京都大学文系 | 2021年大学入試数学

2021/03/07 2022/02/01

●２０２１年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２１年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２１年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

京都大学（文系）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～調査以来最も穏やかなセット～

個人的に２０１０年から大学入試に関する記事を書いておりますが、２０１０年以降では最も穏やかなセットではないでしょうか。昨年の約半分ぐらいの所要時間です。かなり難しかった昨年の反動でしょうか。

１番、２番はワークＢ問題ぐらいにタイプ。３番は唯一骨があります。４番、５番はワークにありそうとは言わないですが、これを見て「京大文系に出た」とは思わないであろうレベルに見えます。

試験時間120分に対し、標準回答時間は96分。

2020年：170分。

2019年：125分。

2018年：175分（ただし第４問で80分）

2017年：150分

2016年：115分

2015年：175分

2014年：110分

2013年：110分

2012年：127分

2011年：105分

2010年：145分

２．合格ライン

第１問は落とせません。ｎ進法計算はメンドウですが、幸先良くいきたいところ。
第２問もただの計算で落とせません。
第３問は確率と漸化式で、これは文系受験生だと少し難しめ。
第４問、第５問がキー問題でしょう。どちらも自分である程度設定したり考える力があれば、あとは計算に負けずにコツコツ進めるだけです。

第１問、第２問は取れます。第４、５問で片方でもバシッととれれば、そこまで数学で足は引っ張らないでしょう。(ただし、貯金とも言い難い。それぐらい、今年は簡単)

６５％ぐらいで、数学は合格ラインかと。

３．各問の難易度

第１問（１）【整数】２進法、４進法の計算（Ａ,８分、Lv.２）

第１問が２つに分かれました。最初はｎ進法から。メンドウではありますが、非常に基本的な計算です。京大文系に出しても試験にならないでは？と思ってしまいます。

最初は筆算がいいと思います。２進法だとケタが多いですが、１と０しかないので、筆算でも全然簡単です。思ったより繰り上がりも発生しないので、ミスなくいきたいところ。

最後にそれを４進法にする場合、「２進法を１０進法に⇒１０進法を４進法に」とやると時間がかかってしまいます。なので、ここはうまく処理したいです。

２進法で２ケタずつ区切れば、４進法で表せることは京大受験者なら知っていますよね＾＾

111011011の場合、1/11/01/10/11　となるので、４進法で13123となりますね。

※KATSUYAの感想：解答時4分。特にコメントなし。さすがに簡単すぎるかな。

第１問（２）【平面ベクトル】垂心ベクトル（AB,８分、Lv.1）

垂心ベクトルを求める問題で、こちらも簡単です。

内積絡みなので、２つの長さと内積の情報さえあれば基本的には何でも出せます。求めるベクトルはｓ、ｔの係数で置き、ＡＨ⊥ＯＢ、ＢＨ⊥ＯＡの条件から連立すればＯＫ。

※KATSUYAの感想：解答時4分。こちらも原則通り。小問２つに分かれたけど、かなりカンタンになった？

第２問　【積分】絶対値付き定積分の計算（AB、10分、Lv.1）

絶対値付き定積分の計算です。文字ａでも入っているのかと思いきや、ただの数値計算で場合分けもありません。第１問に引き続き、かなりカンタンです。

積分は絶対値を外さないと積分できません。まずは中身の符号に応じて絶対値を外します。因数分解できますので、簡単に符号は分かります。中身の符号が正、負になる区間を積分区間を比較して、適切な区間に分けて計算しましょう。

※KATSUYAの感想：解答時間4分。絶対値付き定積分・・・ん？全部数字はいってるやん？文字なし？いやこれは簡単すぎるやろ。京大文系って数学の難易度落ちた？記事書くときに昨年のを確認しよ。(去年全然ムズイですね＾＾；)

☆第３問　【確率＋数列】確率と漸化式、玉が元に戻る条件（BC、25分、Lv.2）

確率と漸化式からです。ここ数年、旧７帝大では下火傾向のような気がします。(ネタ切れ？)箱に赤か白かを１番から次々に移していき、最後の箱から1番に戻したときに、それが１番と同じ玉かどうかを聞いています。

問題文を解釈すると上のようになります。漸化式を用いるパターンなのかどうかぱっと見では分かりかねますが、ｎ回目とn+1回目の様子を詳しく見ることで、漸化式が立てられそうだと分かります。

事象としては、１番の箱とｎ番の箱で同じ色をとるか違う色を取るかの２種類に分けれたかどうかです。色にだけ気を取られると4通り考えたくなりますが、実際はこの２つでOK。確率は足すと１ですから、前者がpn、後者が1-pnです。n+1回目を考える時は、ｐｎだけでなく、１－ｐｎも考えなくてはいけません。ｎ回目で条件を満たしていなくても、n+1回目で条件を満たすことはあります。

１番目とｎ番目で同じ色を取った場合は、その色をもういっかいn+1番目から取りますので、組成を考えれば２／３です。

１番目とｎ番目で違う色を取った場合は、もう一方の色をn+1番目から取りますので、組成を考えれば１／３です。

これで漸化式は立てられます。

漸化式は４型なので、特性方程式作って等比型に帰着するだけですね。

※KATSUYAの感想：解答時間12分。ｎ絡みやから漸化式？でも最近漸化式の傾向ないんよな。とりあえず小さい数字で試してみる。１／２よりちょっと大きいぐらいやな。１／２との差が指数的に小さくなる。1/2+1/2・(1/3)^nみたいな形と見た。この形の答えなら漸化式が立てられるはずと踏んで、原則通りn+1回目を調べてみるとうまくいったのであとは手が止まることなく終了。

☆第４問　【空間ベクトル】同一平面上にある条件と四角形の面積の最小値（B、25分、Lv.2）

直方体の４つの辺上に４点を同一平面上にあるように取ります。すると四角形が出来ますが、そのときの最小値は？という問題です。京大らしい単問ですが、そこまで難しい問題ではなく文系でも対応したいところです。

まずは同一平面上にある条件を式にしましょう。１－ｓ－ｔ、ｓ、ｔの形にするか、ｓ、ｔだけの形にするか。今回は４点の中にOが入っているので、後者一択でしょう。

P,Qの位置を表すのに1文字ずつ必要で、あとｓ、ｔです。全部で４文字必要です。空間ベクトルは3次元ですから、3つ式が立ちます。ですので、1文字は残りますね。それを動かした時に、いつ面積が最小になるかということです。

面積ですが、OPFQが同一平面上にあるとき、２組の向かい合う辺が平行であることはすぐに分かりますので、平行四辺形です。なので、結局OPQの2倍ということになります。あとは面積公式にあてはめましょう。４次式っぽく見えますが、かなりうまく消えて根号内は2次式になります。

※KATSUYAの感想：解答時間18分。まずは同一平面上にある条件を出すと（平行四辺形やな）。出した結果が平行四辺形であることを、検算を兼ねて説明し、面積へ公式の適用間違いという大ポカをやらかし根号内が４次式に。そのまま微分して３次式の因数分解をめっちゃ探す。明らかに因数分解出来ないので、計算見直しへ。面積公式のことろ、内積の式2乗してないやんけ。何しとんねんっと自分に突っ込みを入れながら再度計算。4次どころか3次も消える。これはロスしたな。。。

☆第５問　【整数】素数でないことを示す（B、20分、Lv.２）

整数問題で、ｐが素数なら、p^4+14が素数でないことを示す問題です。２０分もかからないような気もしますが、発想系なので20分としました。

京大では良く見かけるパターンで、剰余で分類すればすぐに答えが得られます。今回は３の剰余で分類するだけで簡単に示せます。

ｐ＝３だけは分けて計算し、３以外の素数は３で割れないなので、ｐ≡１かｐ≡ー１です。いずれもp^4+14≡１５≡０ですから、３で割れますね＾＾

※KATSUYAの感想：解答時間4分。素数ならば素数でない、か。素数ってことは６ｋ＋１か６ｋ＋５。ん？いや、３の剰余で余裕だわ。京大の整数問題対策してきた人ならこれは簡単に解けそうやな。

４．対策

いつもは微積、整数、確率あたりが頻出です。確率は文系の場合は穏やかなのものが多いですが、n絡みも油断はできません。今年のように、理系の複素数平面に乗っかって、「類似問題」で複素数を出してくる可能性もあります。

パターン問題として習得しておけばすぐに解けるものも割と出題されますので、頻出分野のパターン問題は100％習得するつもりで演習しましょう。微積は取りやすいです。青チャートなどで習得したのちは、入試演習で類題を繰り返しつつ実力を上げていきましょいう。あまり一つの問題集を繰り返すよりも、いろんな問題に触れたほうがいいと思います。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。

以上です＾＾

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