早稲田大学 教育学部 講評 | 2022年大学入試数学
2022/12/18
●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回早稲田大学(教育学部)です。
２０２２年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(教育学部：理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
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早稲田大学（教育学部：理系）
（試験時間120分、4問、記述式、一部答えのみ）
１．全体総評～小問集合を含め量が増加～
昨年より難化です。昨年は第１問の小問集合が穏やかでしたが、今年はこの部分で質・量ともに差が出る問題が並びました。後半の２問も差が出やすく、確実にとれるのは第２問ぐらいでしょう。
第１問の小問集合に数IIIが偏り、第２問以降に数IIIからの出題がなく、数II色の濃いセットの印象でした。なお、本学部で出されると大物の可能性の高い論証は今年も影を潜めています。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は164分【144分】（←答えのみを考慮）
2021年：137分【124分】（←答えのみを考慮）
2020年：152分【128分】
2019年：148分【134分】
2018年：174分【142分】
2017年：152分【131分】
2016年：128分【117分】
2015年：127分【107分】（答えのみを考慮）
2014年：165分
２．合格ライン
第１問は今年はキツイ。(1)がマシ、(4)も出来れば。(2)(3)は差が出そう。2問は欲しい。
第２問は本セットのレベルを考えると欲しい。
第３問は文字式の処理次第。かなりうまく式変形しないと泥沼なので、(1)どまりの人も多いのでは。
第４問も(2)は気づかないと(3)に行けないので、こちらも差が出そう。第3問よりはマシか。
第２問は押さえる。(第３問は(１)どまりとして)第４問と第１問が両方後味が悪いとキツイかも。2完＋αぐらいで55％ぐらいか。
３．各問の難易度
第１問(1) 【空間ベクトル】条件を満たす点Pの位置の決定（B,12分【8分】、Lv.2）
空間上において、内積がゼロになる点Pのうち、APの長さが最大になるものを求める問題。決して簡単とはいえませんが、全体のレベルを考えると落とせません。
Pも(x,y,z)と成分で与えられていますので、内積の式を素直に作りましょう。球面上にあると分かります。球面上の点と点との距離なので、中心との距離を基準に考えましょう。(平面上での、円周上の点との距離のときと同じです)
なお、この点Aも球面上にあります(意味的には内積ゼロなので、A＝Ｐも当然含まれる)。なので、結局直径となるときが最大ですね。
第１問(2) 【積分＋三角関数】定積分関数、三角方程式の解の個数（B,25分【17分】、Lv.2）
定積分関数について、それが０となるときの解の個数を求める問題。式もごついのでまあまあ時間を持ってかれます。小問だからといって油断できないのが本学部の特徴。
絶対値ははずさないと積分できません。区間の両端と、中身＝０の大小を比べて外しましょう。０～ｔと、ｔ～２ｔで分ければＯＫ。あとはコツコツ部分積分するだけです。答えだけなので、慎重に計算しましょう。
部分積分の定積分は、先に不定積分を求めてから、一気に[ ]でくくって計算したほうが符号のミスは減ると思います。
最後の項を含め、消去されるものも多いので、正しく計算できれば確信が持てる結果が出ます。
※なお、被積分関数に（ｘ－ｔ）g(x)のような式が含まれているときは、微分するとまあまあすっきりすることが多いです。なので、このような形をしているときは、あえて一度微分してから積分するのもありです。
☆第１問(3) 【空間図形】２つの四面体の共通部分の体積（B,20分【14分】、Lv.2）
座標空間上におかれた２つの合同な四面体(微妙に正四面体ではありません)の共通部分を、ｚ＝１／３で切ったときの切り口の面積を求める問題です。たしかに記述にされたらメンドウではありますが、小問にされるとやはりキツイです。
どちらも断面が正三角形になることと、３頂点のｘ、ｙ座標さえきちんと分かれば行けると思います。ｚ軸がいわゆる高さで、底面の正三角形の外心なので、相似などを使って正三角形を原点を中心に縮小していくイメージがうまくわけば座標を出せます。
座標さえ出せれば、あとは計算するだけ。正三角形から小さい正三角形を３つ引けばOKです。交点を出すなり距離公式を使うなりすればどこでも出せるはずなので、図が書けたら正解したいところです。
第１問(4) 【極限】数列の極限値（B,15分【10分】、Lv.2）
数列の極限からの問題です。ありそうでなかった感じの問題ですが、 見るからに部分分数分解を使いそうですね。
まずは、数Iの展開でもよく使う手法ですが、かけ算の組み合わせをうまく考えましょう。n(n-5)と(n-1)(n-4)であれば、定数項４の差だけとなります。
従って、前に１／４を出せば部分分数分解できます。差がｎによらず一定の分数なら部分分数分解するとうまくいきます。(3n-1と3n＋２など)
あとは、n(n-5)の部分と、(n-1)(n-4)の部分をまた部分分数分解すれば、和は真ん中が消えていくタイプとなります。前者は前が５つ残り、後ろも５つ(極限ではムシでＯＫ)残ります。後者は前が３つ、後ろも３つ(極限ではムシでＯＫ)ですね。
後者もｎ＝６からなので、そこだけひっかからないように。後者で残る３つは１／２＋１／３＋１／４です。(１／１はありません)
※KATSUYAの解答時間は計24:29です。去年は8分弱なので、今年は質も上がり量も増加です。
☆第２問・・・【確率＋整数】サイコロの目の積の約数の個数（B、25分、Lv.2）
サイコロをｎ個なげ、出た目の積の約数の個数を考える問題です。
まず、約数の個数から元の数字を考える際には、個数を因数分解するのが原則です。(「素」因数分解とは限りません)
（１）は、約数の個数が３個なので、１×３の組み合わせしかありませんから、元の数字は、ある素数のｐの2乗の形をしているということになります。素数の2乗なので注意。サイコロの目なら、２，３，５の３つです。
(1,1,・・・p、p)と、(1,1,・・・1,4)の場合があります。後者が抜けやすそうで、出題者の意図もここにありそうです。
なお、前者はｎ≧２でないと成り立たないので、足し算したものもｎ≧２以上でないと成り立ちません。ｎ＝１の場合の確認は忘れずに。ｎ＝１の確認は検算も兼ねますので、常に行う癖をつけておきましょう。(n=2ぐらいまで確認するとより確実)
（２）は約数の個数が4個です。１×４と２×２があります。１×４なら素数ｐの3乗の形、２×２は異なる素数ｐ，ｑの積ということです。
Ｓ＝p^3となるのは(1,1,・・・1,p,p,p)と、(1,1,・・・1,2,4)の場合があります。こちらも後者が抜けやすそうですね。
Ｓ＝ｐｑとなるのは(1,1,・・・1,1,p,q)と、(1,1,・・・1,1,6)の場合があります。こちらも同様に後者に注意。
また、足し合わせたものはｎ≧３以上でないとダメですので、ｎ＝１，２の場合の確認を忘れずに(どちらも正しいので、あっていれば確信が持てるでしょう)。
※KATSUYAの解答時間は16:45です。約数の個数を絡めてきたところと、適度に数え落としが発生しそうなので良問だと思います。
☆第３問・・・【図形と式】2つの円の面積の積の最大値・最小値（CD、40分、Lv.3）
3点(1点は動く)が与えられ、その中で描かれる２つの円について考える問題です。やるべきことは決まっていますが、2文字が残ったで円の半径が出ているため、うまく式の処理を行わないと計算が泥沼になってしまいますので、詰まった人が結構多いと思います。
(1)はいいと思います。Ｏと直線ＡＢとの距離＝半径ですね。
(2)は両方の半径が必要なので、ＯＡＢの外接円の方も出します。こちらもまあまあ変な形しています。さらに、それを掛け算します。p^2で約分は出来るものの、残った式はかなり複雑に見えますが、p^2+q^2をカタマリとみるとうまく約分でき、残るのはこのp^2+q^2のみです。
なので、円C上の点と原点との距離の最大・最小を求めればOKです。第1問の最初にもあったとおり、円周上の点との距離なので中心との距離±半径が最大・最小となりますね。
しかし、D1D2の式の分子を見て分母と約分できると思うのはかかなり難しく、展開してしまった可能性も高いと思います。しかし展開するとほぼ泥沼でしょう。今回はここの式変形の難易度の高さや、思考時間でCD(40分)としました。
※KATSUYAの解答時間は25：44です。私も式変形で泥沼にはまった一人です。最大も最小も聞くということは、分かりやすい場所であろうという推測、Cの中心が明らかに原点との距離のための座標であることなどから、原点との距離が関係すると判断して、p^2+q^2を固めてみようという発想に至りました。
☆第４問・・・【複素数と方程式＋微分】3次方程式の解（ＢC、35分、Lv.２）
第3問に引き続き数IIからで、微分法と方程式の融合問題です。こちらもやることは決まっていますが、同じようなことを繰り返し行うため、時間はかかります。
（１）はどちらも微分し、判別式Ｄ＞０でＯＫです。これらのグラフ(領域)を書こうとすると数IIIの無理関数が入ってきますが、足して９以下の自然数ならａは１～８の８通りなので、全調査でもいいでしょう。
ａ＝１，２，３ぐらいまで調べて、ｂの条件が非常に際どいと分かります。ａ＝４から先は、b^2≧32かつｂ≦５となり、不適と言えばＯＫでしょう。自然数系はとにかく実験しましょう。(実験で全部になるなら、それはそれでＯＫ！)
（２）は一度ぐらい何かで経験していないと厳しい。係数の順番が真逆の方程式は、逆数が解になります。なので、知っている人はほぼ瞬殺です。解と係数の関係やらなんやら使いたくなるような書き方をしていますが、必要ありません。なので、ここは完全に知識の有無で差がついたかもです。
ワークなどで、1/α、1/βを解とする2次方程式を出せ、という問題はあると思いますが、「係数が逆になります」と説明の書いてある問題集でないと、それで終わってしまいます。(あるいは書いてなくても、塾の先生とかが補足で言ってくれるか)
※問題集や塾選びがいかに大事かってことですよね＾＾；
（３）は（2）を利用し、f(x)=0が3つもつならg(x)=0も3つもちます。3次方程式が3つの解を持つなら、導関数の判別式＞０、極値の積＜０ですので、(1)の条件は必要条件になります。あとは(３，５)（３，６）のときを調べましょう。
（３，５）のときは両方正なので不適。(３，６)のときは当てはまります。なお、(3,6)のときは極値をとるｘが汚いので、割り算するか次数下げで出しましょう。
※KATSUYAの解答時間は22:14です。2回判別式出したり、2回増減表と極値だしたりってところはメンドウですが、適度に差がつくいい問題かと。
４．対策
第１問の基本を落とさないために、青チャートレベルをしっかり定着させておきましょう。スピードも必要です。
第１志望でない人は、他の２次の対策をしておけばOKでしょう。理工学部と難易度は似ています。数学IIIまで早めに１ラウンド終わらせて早めに入試演習に入り、入試標準演習レベルまでは最低やってから過去問に入りたいところです。
数学で得点したいなら、仕上げ段階までやってもいいでしょう。論証は完璧な答案を仕上げる対策はコスパが悪いと思います。まずは試したりゴリ押しする力を養う方がいいでしょう。
第１志望の人は、なるべく長年分の過去問を入手しましょう。第１問の小問や論証は癖が強いです。
なお、今年は出ませんでしたが、複素数平面は頻出なので、要注意分野と思っておいたほうがいいでしょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学A Chapter２～確率～ (第２問)
数学A Chapter３～整数～ (第２問、第４問)
数学II Chapter２～複素数と方程式～ (第４問)
数学II Chapter３～図形と式～ (第３問)
数学II Chapter４～三角関数～ (第１問(2))
※2022年12月時点で販売中のもののみ記載しています。最新販売情報はこちらからどうぞ＾＾
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