大値の存在は確認。ｔ＝√（３＋４√２）　で明らかに√３より大きいので大丈夫やろと思い終了。

４．対策

広島大は、やることは典型的ですが、融合問題が多い印象です。問題にあたっていく中で、「これを使えばいい」と判断できる力が必要です。手法自体は、青チャートで十分網羅できていますので、まずは手法を一通りマスターし、その上で融合問題を多く解く演習をしましょう。数学IIIの計算はもう少し複雑なことが多いので、微積で計算練習を怠らずに。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。