京都大学 理系 | 2017年大学入試数学

      2017/03/06

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2017年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





京都大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~昨年同様、差の出やすいセット。微易化~

難易度は昨年並。昨年度と同様に差の出やすい難易度の問題が多い。複素数平面は1番に登場。2、3、4あたりが取れそうで意外とてこずるか。分野は微積、ベクトル、確率(+漸化式)、など頻出分野で昨年とほぼ同じ。東大より手応えを感じるセット。また、あまり2次では出題されない平面図形の分野から2年連続で出題。


試験時間150分に対し、
標準回答時間は170分。

2016年:185分
2015年:195分
2014年:175分
2013年:140分
2012年:187分
2011年:135分
2010年:152分

2014年並みの難易度と言えそうです。

2.合格ライン

第1問は簡単とは言わないが、全体から考えて確保したい。
第2問、第3問はキー問題。
第4問は本セット最難問で、(2)は結構難しい。
第5問は計算量が多いが典型パターンなのでコツコツやって抑えたい。
第6問は確率と漸化式で、京大としては簡単なので確保したい。

1、5、6で確保して、残り第2、3問のどっちかを確保できれば6割強。医学部なら4完1半ぐらい欲しい。


65%ぐらい(医学部以外)、75%ぐらい(医学部)ですね。


3.各問の難易度

☆第1問・・・【複素数平面+式と曲線】軌跡、媒介変数表示(B,20分、Lv.2)

複素数平面を利用した軌跡の問題で、うまく媒介変数、定数を入れ替える設定になっています。(1)、(2)ともにx、yについての式はほぼ同じ形をしています。

(1)は偏角が変数ですので、sin^2θ+cos^2θ=1を利用しましょう。(2)では、rが変数ですので、r+1/r=・・・、r-r1/r=・・・に直して、2乗の差を取りましょう。r>0なので、定義域に制限があるのを忘れずに。

 

※KATSUYAの解いた感想
複素数平面、というより媒介変数の問題。軌跡でx+yiとおくのだから、当たり前か。(1)はθが変数やから相互関係。(2)は、ほぼ同じ式やけど、偏角は決まっているので、rが変数。2乗の差のパターンか。うまく設定してきたな。そんなに難しくはないけど^^:
解答時間9分。

 

第2問・・・【空間ベクトル】四面体と八面体(BC、30分、Lv.2)

四面体の各辺の内分点を結んだときに正八面体になっているなら、内分点は中点でかつ四面体も正四面体になっていることを示せ、という問題です。

抽象的ですが、こちらの原則にしたがって行くしかありません。

Principle Piece B-50

 空間ベクトルでは基本のベクトルを3つおく

(Principle Piece 数学B ベクトル p.62-63)

OA,OB,OCを基本ベクトルにして、線分上の内分点も全てs:1-sなどとおいていくしかないでしょう。文字が多くはなりますが、今は内分点はバラバラです。(1)は平行なので実数倍(k倍)となります。bベクトルの係数を比較すれば題意の部分は得られます。

(2)は、(1)をさらにうまく使えばいいです。正八面体なので、D,G,F,Eの4点で結ばれる部分は正方形になりますので、k=1ということです。これに気づけば、他の部分の内分比の関係も得られます。

これと同様の操作を、D,H,F,I、さらにG,H,E,Iの4点でも行うと、全て中点だと分かります。全て中点であれば、例えばOABとDEHは相似な三角形であると分かりますが、そのDEHは正八面体の面で正三角形なので、OABも正三角形となりますね。

 

※KATSUYAの解いた感想
抽象的な四面体問題。京大はこのタイプ好きやな。とりえあえずa,b,cで置いて、文字で内分点を設定してひたすら計算。(1)はさくっと終了。(2)は、とりえあえずk=1で関係式をさらに出す。他の部分でもやってみると、全て中点が言える。結構量が多いな。とりえあず前半はOK。正四面体であることを言うなら、内積導入か。いや、中の三角形と外の三角形相似で、中は正三角形だから外も正三角形やな。よしよし。解答時間22分。

 

☆第3問・・・【三角関数+整数】倍角、加法定理、方程式の整数解(C、30分、Lv.2)

tanの加法定理や倍角と絡めた整数問題です。設定はすっきりしており、かつ適度に難しく良問です。

とりあえず左辺の式をp、qで表すしかないでしょう。tan2βを計算すると、q=1ではマズイことがわかりますので、q=1は別で場合分けを行っておきましょう。

左辺=2を整理した式は、pについて1次式ですので、p=・・・の形にすると見えたと思います。自然数となるには、少なくとも分子は分母以上です。qが大きくなれば分母のほうが大きいのは明らかなので、これで絞れますね^^

Principle Piece A-65

 整数問題は候補を絞って全調査

(Principle Piece 数学A 整数 p.45)

どのようにして候補を絞るか、というったところが演習量の差として出てきそうです。「奇数か偶数か」などは分かりやすいですが、今回のような「自然数なので1以上」といった当たり前のことほど、見抜きづらいですね。


※KATSUYAの解いた感想
整数問題かな。とりあえず加法定理で左辺を変形する。2βの式見て、q=1はマズイので場合わけかな。とりあえず式の分母を払う。ごちゃっとしてるけど、pは1次式やからp=になおす。これが自然数になるには、、、いや、とりえあず1以上で絞るか。qが大きいと分母のほうが大きくなるので、絞れるはず。2~6と出た。さらにqは奇数でないとマズイから3か5しかないな。q=1の場合は別で行い、有り得ないことを証明して終了。 解答時間11分。

 

第4問・・・【三角比+三角関数 or 平面図形】内接円の半径の取りうる範囲(CD、40分、Lv.3)

本セット最難問はこれでしょう。意外と手をつけられそうにみえますが、実は結構難しいと思われます。(1)の誘導をうまく使えれば、PがBCを見込む角が120°となるような部分を動くこと、内接円の半径はそのPからBCに下した垂線の長さであることを両方利用すると上手くできます。

前者は平面幾何の知識で、かつ後者は当たり前の事実なので、(1)があったとしても気づきにくかったかもしれません。なお、私は(1)の意図がよくわかず、(2)の内接円の半径は、Sを媒介として三角比と三角関数でゴリ押ししました。なお、三角形絡みの問題では、和積を駆使するとうまく行くことが多いです。

A+B+C=180°、360°のときに等式を証明せよ、といった問題でよくやりますね^^

Principle Piece II-65

 三角形絡み(和が180°、360°)の等式証明は和積+相互関係+倍角

(Principle Piece 数学II 三角関数 p.43)

ただし、式変形の過程はかなり長く、どこまで変形すればOKか(最もわかりやすい形なのか)も判断しづらいので難しいですね。

※KATSUYAの解いた感想
(1)は内心やから角の二等分線の性質使って終了。(2)は(1)を何に使うか気づかず、とりえあず∠B=θとおいてAB,BC,CAを正弦定理使って表し、面積→内接円の半径へ持っていく。和積でθを消せる変形にもっていけるかな。分母を積→和、分子を和→積に。お、角度はちょうど2倍やし、いけそう。約分もできて意外とすっきりしたので安心。θの範囲は鋭角三角形やから30~90かな。定義はされないが、端っこで値等しいはず。確認して終了。解答時間23分。(1)をどう使うかを考えてた時間が結局ロスやなぁ。


☆第5問・・・【積分法の応用】面積の最大・最小(B、30分、Lv.2)

面積の最大、最小です。途中で上下が入れ替わるパターンで場合分けをする必要が有り、題材的には絶対値付き定積分とほぼ同じです。 上下が入れ替わる区間と積分区間の大小で分けましょう。

Principle Piece II-115

 絶対値付き定積分は中身=0と両端の大小で場合分け

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.17-21)

本問の場合は、x=√2上の曲線を通るときのaに加え、x=0における接線の傾き(y’=1)との大小でも上下関係が変わることを判断できたかどうか、です。なお、交点で議論してもできます。

したがって場合分けは3つですが、真ん中以外は面積的にも単調性がほぼ明らかで、面積を計算する必要はないでしょう。真ん中の式はその後さらに微分して増減表を書きますので、計算量は比較的多めです。

xe^-xの積分は部分積分で行いますが、頻出の式ですので、結果を知っておいてもいいでしょう。

 

Principle Piece III-45

 部分積分の順位 指数=三角>整式>対数

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.9)

※KATSUYAの解いた感想
上下関係で場合分けパターンね。x=0での傾き以上か以下かと、あとは端っこの点通るかどうかやな。途中の交点は求ま・・・るから「
t」でおく必要は無し。てか、求まるならx=0の傾きで議論しなくてもいいのか。まいいか。真ん中以外は単調なのでそれを述べる。面積の式を出し、またそれを微分。意外と計算量多いな。解答時間18分。

 

第6問・・・【確率+数列】確率と漸化式、n桁の数の和(B、20分、Lv.2)

今年も京大は確率と漸化式で持ってきましたが、京大にしてはかなり簡単な方です。

3で割り切れるとのことなので、桁の和が3の倍数とすぐに読み替えは出来ると思います。n枚の和が3である確率ということで、漸化式タイプと分かります。お決まりの原則です。まず遷移図。



Principle Piece A-40

nとn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

桁の和が3の倍数以外にも、3で割って1余る、3で割って2余る場合も文字でおいてみるとといいでしょう。

Principle Piece A-41

必要のない部分もqnなどとおく

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

3の倍数以外の部分は、遷移の様子が同じなので、まとめて1-pnなどとおけば見えましたね^^
Principle Piece A-42

対称性や、足すと1になることも忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43)

漸化式はただの4型ですので、簡単に解けます。



※KATSUYAの解いた感想
お、確率と漸化式。問題を見て、「あ、これ簡単なタイプだわ」と少し期待はずれ。あまり考えることもなく、3の倍数とそれ以外のみで分けて問題なさそうやな。漸化式を立てて終了。解答時間7分。

 

4.対策

確率、整数、微積はほぼ確実に出題されます。新課程の複素数平面も、昔好きだったので要注意です。数学Bのベクトルもよく見かけます。立体のほうが好きなようです。

京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように、演習をすることが大事です。

原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。

京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

 

以上です^^

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>> 2016年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第6問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学A 平面図形 (第4問)

★ 数学II 三角関数 (第3問、使うなら第4問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第6問)

★ 数学III 微分法 (第1問)

★ 数学III 微分法の応用 (第5問)

★ 数学III 積分法の応用 (第5問)

★ 数学III 複素数平面 (第1問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳)

見る限り、昨年と出題分野はほぼ同じようです。

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