同志社大学理工学部 | 2019年大学入試数学

2019/02/18

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

同志社大学（理工学部）
（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

１．全体総評～計算量や難易度は例年並みに戻る～

数IIIの割合が少し戻り、第１問（２）で極限、第２問、第３問です。第４問も説明しにくく時間がかかり、全体としては昨年より難化していますが、これで例年並みの印象です。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は125分【113分】（←穴埋め考慮）

2018年：101分【89分】（←穴埋め考慮）

2017年：142分【128分】（←穴埋め考慮）

2016年：112分【101分】（←穴埋め考慮）

2015年：130分【110分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問の10個の穴埋め。（１）の「オ」は意外と難しい。（２）は文字なのでメンドウだが、典型的なタイプ。本学部受験者ならおさえたい。

第２問も数IIIの計算だが、普段に比べるとラクかと。おさえたい。

第３問も言われた通り計算するだけで、この積分も本学受験者なら出来るはず。

第４問は残り時間でどこまで記述出来るか。（３）ぐらいまでならいけるはず。（５）（６）の説明はメンドウ。

第２問と第３問は計算力で押さえたい。第１問も７割以上は確保。これで第４問であまり出来なくても大丈夫でしょう。逆にここまでで計算ミスを多発するようだと、第４問の正解で差をつけることを強いられそう。　６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【図形と式＋空間ベクトル＋三角関数】面積、外接円、内積、三角方程式（B、12分【8分】、Lv.2）

いろいろ聞いてきますが、全部独立している印象で、融合問題・・・とは言い難いかな＾＾；

Ａ，Ｂ，Ｃは空間座標表示ですが、この３つならｘｙ平面の話なので、面積は１／２｜ａｄ－ｂｃ｜、円の半径も教科書にある３点からの円決定のタイプです。一般形でおいて連立するか (Principle Piece II-25 図形と式 p.39) 、垂直２等分線の交点などから円を特定しましょう。

「ウ」は半角を用います。「エ」はsin、cosの２次式のみがあるので、２θに変形して合成ですね。(Principle Piece II-７６図形と式 p.52-53) 一応「ウ」はヒントのつもりでしょう。

最後の方程式は意外と難しいです。合成するとsin (2θ-α)の値は出ますので、sin２θ＝sin{（２θーα)＋α）}で計算として加法定理を用いるのが一番いいかと思います。あまりないタイプの三角方程式ですね。

第１問（２）・・・【確率】確率と漸化式（B、15分【10分】、Lv.２）

今年の確率は漸化式絡みです。漸化式が絡む問題が比較的多いです。文字になっているので少々計算はメンドウですが、いつも通りの原則を用いましょう。 (Principle Piece Ａ-41-43 確率 p.39-43)

まずは、ｎ回目とｎ＋１回目の遷移を調べます。「ｎ回目金貨→表出る」「ｎ回目銀貨→裏出る」のいずれかです。出る効果は金貨か銀貨しかないので、確率は当然足せば１になります。

この手の漸化式では、極限があるのであれば、出来た漸化式の特性方程式の解が極限値となります。穴埋めから極限の存在が保証されているので、特性方程式の解さえ出せば「ケ」は終わりです。

文字係数もある中で一般項まで出すのは少しメンドウなので、この方法は知っておいて損はないでしょう。

ｑｎはｐｎで表せます（金で表 or 銀で表）ので、極限値もそのまま代入です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間計１７分。(1)で時間を持ってかれた＾＾；

☆第２問・・・【微積分総合】不等式、解の個数、回転体の体積、極限（B、25分、Lv.２）

いろいろとやりますが、同志社理工としては普通の計算量です。方針が立たないものはないと思いますので、ここは計算を合わせられるかどうかですね。

（１）は教科書にも載っているレベル。「左辺ー右辺を微分、まだよくわからないのでまた微分」でいきましょう。 (Principle Piece III-38,39 数学III 微分法の応用 p.41-47)

（２）は解の個数なので、定数分離されていますし、そのまま視覚化すればOK。 (Principle Piece I-34 数学I 2次関数 p.48) グラフでｘ→∞の様子を調べるのに、（１）の結果が使えます。

（３）は（４）のために、先に不定積分を出してほしいということです。定積分で部分積分するとミスしやすいので、先に不定積分を出すというのは、比較的自然な流れです。2回部分積分しましょう。

極限はａ→＋０のとき、ｐ→＋０、ｑ→∞になることを利用して求めましょう。ここでも（１）の結果は使えます。これで特殊な式変形も必要なく、最後まで求められます。

※ＫＡＴＳＵＹＡは15分で解答しています。ミスもなくすんなり行けました。

第３問・・・【微分法＋積分法の応用】特殊な積分、弧長（B、25分、Lv.２）

第２問に続いて微積分の問題。√ｔ＾２＋１　の積分を利用し、弧長の長さの計算をしていきます。こちらも誘導が丁寧なので、落ち着いて合わせたいところです。

（１）、（２）の前半は積分計算のための準備です。（２）の前半の結果から、√t^2+1＝・・・の式に直していきます。それを積分すると考えると、（１）の結果も出てきますので、積分が進みますね。

（３）はいいでしょう。ｘーｙ＝ｔとおくと、ｘ＋ｙが出ます。あとは連立です。

（４）はただの2次関数の最大・最小です。これは何なんでしょう＾＾；

（５）は、PQ間の積分。（２）が出来ていれば、落ち着いて正解したいですね。

※KATSUYAは16分で解答しています。（４）必要ですかね？「ｔ＝－１~ｔ＝１における弧長を求めよ」でいいのでは？

☆第４問・・・【複素数＋図形と式＋数列など】条件を満たす複素数の個数（C、45分、Lv.3）

最後は論証に近いタイプの問題です。条件を満たす複素数の個数を一般的に考察する問題。

（１）はただの計算ですが、（４）につながる問題です。

（２）は計算し、０≦実部≦５、０≦虚部≦５　とすればOK。

（３）の前半は（２）を図示し、格子点を数えます。（３）は改めて図示しなおしてもいいですが、m_5から境界線上を除けばOK。

（４）は（１）が使えます。５＝（１＋２ｉ）（１－２ｉ）、５ｉ＝（１＋２ｉ）（２＋ｉ）と変形し、ｚ＋５、ｚ＋５ｉが（１＋２ｉ）（●＋▲ｉ）（●、▲は整数）の形に出来ることを示せばＯＫ。

それを逆にすれば、ｚ＋５、ｚ＋５ｉがＬに属するなら、ｚもＬに属します。この対偶を取れば後半もＯＫですね。

（５）がメインでしょうが、説明がかなり大変です。

m_10についてですが、（３）で示した領域（単位領域と読んでおきます）が正方形が縦横２個ずつ並ぶイメージです。境界線上にない点は、実部を＋５、or 虚部を＋５するたびに、隣の正方形の同じ部分に移ります。従って、境界内の点４つはどの正方形にもあるはずです。境界上の点については、同じ考え方をするとかぶったりしてしまうので、素直に数えればいいでしょう。

このイメージがわけば、これを一般化するとｍ_5kも出せます。単位領域が縦にｋ個、横にｋ個並ぶ感じです。

（６）は、まず検討をつけましょう。5k^2がメインなので、これが2019ぐらいになるｋを探しましょう。ｋ＝２０と出ます。m_100はｋ＝２０で、2041となり、2019をちょっと超えます。m_99は、ここから実部100 or 虚部100のものを引きます。境界線上の下と右の直線上にある格子点のイメージです。右下が被るので、21+21－1＝41　だけ少なくなり、めでたく2019を下回ります。

これで下回らないと、m_98を数えるのは結構難しいですので、ここは考慮されているみたいですね。

※KATSUYAは30分で終了。（５）の論証はなかなかつらいですね。