早稲田大学 教育学部 | 2019年大学入試数学
●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回早稲田大学(教育学部)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１９年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(教育学部：理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
早稲田大学（教育学部：理系）
（試験時間120分、4問、記述式、一部答えのみ）
１．全体総評～小問集合が易化し全体的にも点数に結びつきやすい～
今年はやや易化したと思います。第１問は他の大学なら大問になりそうなレベルのものが多くありましたが、例年に比べると比較的穏やかな小問集合でした。第２問、第３問も手が付けられる問題ですので、昨年に比べると点数には結び付きやすいのではないでしょうか。（昨年はキツイです。ピークの難易度だと思いたいですね＾＾；）
試験時間120分に対し、
標準回答時間は148分【134分】（←答えのみを考慮）
2018年：174分【142分】
2017年：152分【131分】
2016年：128分【117分】
2015年：127分【107分】（答えのみを考慮）
2014年：165分
２．合格ライン
第１問は普段よりかなり穏やか。今年は最低でも（４）以外はおさえたい。（４）も出来れば欲しい。
第２問は（１）はおさえたい。（２）はキー問題。Aにいる確率も出すことに気づけるか。
第３問は（１）は教科書にもありがちな不等式の証明。（２）はキー問題。うまく部分分数分解できるか。
第４問はいつも通り答案にしづらい。（１）は答えだけで、出来れば説明を。（２）はどう作れば最大になるかの事実だけを部分点狙いで書くのが精いっぱいかと。
第１問はおさえ、第２問、第３問はどっちかで完答したい。６０％強ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問（１） 【微分法(数II)】接線、共有点の個数条件（AB,10分【6分】、Lv.2）
接線と3次関数が3つの共有点を持つ条件です。接線はすぐ出せると思います。y=x^3-axとの共有点なので連立しますが、今回はa^2の項などもあるため、定数分離は難しいです。従って、f'(x)の解の個数や極値の積で攻めていく方針になります。(Principle Piece II-106,107 数学II 微分法(2冊目) p.2~5)
第１問（２）・・・【積分法の応用】回転体の体積（AB,8分【5分】、Lv.1）
回転体の体積です。０≦ｘ≦π／２で常に符号が一定（正）であることだけ確認をすれば、単純に公式そのままあてはめるだけです。
２乗するので、単純な関数でも積分はややこしくなります。積分計算は慎重に。
sin^2ｘのような積分は次数を１次に下げることが優先です。(Principle Piece III-50 数学III 積分法 p.14-16)
また、ｘsinｘのような部分積分は先に不定積分を出しておくと符号ミスなどが減ります。
☆第１問（３） 【複素数と方程式＋数列＋整数】漸化式、iのｎ乗和（B,8分【5分】、Lv.2）
フィボナッチ数列の項を指数にして、ｉのｎ乗和を計算させる問題です。
ｉは４乗すると１にもどるため、４で割った余りでｉ、－１、－ｉ、１を繰り返します。従って、フィボナッチ数列に対しても４で割った余りの周期が見つかればＯＫだと気づけます。整数分野での考え方も入っていますね。(Principle Piece A-80 数学Ａ 整数 p.72)
フィボナッチ数列は周期６で４で割った余り１，１，２，３，１，１，０を繰り返します。（次に１，１となることで確認できます） あとは２０１９＝６×３３６＋３ でＯＫですね。
☆第１問（４） 【複素数平面】軌跡(アポロニウスの円)、偏角の条件（B,12分【8分】、Lv.2）
条件を満たすｚの軌跡が、与えられた偏角条件を満たすためのａの範囲です。最初の条件を満たす軌跡は計算でも出来ますが、アポロニウスの円なので、答えだけならこれを利用したいところです。もちろん、２乗して変形してもできます。(Principle Piece III-113 数学III 複素数平面 p.53-55)
これに対し、１－ｚがどこを動くかですが、ｚの軌跡が原点対称なので、ｚもーｚも同じ軌跡です。従って、１－ｚの軌跡はそれを１右にずらすだけです。
※KATSUYAの感想：計9分で解答。今年は大分ラク。昨年はランダムウォークとかあったし、結構点数取りやすそう。
☆第２問・・・【確率＋数列】確率と漸化式、三角形の頂点移動と裏表（B、25分、Lv.2）
ありそうでなかったタイプの確率と漸化式で、うまく設定してきたと思います。正三角形の頂点移動に加えて、コインの裏表も絡めて来ました。
（１）は表を向いているかどうかだけなので、ｎ回目とｎ＋１回目の裏、表だけに焦点を当てて漸化式を立てましょう。表の確率がｐｎなら、裏の確率は１－ｐｎになりますね。(Principle Piece Ａ-41,43 数学Ａ 確率 p.39-43)
（２）は、Ａで表を向いているかどうかを聞いてきますので、同じ原則に従ってその漸化式を立てていきます。他にＢで表、Ｃで表になっている場合や、Ａで裏になっている場合が必要なことが分かりますので、文字を設定していきます。(Principle Piece Ａ-42 数学Ａ 確率 p.39-43)
「Ｂで表」と「Ｃで表」の確率は、まとめて「（１）の確率－Ａで表」と出来ることに気づきますが、「Ａで裏」だけはどうしても処理しきれません。そこで、「裏表関係なくＡにいる」確率を同じように漸化式で出すことに気づけば勝ちです。
しかもこの確率が１／３とキレイにでます。これで、「Ａで裏」＝「１－Ａで表」とすれば、a_nだけの漸化式が立ちます。解くのは難しいので、a_10からa_11を出させています。これで、立てた漸化式が正しいかどうかを見るわけですね。
※KATSUYAの感想：解答時間12分。（１）は原則通り。（２）は上記のとおり。Aで裏があるから、Aにいる場合を出すしかないか。おっ、１／３でキレイなのはいい＾＾ あとは慎重に計算して終了。
☆第３問・・・【積分法(III)＋極限】不等式の証明、極限（C、35分、Lv.3）
いわゆる積分（面積）を利用した不等式の証明と、不等式を利用して極限を求める問題です。
（１）は数列が1/xの形をしていますので、これを関数に選びます。(Principle Piece III-69 数学III 積分法 p.69-70)右辺の最後の項は、１／ｍ－１／ｍ＋ｎ部分分数分解出来るので、これを利用して、不等式を「数列＜定積分結果＜数列」と変形し、それを証明する方が分かりやすいです。(Principle Piece III-70 数学III 積分法 p.69-70)
視覚的に証明するなら、ｙ＝１／ｘのグラフを書いて、どの部分がlog(1+n/m) となるのが図示し、上からの長方形、下からの長方形も図示すればＯＫ。証明なのであまりいい加減にならないように。
数式的には、ｋ≦ｘ≦ｋ＋１ の逆数を取る→ ｋ~ｋ＋１で定積分を取る→ｋ＝ｍ、ｍ＋１、・・・m+n-1で和を取ることで証明できます。この流れが苦手な人が多いみたいですが、出来るならこちらの方が記述はラクです。
（２）は（１）を利用するのでしょうが、分母が１／A×Bの形をしていますが、A+Bが一定であることを利用した部分分数分解を行えたかどうかです。差で行うことが多いですが、それは和を出すときに真ん中の項を消すためです。今回は差も一定ではないので、あまり意味がありません。逆に和が一定なので、１／A+B（１／A＋１／Ｂ）とすればまとめることができます。
これの各項に（１）の不等式を利用すればたどり着けます。最初の部分分数分解に気づかないと（２）は難しいですね。和を使用した部分分数分解も、この際身につけておくといいでしょう。
※KATSUYAの感想：解答時間１８分。（１）は数列ではさむか。右辺の最後の項はなんだ？部分分数分解で数列側に反映できることに気づく。これならいつも通り。（２）ははさみうちかな？（１）を使う形にしないとな。そうすると分母は部分分数分解が必須か。和が一定なのでそちらで部分分数分解。（１）の数列が見えるので、あとは（１）を利用してはさみうちで終了。この部分分数分解ってどれぐらい気づけるんだろう？
第４問・・・【図形総合】平行四辺形の対角線の長さの最大値（CD、50分、Lv.3）
１辺１の正方形から３つだけ頂点を選んで、次々に平行四辺形を作っていく問題で、早稲田教育の名物とも言える、論証の非常に難しいタイプの問題です。ここまで連続で出題されると、論証を完璧にしてもらうことは望んでいる気がしないのは私だけ？（満点防止？）
きちんとした論証は（１）、（２）ともに難易度が高く、（２）は予想するだけで精いっぱいなのではないでしょうか。
（１）は、なるべく対角線があまり長くならないようにＰ２，Ｐ３，Ｐ４を作っていくイメージです。いくつか試すと、Ｐ１かＰ２(と合同な平行四辺形：Ｐ２タイプと呼びます)を自由に行き来出来ることが分かります。Ｐ１からはＰ２タイプにしか行けませんが、Ｐ２タイプからはどちらでも行けます。その説明をすれば、Ｐ１０をＰ１にすることが出来ます。従って、√２が最小値の候補となります。対角線が両方１になることはないので、ここまで述べれば満点でしょう。
（２）は逆で、対角線が長くなるイメージで作っていくことになりますが、こちらは証明が非常に難しいです。Ｋ塾さんやＹゼミさん、ともにベクトルによる証明ですが、これを試験時間内に記述するのは至難の業でしょう。Ｋ塾さんのように、とりあえずどれがいちばん長くなるかの結論を明示して答えを出してしまい、時間が余ったら証明する方針が点数には結び付きやすそうです。
私は、平行四辺形の２辺の長さａ，ｂと、対角線の長さｃ，ｄについて、2(a^2+b^2)＝c^2+d^2 となることを利用し(やはりベクトルでの証明がラク) Ｍ(最長の対角線が最大となる)を対角線に持つ平行四辺形を作るためには、ａ，ｂがなるべく大きく、ｃがなるべく小さくなるように３頂点を選んで作っていくという説明にしました。これならそんなに引かれないハズ。
※KATSUYAの感想：解答時間35分。また今年もこの論証タイプを出すのね。（１）からまあまあ説明メンドウやん。いくつか試して、P10をP1に出来ると確信。P2~P10を全部書いてゴリ押しすると決める。座標を設定してP2~P10の４頂点を図示する方法を取る。このほうが３頂点の一致も伝わりやすい。（２）は、、、ゴリ押し無理だわ。そもそもどう作ればいい？P3あたりで試すも、よくわからず。最長の対角線がある→もう片方は短いほうがいい？（めっちゃぺちゃんこな平行四辺形が一番いいのでは？）と思ったところで、上記の事実があったことを思い出す。これだ、間違いないわ。と思い、それを証明して選び方を記述。てか、P10やと計算多すぎる＾＾； 選び方に気づけるかどうかを見るなら、P7あたり（これだと√６１０となります）でもいいと思うんやけど。
４．対策
第１問の基本を落とさないために、青チャートレベルをしっかり定着させておきましょう。スピードも必要です。
癖が特別強いわけではない(論証は例外(苦笑))ので、第１志望でない人は、他の２次の対策をしておけばOKでしょう。理工学部と難易度は似ています。数学IIIまで早めに１ラウンド終わらせて、夏までには入試演習に入り、入試標準演習レベルまでは最低やってから過去問に入りたいところです。数学で得点したいなら、仕上げ段階までやってもいいでしょう。論証は完璧な答案を仕上げる対策はコスパが悪いと思います。まずは試したりゴリ押しする力を養う方がいいでしょう。
なお、分野として複素数平面は３年連続で出題なので、要注意分野と思っておいたほうがいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第２問)
★ 数学II 複素数と方程式 (第１問（３）)
★ 数学II 微分法 (第１問（１）)
★ 数学B ベクトル (第２問)
★ 数学B 数列 (第１問（３）、第２問)
★ 数学B ベクトル (第４問？)
★ 数学III 極限 (第３問)
★ 数学III 積分法 (第３問)
★ 数学III 積分法の応用 (第１問（２）)
★ 数学III 複素数平面 (第１問（４）)
★ 計算０．９【IAIIB】 (計算練習帳です)
