一橋大学 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は一橋大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。

 

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
一橋大学です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





一橋大学
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~例年に比べると穏やかな印象~

今年は一橋の難しさをそこまで感じることはなく、例年よりは穏やかです。

とはいえ、京大のような誘導の一切ない設定が多く、決して点数に結びつきやすいわけではありません。微分が2問出題されたのは珍しいですね。最後の確率はいつもよりはラク。


試験時間120分に対し、
標準回答時間は120分。試験時間と同じですが、これだと例年より穏やかです。

2017年:135分

2016年:130分

2015年:150分

2014年:145分

2013年:125分

2012年:135分

2010年:125分

2.合格ライン

第1問は発想が必要な整数で、キー問題か。簡単ではないが、全体のセットを考えるとなんとかしたい。

第2問もキー問題。軌跡はわかるが、成分で考えてしまうと範囲がどこになるかは難しい。

第3問は微分の問題。計算量は多めだが、パターン問題なのでここは押さえたい。

第4問は円が絡む問題で、設定をうまく行わないと面積を式に出来ないので、難しめ。

第5問の確率は普段に比べれば簡単なので取れる。

第3,5問はなんとか押さえたい。あとはキー問題の第1,2問をどちらか抑えたい。第2問は部分点狙いで、第4問は思いつかないとキツイ。65%ぐらいで大丈夫かと。


3.各問の難易度

第1問 【整数+数列】漸化式と平方数(B,20分、Lv.2)

3項間になっていますが、数列のテクニックはほとんど使いません。平方数でないものが見つかればOKです。普段よりは簡単なので、一橋受験者なら取りたいですが、どうだったでしょうか。

背理法が思いつきやすいと思います。もし全部平方数なら、a3も平方数である必要がありますが、そうするとp=2しかありません。このとき、a5が平方数でなくなりますので、結局pはいかなる自然数でも平方数ではなくなります。

a_3=p^2+12が平方数である場合の解き方ですが、p^2+12=m^2 とおいて、2乗ー2乗が見えるので因数分解です。整数解問題では、=0にする必要はありません。因数分解された形=定数 とすると候補が見えます。(Principle Piece A-65 数学A 整数  p.45~)

 

+13を無視して特性方程式を立てると虚数解になることから、この数列は循環することが予想されますので、それを利用してどれかは平方数でないことを証明する方法もあります。

 

KATSUYAの解答時間6分。思いついたのでさくっと終了です。一橋受験者なら取れそうやけど。

☆第2問 【図形と式+ベクトル】条件を満たす点Pの軌跡(BC、20分、Lv.2)

設定はそこまで難しくないですが、軌跡の方程式のどこを動くかを特定するのが難しいです。

成分で攻めるなら、Q(cosθ、sinθ)とおいて計算することになります。Pのx成分、y成分ともにsin、cosの2次式になりますので、2θの1次式にするところまでは行けると思います。(Principle Piece II-76 数学II  三角関数  p.52-53) ここで、x成分の方をcosで、y成分の方をsinで合成出来れば角度が一致するので、円周上の点のどこを動くかまでわかります。

オーソドックスな方法としては、cos、sinをx、yの式にして2乗和=1にしますが、これだとどこを動くかを特定しにくいです。 θに制限がない時はこれが発想としてはラクですが、制限があるときは別の方法も検討しましょう。なお、今回は0≦2θ≦πなので、sin2θ≧0とすれば範囲も出ます。

図形的には、内積の図形的意味を考えるとすっきりします。OA→・OQ→は、OQの長さが1なので、OAからOQに下した垂線AHを考えた時に、OHに等しくなります。OH・OQ→ は、OQが単位ベクトルのため、OH→と同じです。従って、QはHになります。∠OQA=90°なので円周上であることは分かりますし、Qの動く範囲からAの動く範囲も図形的に特定できます。

ベクトルの式は意味深に見えなくもないですよね。結構よく見る形なので、今後はこの形を見たら図形的意味を考えてみましょう。

KATSUYAの解答時間7分。私は成分でやってcos、sinの合成を行って終了です。cosの合成って文系はあまりやらないから、難しいかな。図形的にも出来るけど、やっぱり難しいかと。

☆第3問 【微分】3次関数とその接線で囲まれる部分の面積(B、30分、Lv.2)

3次関数の外から引いた接線、その接線と3次関数で囲まれた部分の面積を求める問題です。文字を含むので計算は煩雑ですが、パターン問題の連続なので、一橋受験者なら取りたいところ。

(1)はまずPにおける接線を出し、交点Qを出しましょう。このQを通る接線を出すことになります。原則通り接点をおいてQを通るという手順で計算すればOKです。(ULTIMATE Principle Piece) 極値の1つがx軸上にあることに気づくと、この接線のうち1つはy=0(接点x=1)で、もうひとつは当然Pにおける接線そのもの(接点x=α)なので、残りの解は解と係数の関係で出来ます。この設定はうまいです。

これに気づかないと因数分解の難易度は上がりますが、1になることは分かりやすいので、あとは強引に解の公式なりで行けるはずです。

(2)は接線と3次関数で囲まれる部分なので、原則のオンパレードです。まず、接点以外の交点は解と係数の関係でさぼれます。こちらは原則そのものなので、気づかなければいけません。(Principle Piece II-96 数学II  微分  p.18) 

また、これで囲まれた部分の面積は(x-α)のn乗の形だけにすれば簡単に計算できます。

以下で、具体的にやってみます。

LとCの接点をβとしておきます。このとき、最初の原則から、残りの解はー2βとすぐに分かります。面積を求める際の被積分関数は(符号はとりあえず無視)(x-β)^2(x+2β) です。これを、(x-β)^2(x-β+3β)と変形すれば、(x-β)^3+3β(x-β)^2 と出来ます。この形なら積分はかなりラクです。

※答案に堂々とは書けませんが、面積は(3β)^4/12 となりますので、あとで検算することは出来ます。

 

※KATSUYAの感想:解答時間19分。(1)で極値に気づかずにやっていましたので、ちょっと時間かかりました。もうちょい早く出来たかなー。(2)は原則通りのパターン問題なのでさくっと。

☆第4問 【図形と式+微分法】3円が接する条件下での三角形の面積の最大値(BC、30分、Lv.2)

固定された2円に外接、内接するように3円目を書くときの中心の位置に関する問題。

三角形の面積になっていますが、実質は中心の位置の座標x、yの積の最大値に帰着できます。

未知数の数と条件式の数を確認しましょう。未知数は設定するなら中心のx、y座標と半径rなので3つです。最大値を持求めるぐらいですから、1つは文字が残ってしかるべきです。(全部決まったら最大もくそもありません)

条件式1つに付き文字は1つ減っていきますから、(ULTIMATE Principle Piece) 条件式は2つ立てればOKなはず。「円C1に内接」「円C2に外接」が文章から見えますね。2円の関係は5パターンあり、すべて2円の半径と中心間の距離の関係で得られます。(Principle Piece II-45 数学II  図形と式  p.37-38) 

x、yをともに半径にするのがいいかと思います。yの方にルートが入るため。2乗した値(4次式)の最大値を求めることになります。あとは微分→増減表の流れなので行けますね。
 
KATSUYAの感想:解答時間25分。x、y、rで式は2つ立てれるな。rを残すか。立てた式をミスり、面積の式を微分したときの極値をとるrが0<r<1に入らず。あれ^^;それだと最大値がないんやけど。途中を見直す。あ、最初条件式で距離の方2乗し忘れてる。修正して計算し直し。大手術やんけ。

第5問 【確率】正方形に配置する○の位置と得点(B、20分、Lv.1)

最後は確率です。普段に比べると状況を把握しやすいと思いますが、あまりなめてかかると過不足を見落としそうです。

(1)はいいでしょう。○が縦、横にずらりと並ぶ方法は6通りです。

(2)がポイントかと思います。どこで1点を獲得するかで6通り。各々で、3つの○の配置の仕方が6通りあります。(縦左列で1点を取る場合などで考えてみれば3×2とすぐに分かります) かぶりはありません。

(3)は直接数えてもいいですが、(2)と同じようにやるとかぶりが出ますので、そこには注意が必要。問題の並び方を考えると、余事象の方がいいのではないかと思います。S=0,1,2,3のどれかなので、(4点以上にはならないと、説明は軽くした方がいいかと)S=3の場合(これはラク。6通りしかないです)を求め、全体から引く方がラクかと。

※KATSUYAの感想:解答時間9分。こういう系嫌いなんよなぁ。と思いながら始める。最初に全事象を計算して84通り。最悪全部書くか(笑) とか思いながらやると意外と行けるもんで、(2)もすんなり思いつけました。最後は余事象がいいと判断。やはり最悪の状況を想定しながらやると気がラクなので、頭も回るんやろな。

 

4.対策

頻出分野は整数、微積、確率です。まんべんなく融合してきますので、穴がないように対策しましょう。

一橋の数学は理系で出題されても難しいタイプの問題なので、理系並みの対策をとる必要があります。青チャートを早い段階で終わらせ、入試基礎入試標準レベルまでは行い、できれば仕上げ段階まで行いましょう。整数問題や確率・漸化式などは、旧7帝大の問題などで練習してても、ちょうどぐらいです。

一橋大は単科50年分のものなどがあります。ある程度演習をしたら、こちらを最新年度からさかのぼってやるのもアリでしょう。2005年までなので、これ以降は赤本で対策を。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3もしくは、6:4ぐらいでもOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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2010年度

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第5問)

★ 数学A 整数 (第1問)

★ 数学II 図形と式 (第2問、第4問)

★ 数学II 微分 (第3,4問)

★ 数学II 積分 (第3問)

★ 数学B ベクトル (第2問)

微分が2問あることを除けば、かなりバランスよく出題されてますね。

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