広島大学 理系| 2016年度大学入試数学

      2017/03/05

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は広島大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
広島大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





広島大学
(全5問、120分、記述式)

 

 

1.全体総評

昨年よりやや易化。全体的に小問が多く、誘導によって部分点は稼ぎやすい。新課程の複素数平面では、本格的な点列の問題。その他の問題はバランスがよく、典型的なものと思考力を見るものが出題されました。計算量は大幅に減っている印象です。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は113分。時間には余裕がありそうです。

2015年:145分

 

2.合格ライン

第1問の空間ベクトルは言われたことをやるだけ。おさえたい。
第2問は数学IIIだが、今年は軽すぎて落とせない。
第3問は本格的な複素数平面。キー問題。
第4問は確率で、少し思考が必要だが、理系なら気づいておさえたい。
第5問はキー問題。最後以外は解けそう。

3完して、残りにも手はつけられそうなので、65%ぐらいなら取れそうです。






3.各問の難易度

第1問・・・【空間ベクトル】垂直条件、四面体(3辺直交型)(AB,18分、Lv1)

垂直条件を式にしていき、最後に体積に関して聞いています。文系と共通ということもあり、もう少し化けそうなレベルの問題でしたが、誘導過剰で難易度が下がっています。文字計算の処理、って感じ。

(1)、(2)はひたすら条件を式にし、文字を消去していきましょう。消去すべき文字を意識していれば、問題ないでしょう。

(3)は、(2)から3辺はお互いに直交しているので、四面体の体積は簡単に求められます。それをsの式で表せばOK。

※KATSUYAの解いた感想
s,t,u,vがたくさんある。ちょっと難しそう。(1)はs、tだけの話で瞬殺。(2)も、、、ただ垂直条件を式にして消去すればOKか。(3)は、(2)のときやから、全部垂直。なら体積は簡単に出せる。sだけの式になっていて、意外と式もラク。見掛け倒しか。原則を使うまでもない。解答時間8分。

第2問・・・【関数+微積総合】逆関数、導関数、面積(B、15分、Lv.2)

普通には原始関数が求められない関数の面積計算ですが、(2)で原始関数を微分させていますので、それが大きなヒントになっています。この種の関数は有名なので、経験済みでしょう。
(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.21にも、似た題材があります^^)

逆関数を求めるときは、単調性や解の確認等、注意しましょう。

※KATSUYAの解いた感想
まず逆関数。e^xの2次方程式型。それを微分、ああ、例の形か。(3)はそれを用いて終了。もう少し計算量があったほうが。これでは軽すぎると思われる^^;解答時間5分。

☆第3問・・・【複素数平面】回転点列(B、25分、Lv.2)

新課程の複素数平面から、本格的な出題です。点列は応用問題としてよく出題されます。こちらも誘導が丁寧で、文字も置いてくれていますので、順番に解いていけばいいでしょう。

回転点列では複素数における等比数列の和の計算で求めることができます。数列の公式和のは、複素数でも使えますので、大いに活用しましょう。

(1)は出すだけです。z2まで出ているので、足していけば早そうですね。


(2)は等比数列の和が威力を発揮します。(3)では、αの絶対値に着目しましょう。(4)は、(2)の式を用いて実部を計算し、三角不等式を解けばOK。周期が8であることに気づきたいですね。

※KATSUYAの解いた感想
おお、本格的な複素数平面。このタイプは今年初めて見たかな。(1)は瞬殺。(2)は上記のとおり等比数列の和で終了。(3)は絶対値に着目して出す。x、yで分けた極限やと場合分けいるから、やっぱ複素数平面のほうがラクやから好きやな~^^(4)は典型ではないが、式変形してみるとただの三角不等式。cosの符号ミスって、出た答えが図形的に合わない^^;ほぼ真逆やん。ってことは符号違うってことやな。もう一度計算し直し、終了。解答時間18分。

第4問・・・【確率】点の移動、反復試行など(B、25分、Lv.2)

格子点を移動する問題で、題材としてはよくありますが、(3、1)に行くと原点にもどる、というルールがあり、少し考える作業を要求しています。

(3、1)に行くなら4回目、8回目、12回目、、、と4の倍数です。これを利用すればかなり見通しがたしますね^^

(1)はただの反復試行です。どっちも1/2なので、整理するまでもないようです。

Principle Piece A-33

反復試行では1回あたりを詳しく整理しておく

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.21)


(2)は、「ふりだしに戻る」に当たらないように(5、3)にたどり着けばOKです。「通らない」は余事象ですね^^(5、3)に行く確率から、(0、0)→(3、1)→(5、3)と行く確率を引けばOK。

(3)では、原点に戻されることがあるかどうか、というところがポイントです。1度でも原点に戻されると、x+y≦4となりますので、(1)の確率がそのまま使えることになります。

(4)はそれを一般化しているだけ。原点に戻されることにより、x+yが4減ることに気づけば、何回戻されればよいかがわかります。また、1度でも通らないと、二度と通りませんので、戻されるときは、連続で通らなければいけませんね。

※KATSUYAの解いた感想
経路の確率。ふりだしポイントがあるのね。(1)はふりだしに行く確率。(2)はふりだし通りらずに行けばOKやから引き算か。(3)は1回でも戻ればOK。(4)は(3)で気づいたので、n-k回もとればOKってことやな。解答時間9分。

第5問・・・【微積分】整数の下1桁、2桁、3桁の周期(BC、30分、Lv.2)

2^nの下1桁、下2桁、下3桁を求める問題。下1桁は4周期ですが、下2桁の周期は目新しいです。指数にnが入っているなら合同式利用がいいですね^^

 

Principle Piece A-58

n乗の余り → 合同式を用いて余りを調べる

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.31)


最初は下二桁だけどんどん計算して、目星が付いたら、合同式で正式に示すとラクだったかもしれません。下二桁なので、鳩の巣原理を考えても、多くても100回、2倍し続けるれば同じものが出てくるはず。3、4分もあれば書けます^^

22乗で、下一桁が4になりますので、これを正式に合同式で示せばOKでしょう。本当は(4)のように行うべきなのでしょうが、流れからしても「調べて」という意図の強い設問ですので、これでいいと思います。

(2)、(3)は1次不等式の特殊解から一般解にするだけで、教科書問題ですね。片方の係数が小さいので、例えば4x=25y+1であれば、y=0、1、2、3だけを入れれば、どれかは当てはまります。

(4)は、問題文の条件が大きなヒントです。かといってこれを書かないと100乗まで下3桁を計算するのはちょっとしんどいので、仕方ないですね。あとは、(3)が利用できる形にします。2^{m+100}-2^m などとやってみると、それが現れますね^^

※KATSUYAの解いた感想
周期系か。まあ最悪書き出してから示せばOKやから、完答確定やな。(1)は16乗ぐらいから書き出す。22乗で戻るから周期20か。(2)、(3)は瞬殺。たぶん76と376やな。(←何乗しても下2、3桁の変わらない数字です)(4)は(3)を利用すればいいねんな。問題文に書いてある時点でほぼ周期100確定やけど、さすがに調べさせるのはきついか。

 

4.対策

広島大は、やることは典型的ですが、融合問題が多い印象です。問題にあたっていく中で、「これを使えばいい」と判断できる力が必要です。手法自体は、青チャートで十分網羅できていますので、まずは手法を一通りマスターし、その上で融合問題を多く解く演習をしましょう。数学IIIの計算はもう少し複雑なことが多いので、微積で計算練習を怠らずに。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2015年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学A 整数 (第5問)

★ 数学B ベクトル (第1問)

★ 数学B 数列 (第3問、第5問)

★ 数学III 関数 (第2問)

★ 数学III 微分法 (第2問)

★ 数学III 積分法の応用 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第3問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)

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