センター試験 数学I・A【2018年】の難易度、傾向は?

   

 

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2018年に行われたセンター試験の数学I・AをKATSUYAが解き、その感想や難易度などをアップしていきます。

評価指標のみかた

1.難易度 A(易)~E(難)

2.パターンレベル
Lv.1(習得していて当たり前)
Lv.2(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.3(習得していなくてもしょうがない)

3.解答するまでの標準的な時間

です。これら3点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

 

2018年センター試験数学Ⅰ・A(60分)

 

実際にKATSUYAが解いたものは、こちらにあります。 

 

 

1.全体評価~数学Iは難化、数学Aは易化で全体で微難~

昨年とほぼ変化なしです。昨年と難易がひっくり返りました。昨年易化した数Iが難化、難化した数Aは易化です。バランスをとろうとしたのか分かりませんが、結果的には偏っています。60点分の数Iで難化した分、平均がわずかに下がるかもしれません。

 

第1問は、[1]数の計算、[2]論理と集合、[3]2次関数 の構成ですしょっぱなの計算が意外と面食らう? 論理と集合は普段より解きやすいと思います。2次関数は久しぶりに軸分け系(受験生はお得意なはず!)に戻りました。全体としては変化なしです。

 

第2問は[1]三角比、[2]データの分析 まず、問題数が少なすぎで配点でかすぎ。平均点を下げる要因となりそうです。

特に三角比は、難易度を考えると前半低いのはわかるが、難化した後半で9点。データも問題数少ないが、時間は比較的持ってかれそうです。最後は昨年追試で似たような考え方の問題が出題。

第3問の確率と場合の数は、サイコロ2個の問題で昨年より考えやすい。意味をしっかり理解していれば楽勝。そんなり理解していなくてもまあまあ楽勝^^; 最後はちょっとひっかかりそう。

第4問の整数は(2)までは楽勝。(3)は意外と難しいのでは。書き出して試した人が勝ち。全体的に昨年よりは考えやすいか。

第5問の平面幾何は昨年と同じぐらいか、数Aでは唯一やや難化。後半の最初の意味が分かれば最後まで行けます。使う定理はいつもどおりで思いつきやすい。

 

 

※第2問[1]の「カ」「キ」や第5問「コ」「サ」など、細かい考察をさせる問題が多い。普段から意識してできるだけ正確な図を書いている人ほど、こういう問題には強いです。

※あくまで、「KATSUYA個人の見解」です。各予備校の見解にひっぱられないよう、各予備校の分析は(この時点では)拝見しておりません。



■目標解答時間・・・・65~67分 【46~47分】←穴埋め解答時間 
(■昨年の時間・・・・66~70分 【42~44分】←穴埋め解答時間)

※幅があるのは、選択問題で時間が異なるためです。データは記述式を想定しにくいので、穴埋めと時間を同じにしています。


KATSUYAは、40分で終了しています(第4問までなら34分)。 昨年よりかかっていますが、難化したわけではないと思います。

 

2.各大問の難易度

 

第1問 [1](数の計算、置き換え、式の値、AB、例年比やや難、7分【4分】)

置き換えを行う式の問題ですが、x(5-x)と、xの係数をひっくり返されているので、見た目が違うように見えます。「ア」はまともに展開でもいいですが、「5」以外に入る余地はなさそうです^^;

Aは6式の掛け算なので3組に分けます。さきほどの誘導をしっかり見て、(x-1)(6-x)などに分けるということです。(n=1)

xからXを求めるときは次数下げが楽。ルートだけ残して2乗します。これぐらいなら代入してもいいですけど^^; Aはいいですね。

 

Principle Piece II-15

高次式の値は次数さげ or 割り算

(拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.15)

 

KATSUYAの感想

ややこしい?いや、置き換え系か。普段とxの係数ひっくり返ってるからちょっと慎重に。「ア」は展開めんどくさ・・・てか5だろ^^; 最後のAの値が2の累乗にならなかったらここからやり直せばいいや。 なったのでやり直さず終了。2分。

 

第1問[2] (論理と集合、集合の関係、必要十分、AB、昨年比並、10分【6分】)

今年の論理と集合は、比較的解きやすいです。(1)の集合は有限なので、時間はかかりますがしっかり書き出せば確実に答えが出せます。下に余白がありますので、次のように書くのがいいでしょう。(なお、私はすぐ横に書いてしまいました^^;)

 

p:1 2   4 5       10、        20

q:    3     6   9 ・・・

r:  2   4    6・・・
縦に見れば同じ数字が並ぶように書いておくと、非常に見やすいですね^^

「キ」はこれで瞬殺できます。「ク」はこれを参考にもう一度「AUC」などを書き直すのがいいでしょう。時間はかかるかもですが、確実に正解をもぎ取れます。なお、(d)はAかつBが空集合であれば確実に成り立つ式です。

 

(2)は楽です。pとrはxについて解き直します。s:文字式のルートには絶対値記号が付きますので注意。

 

Principle Piece I-7

文字式のルートは場合分けして外す

(拙著シリーズ(白) 数学I 数と式 p.16)

 

落ち着いて絶対値を外せばこれは簡単^^

 

KATSUYAの感想

今年は有限集合。書き出しで確実。「ク」はめんどそうやけど、書き出せばいける。(d)は普通に成り立ちそうやけど、、、まいっか書き出そう。(2)は上記の通り瞬殺。解答時間5分。書き出しが必要だと時間取られる。

 

第1問[3] (2次関数、頂点、最小値(軸分け)、AB、例年比並み、9分【6分】)

文字定数aの入った2次関数の問題で、j久しぶりに軸分けが出ました。頂点が分数式になってしまいますが、メインの軸分けはそこまで難しくないです。 

最初は平方完成して頂点を出すだけです。ここはx座標だけなので暗算可能ですが、後ろの式もあとで使うので、平方完成しておいたほうがよかったです。

 

次は最小値なので、頂点が定義域内にあにあるかどうかです。軸が4より大きければOK。聞き方が普段と違いますが(2015年のような聞き方)、ただの場合分けです。放物線、軸の線、定義域の両端線を書きましょう。

 

Principle Piece I-26

頂点議論は3パターンの図を書く

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.29)

 

最後は、場合分けした範囲内でf(4)=1、f(p)=1 となるaの値を出します。パターンですね^^f(4)、f(p)は自分で出してやってくれということで、配点的におさめられなかったのでしょうか。(第2問からちょっと譲れよって感じですけど)

 

KATSUYAの感想

久しぶりに王道パターンか。軸分け。定義域の右端か頂点で最小になるときの場合分けってことね。この聞き方も最後に出た2015年と同じ。f(4)、f(p)は計算して=1を解けってことね。f(p)は計算ちょっとメンドウ。解答時間3分。

 

 

※変化なら上位層にはどうってことないので、満点難易度は[1][2][3]全て例年並みです。

 

第2問[1]  (三角比、正弦定理・余弦定理、数の大小など、B、昨年比難、9分【6分】)

今年の三角比は図形的に細かい考察を必要とする部分があり、配点の悪さも合わさって点数にかなり結びつきにくいです。最初の2つ(6点)だけで沈んでしまった人も多いのではないでしょうか。


最初は四角形、対角線などの表現にだまされないように。ABCだけが問題で、3辺わかっているので余弦定理で、相互関係でsinを出します。

正弦・余弦の使い分けをしっかり把握しておけば全く怖くないですね^^

 

Principle Piece I-43

 正弦・余弦の使い分け方

 [1] 角度が多い、外接円の半径→正弦

 [2] 2辺夾角→余弦

 [3] 3辺→変形余弦

(拙著シリーズ(白) 数学I 三角比 p.24)

 

さて後半です。何を言っているのか分かりましたでしょうか。まず台形であるとすれば、選択肢にあるとおり、「AD平とBC」か「AB」と「CD」です。これを判定する根拠として、CDとABsin∠ABCの大小を用います。 という流れです。

次に、AB∠sinABCというのは、AからBCに下した垂線の長さです。これよりもCDのほうが短いので、Dは頑張ってもAと同じ高さまで行けません。従って、BCとADが平行になることはない、といいたいわけです。

 

これにより、対角線BDは∠Cのcosが∠Bのcosと符号違いだと分かりますので、再び余弦で出せます。

 

 

これについては、満点難易度は高めでしょう。

 

 

 

KATSUYAの感想

四角形の絵を・・・うーんDの位置わからんからABCだけでいいや。最初はここしか聞いてないし、3辺わかるし。対角線とか紛らわしいな。後半を見て、Dをかかなくてよかったと思うが、、、なんだこれ??選択肢と文全体をチェックし、流れを読み取る。確かに平行になる可能性は2パターンあるから、判定しろと。右辺は垂線の長さだとすぐに気づいたので、何がいいたいか理解。なるほどね。ちょっと難しくないか?BDは余弦。解答時間5分。

 

 

第2問 [2]  (データ分析:ヒストグラム、箱ひげ図、相関の読み取り、偏差積の計算、昨年比やや難、10分【10分】)

データは、2016、2017と易化傾向でしたが、今年は少し読み取りがメンドウになりました。解答するところは少なく、配点が大きめで差がつきそう。なお正解の選択肢の配置のせいで、時間は結構持って行かれます^^;

最後の計算も昨年の追試ほどではないですが、似たような考え方のものがあり、慣れていないと厳しいか。今年は変量変換出ず。教科書やチャートに載ったら出なくなるという、無意味な張り合いはやめてほしいですが^^;

 

(1)は頑張って文章と資料を読み取るだけです。長距離、短距離など見間違えやすいですが、落ち着いて見れば分かります。最初の方と最後の方ってのが、イジワル。全チェックを強いられます。

(2)は結果的には後ろから見た人が時短できましたが、(1)の流れではやりにくいです。こちらも全チェックを強いられ、イジワル。 データ自体も少し複雑です。まず、L1~L4の直線は「補助的に引いてある」とありますが、この線は補助どころか、非常に重要です。この傾きこそが「Z」に相当することに気づかないと、(2)は意味不明です。

どの傾きの直線の間に密集しているのか、などから分布を判断するといけます。

 

(3)は偏差積です。つらつら「・・・・」の式で和が書いてありますが、Σでかけばk=1~n ということです。最初だけやってみれば分かります。x1w1に比べて、x1wバー、xバーw1、xバーwバー だけ不要です。1~nまで足せば、みんなnxバーwバー になりますね。

文章にも一応ヒントがありますが、ヒントになってませんね。(知ってる人には不要、知らない人は読んでも分からないので)

 

満点難易度は少し高め。上位層なら最後も食らいついてくるでしょう。

 

 

 

 

 

KATSUYAの感想

少し骨がありそうなデータ。4種類の散布図と選択肢7つか。時間もってかれそう。しかも1と6かよ。(2)はまずデータの意味をしっかり確認。BMIかな。それはいいとして、Zの分布ではないな。あ、Zは傾きだから直線も引いてあるのね。選択肢がまた多め。しかも4と5かよ。最後の偏差積は昨年追試に似ている。まあまあ正答率あったからちょっと難易度下げて出してきたかな?解答時間計8分。

 

 

第3問 (確率、サイコロ2個、積事象の確率、条件付き確率など、AB、例年比やや易、10分【7分】)

今年はサイコロ2個が題材で、昨年よりも全事象が把握しやすいです。最後だけひっかかりそうですが、全体的に考えやすいです。

 

サイコロ2個なので、こちらの原則で14点分はいけます。

Principle Piece A-7

サイコロ2個は高々36通り 表で整理

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.20)

 

和の表を書いておき、A、B、Cに当てはまるところを囲んでおけば、あとはそれを見て解答するだけ。条件付き確率も、「Cが起こったときにA起こる」なら、Cの4つの中でAに当てはまるものが1つだから1/4という具合です。もちろん、こちらの考え方に従っています^^

 

Principle Piece A-39

 条件付き確率の計算 「とき」の手前の事象を分母に、「とき」の前後の事象を分子に

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.32)

 

 

(3)の前半はただの大小比較。計算すれば分かります。言葉にありませんが、事象が独立かどうかを見ているだけです。

 

(4)の前半は表を見れば確率出ますので、簡単です。後半は意外とひっかかる?2回しかやらないので、1回は事象のかぶっているところが出る必要があります。「AかつB とCのみ」 などです。ベン図で書き直して、確率を求めておけばやりやすかったかもしれません。順番も自由ですので、最後に2をかけ忘れないように。

 

最後の1問で、満点難易度は普段より高めです。

 

KATSUYAの感想

今年はサイコロ2個!表かいて楽勝モード^^ (3)まで予想通り楽勝。(4)も前半はOK。後半。2回しか投げないのに全事象が1回ずつ・・・どゆこと?? あ、かぶったところが出ろってことね。これ引っかかりそう。反復試行みたいな文章になってるから、余計に^^; 解答時間4分。

 

第4問 (整数:素因数分解、1次不定方程式、約数の個数、B、昨年比易、10分【7分】)

今年の整数問題は、あまり盛りだくさんではなかったようで、配点も第2問とうってかわって甘め。点数は稼ぎやすそうですが、こちらも最後は少しとまどうかもしれません。

 

最初の素因数分解と約数の個数はいいでしょう。(2)も典型的な1次不定方程式です。見つけらればラッキー、見つからないなら互除法で頑張ってください。私はー5、ー103とかいう変な解が最初でした^^;

1組見つけたら、センターではすぐに一般解かけますね。

時短テク 数学A

 1次不定方程式は1組みつけたらすぐに一般解に持ち込む

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.9)

 

(3)の約数の個数はちょっと難しいかもです。あてはまる整数は(2)の結果を使い、144xのxに「x=7k+2」を入れればOKです。 この7k+2の値を変えて約数のコス言うを18個、30個にしてほしいということです。 「ス」は2か9、「セソ」も2桁なので、試したほうが早かったと思いますね。

 

記述で出たら意外とかかりますね、これ。30=2・3・5=5・6などと、約数の個数を因数分解した上で、元の式がどのような形に素因数分解出来るのかを場合分けして調べていきます。

Principle Piece A-51

 約数の個数から整数決定 個数を素因数分解する

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.32)

 

最後の問題で、こちらも満点難易度は少し高めです。

 

 

KATSUYAの感想

今年は1次不定方程式復活。かなり簡単めか。最後の2問だけ難しめ?30個のほうは書き出したものの、個数の計算でミスをしてまったく見つからず。あれ?もっかい最初から。なんだ23(素数)ならOKやんか。なんで見逃したんだ?大幅ロスして7分もかかった。

 

第5問 (平面図形:角の2等分線、方べき、メネラウス、心の判定、例年比難、B、12分【8分】)

今年の平面図形は三角比と同様に細かい図形的な考察が必要な部分が途中にあり、ここで詰まると8点で沈んでしまいますので、厳しいセットです。

最初は2等分線から辺の比に持っていけばOK。BCは三平方で出しましょう。ほぼ暗算ですね・。次は形から明らかに方べきです。式の形から何を使うか分かればラクです。

次の「コ」「サ」は三角比と同じニオイを感じる曲者です。流れは似ています。平たく(数学的ではなく)言えば、EとDのどちらに傾斜しているかを判定しろということです。(ACを下に書いた場合の図の話です)

 

傾斜しないときを考えればわかりやすいかもしれません。そのときはBEDとBACが相似となり、BE:EA=BD:DC 流れに合わせるならBE:BA=BD:BC です。これがずれていると、どちらかに傾斜するということです。BE/BDのほうが大きいということは、Dのほうが(割合的に)下にいるということです。

問題文のBE/BDとAB/BCよりも、ABとBDを入れ替えた式 「BE/ABとBD/BC」のほうが見やすいと思います。この変形で大小は変わりません。

 

ここを突破すればあとは楽勝。次の比は長さの比なので、チェバかメネラウスですね。図的にはメネラウスと判断しやすいでしょう。比がわかればAC=1でCFも出ます。BFは計算の必要がなく、あとは条件から内心と分かります。

 

Principle Piece A-87

 線分比、共線(共点)情報があればチェバかメネラウス

(拙著シリーズ(白) 数学A 平面図形 p.28~30)

 

 

 

KATSUYAの感想

最初は簡単。方べきも利用が見やすい。後半、またこの文章か。三角比にもあったけど、なんだ今年のこの流れ。普段からあまりいいかげんに解くなよという意味でしょうか。まあいい流れなのかもしれない。変形して、どっちが下にあるのかで判定できそうやな。あとはメネラウスも見やすいし、辺の比から角の二等分線も見え、内心確定。解答時間6分。

I・A 解き方はこちらをご覧下さい^^

II・B 解き方はこちらをご覧下さい^^
II・B 難易度評価はこちらをご覧下さい^^ 

 

3.対策 

 

レベル的には、教科書の章末問題レベルですが、数学Aについては少し発展的な内容も見受けられます。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。また、公式は単なる暗記にとどまらず、適用しながらでもいいので、普段からなぜその式で出せるのか、どういう仕組みなのかを理解しましょう。

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。

→ 分野別のセンター用参考書はこちらから

→ 過去問・模試のセンター用参考書はこちらから

データ分析については、教科書のレベルと少し乖離があります。公式だけを丸暗記するのではなく、一部のデータから「どこまで確実に言えるか」を常に考えましょう。

 

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