九州大学理系 | 2019年度大学入試数学

2019/03/03

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

九州大学（理系）
（試験時間150分、5問、記述式）

１．全体総評～難易がはっきり分かれている～

全体難易度は昨年並みで、かつ例年の九大の難易度です。ただ、方針が立ちやすく点数に結びつきやすい第１，２，４問と、時間がかかるため点数に結びつきにくい第３，５問にくっきりと分かれた印象があります。複素数平面が第５問にて出題されるのは３年連続。数IIIの割合も５問中３問で、九大としては例年通りです。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は140分。

2018年：155分

2017年：145分

2016年：130分

2015年：140分

2014年：150分

2013年：135分

2012年：160分

2011年：130分

2010年：125分

２．合格ライン

第１問は積分計算である程度複雑になってはいるものの、ここはなんとか計算を合わせたい。

第２問は文理共通のただの恒等式の問題で、落とせません。

第３問は確率。3個のサイコロと2次方程式の係数の問題で、今年は流行り？調査量が多いので時間との勝負。

第４問は比較的簡単な極限。漸化式を立てられたかどうか。これも落とさずに行きたい・

第５問は複素数平面で、昨年に続き難しめ。条件を満たすように計算するが、計算量が多い。

第１、２、４問で取り、第３，５問を時間との勝負でどこまで行けるか。小問で刻まれている第3問のほうが取れるかもしれません。６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【積分法＋極限】定積分関数の最小値の極限（B,20分、Lv.２）

定積分を行った結果として得られるｘ、ｙの2次式の最小値を求める問題。ワークにももう少し単純な係数の問題はありますが、やることは同じです。

まずは素直に2乗して各項を積分しましょう。sin２乗は半角で次数を下げ(Principle Piece III-50 数学III　積分法 p14-16)、ｔsin２ｎπｔは部分積分です。(Principle Piece III-45 数学III　積分法 p.9)

ここが正確にできれば、あとはそこまでしんどい計算ではないでしょう。０も多く出てきます。

ｘ、ｙの2次式になっているので、１文字ずつ平方完成していきましょう。(Principle Piece I-28 数学I 2次関数　p31)ｙで先に平方完成して方がいいと思います。極限はおまけです。

※KATSUYAの感想：解答時間９分。展開するしかないよな。部分積分は慎重に。意外と代入すると０が多く出てくるのでラクそう。2次式はｙの方が項が少ないので、先にｙやるか。

第２問　【式と証明】連立恒等式（B、25分、Lv.2）

文理共通の数IIの恒等式からの出題です。

（１）で次数を決定する問題があります。次数に関する式を立てることになりますが、下の式には注意です。右辺の最高次数が不明（引き算がある場合、そこできれいに消えるかもしれない）なので、どちらかが3次以上だと矛盾を生じることを述べます。

上の式から、ｆ（ｘ）が3次以上ならｇ（ｘ）は4次以上ですので、ｆ（ｘ）が3次以上だとダメなことを言えばOK。下の式で次数があわなくなりますね。

（２）は2次以下だと分かれば係数を設定できるので、あとはコツコツ係数を比較するだけです。処理量は比較的ありますが、全体のレベルを考えると本問は落とせません。

※KATSUYAの感想：解答時間16分。次数の決定はいいんやけど、係数比較めんどい。結局第１問よりかかったし。

☆第３問　【確率＋複素数平面】サイコロの目と2次方程式の解（BC、35分、Lv.２）

サイコロの目を係数にした2次方程式の問題で、名大文系でも出題されています。こちらも3個のさいころを投げるので、調査にかなり時間を持って行かれますが、こちらの方がラクかと。

（１）はいいでしょう。重解をもてばOKですので、判別式です。

（２）から結構かかります。まず実数解か虚数解かで分ける必要があります。実数解の場合は、－１の重解でないとダメです。虚数解の場合は、どちらも絶対値１（共役解なので等しいのは当たり前）なので、z1z2=1ということになります。ｂ＾２－４ａｃ、かつａ＝ｃであればＯＫです。

どちらの場合からもａ＝ｃは出ますが、分けて議論をしないと減点されるでしょう。

（３）はひっかかりやすそうですが、Ｌ１とＬ２が60°の角度をなすということは、120°でもいいということです。これを見落とすと１／３６と出てしまいます。実部の絶対値：虚部絶対値＝１：√３の場合と、その逆の両方があり得ます。いずれも式に出来れば、探すのはそこまで難しくないと思います。

（２）（３）はともにある程度調査をすることになりますので（計算で出せるものではないので）、時間は持って行かれますが、考えている暇があるなら書きだす方がはやいということが分かる、いい例だと思います。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間９分。個人的には、ちょっと物足りない確率と漸化式のパターンでした。

第４問　【極限＋数列】図形上の点が近づく点（Ｂ、20分、Lv.2）

図形絡みの極限です。一定のルールに従って点を作り続ける問題。

この手の問題では、１回目と２回目で絵を書きたくなりますが、どうせ同じなのですから、一般のｎとｎ＋１で議論をしましょう。。どこかのＰｎに関する何かを置いて漸化式を立てましょう。ｘ座標、ｙ座標などです。私は、正三角形からの垂線なので長さをたどりやすいと考えて、ＡＰｎの長さ＝Ｌｎとおいて漸化式を立てました。

教科書の例題だとほぼ等比数列になりますが。今回は少し複雑になっています。それでも、しょせんは４型の漸化式です。とっとと一般項にしてしまいましょう。(Principle Piece Ｂ-12 数学Ｂ　数列　p33)最初の点がどこにあろうが関係ありません。

Ｌｎが出たら、Ｌｎを使ってＰｎの座標を書きます。Ｌｎを利用するなら、ベクトルでＯＡ→＋ＡＰｎ→と辿るのがいいでしょう。あとはＬｎの極限＝２／３　になることを用いれば、近づく点も出ますね。

※KATSUYAの解答時間９分。なんかスッと出来る問題と、めっちゃ時間かかる問題に分かれる気がするけど、それはオレの得手不得手の問題なのかな？そんなことはないか。

☆第５問　【複素数平面】軌跡、１次分数変換（Ｃ、40分、Lv.２）

３年連続で最後が複素数平面からの出題で、３年連続難しめ。今年も文字係数が多く、九大の複素数平面は抽象度をあげてくるパターンが多そうです。

条件（ア）からａ＝１、ｂ＝－ｃはすぐに出ますので、ｃだけに出来ます。

条件（イ）から、｜ｗ｜＝１が必要条件（必要十分ではない）となります。ｚが虚軸全体を動く＝純虚数ということなので、ｚ＝ｋｉなどとして代入し、絶対値＝１から式変形していきます。文字ｃが入った状態なので複雑で、かつｃは「複素数」と書いてあるので（結果的には実数のようですが）、ｃバーもちゃんと残していきます。

さらに条件（ウ）から、－１になるとして等式を立てた時に、それが存在しないようにｃを決定します。

ｃまで決定したら、いつも通りの１次ぶんすう変換なので、ｗ＝・・・・をｚ＝・・・・に直してからｚ＋ｚバー＝０に代入するのがいいと思います。いつもの方法です。(Principle Piece III-114 数学III 複素数平面 p.55-56)

ｚ＝ｋｉのままｗ＝・・・・の式に突っ込むと詰まるかもしれません。

条件は順番に使うだけで出せるので、方針にはそこまで迷うところはありませんが。計算量が多めなので、最後までたどり着きにくいかと思われます。なお、軌跡でのぞかれるのはー１のみです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間32分。条件（ア）で計算ミスしたので、条件（イ）をコツコツやった後に「おかしい＾＾；　さすがにややこしすぎる」と感じ、見直して修正。うーん、このミスさえなければ半分以下ですんだような気がする。