センター試験 数学II・B【2012年】の難易度、傾向は?

      2016/07/05

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2012年に実施されたセンター試験の数学II・Bに関する情報についてまとめます。

評価については、以下の3点から問題ごとに書きます。

1.難易度(易A←→E難しい)

2.典型パターンレベル(Lv.1~Lv.3)

3.目標回答時間・・・解き方を書いたとして、きちんと解答するまでの標準的な時間

 

2012年度センター試験数学Ⅱ・B(60分)

1.全体評価~昨年より難化


昨年より難化しました。三角関数は加法定理以降の知識が一切いらないという、なんともすかされた感じ(笑)

微積は最初にどうすればいいかちょっと迷いますが、全体的にはラクでしたが、最後の面積の穴埋めはなにげに斬新。

数列の漸化式では、センターレベルとしては史上最難です。(2次には全然でますけど)

ベクトルの最後もやり方としては非常にスマートですが、誘導にうまく乗れないと訳が分からなくなると思われます。

目標回答時間・・・73分

どれも計算には時間がかかるため、正直言って時間は足りません。数列も見たことがないと時間を消費してしまうでしょう。三角関数の計算も分数多くてかなりいやな感じです。

KATSUYAは44分で解いています。


2.各大問の難易度

第1問(対数関数、三角関数 AB、計20分)


対数関数はラクだったと思います。三角関数は、なんか数Ⅱっぽくなかったですね。範囲が360°までってだけです。相互関係が分かっているかどうかだけでしたが、無駄に計算がめんどくさかったです。

sinα=cos2β  となるαとβの関係は、2β=90°-α  または 270°+αです。単円を書けば、すぐに分かります^^

また、sinα=sin(180°-α) ですから、上の式でαを180°-α に変えてもOKなわけです。これで4つ式でますね。

KATSUYAの解いた感想

対数は楽勝。三角関数はすかされた感じで計算だけうざくて、途中で間違えまくりで時間ロス。 解答時間16分。

 

第2問(微分積分、AB、15分)

接線の方程式、3次関数の極値、解の個数、面積と、総合的に聞いてきてますが、ほとんど単独問題です。

最初の接線の方程式の条件だけは文字が乱立していて、迷ったかもしれませんね。

最後の面積ですが、分割して以下のように計算すると、時間がかかる上に、間違えそうです。

∫(0→2/27) x^2 dx + ∫(2/27→4/27) (x-4/27)^2 dx

図形的に明らかに第1項と第2項は同じ面積ですから、第1項を2倍するほうが明らかに楽でしたね^^

KATSUYAの解いた感想

いろいろ聞いてくるけど、しょせん単独問題。面積も対称性をつかってうまくサボリ、終了。解答時間9分。

 

第3問(等差数列とその和、漸化式、B、18分)

本試験最難問だと思われます。前半の等差数列はまあいいとしても、後半の漸化式はかなり難しいですね。そもそも bn に関する漸化式を求めるのにも、Sn+1-Sn の部分はnの整式に直さないと形に合いません。

そして最も難しいのは、bnに関する漸化式です。bn+1=4bn+6n+1  のパターン。

6n+1 の部分が定数(nによらない)であれば楽勝でしょうが、このパターンはセンター初で、2次でも誘導なしではなかなかの問題。しかし、この場合も基本は同じ。等比数列になるようなものを作るわけです。ただ、nによる整式がありますから、bn+1+α(n+1)+β=4(bn+αn+β) となるα、βが見つかればいいわけですね。

この手の漸化式における原則です。2次でも十分出る可能性ありますから、ぜひ覚えておきましょう。

このα、βを求める作業だということに気づかないと、「チ」以降は全滅でしょう。

 

KATSUYAの解いた感想

漸化式を見て、「うわ、このパターンセンター試験で出すんや」と思った。 しかし当然知っているパターンなので、原則に従って終了。解答時間9分。

 


第4問(空間ベクトル、直線の交点、ベクトルの長さ、B、20分)

今年はベクトルも少し難しかったかな、と思います。計算自体は例年より少しラクな気もしますが、付け焼刃な勉強では、意味が分かりにくかったかもしれません。しかも最初の値がその後の問題に関わるので、慎重にいかないと全滅のおそれがあったかと思います。

最初ですが、そもそも空間において2直線は平行でなくても交わるとは限りません(ねじれ)。そこで、交わるかどうかを議論しようということです。

実数倍であるというのは、基本ベクトル a、b、c で表したとき、係数の比が等しいということです。実数倍の議論では、これが原則。

後半では、長さを求める問題がありますが、別ベクトルは互いに直交しているので、内積は0です。これに気づくと計算がだいぶラク^^

最後は意味不明だった人も多いと思います。そもそも、内積の定義は内積=(2ベクトルの長さの積)×cos(なす角) です。GF・GH(内積)とGM・GH を比べると、 なす角も等しく、 GHが共通です。なので、GFの長さとGMの長さの比がそのまま内積の比になるってことでした。

 

KATSUYAの解いた感想

私としては計算がラクな典型問題という印象。最後も、形から見て「比をだせ」ってことに気づき、長さの比で解決して終了。 解答時間10分。

 


3.対策~全分野まんべんなく学習を~

レベル的には、教科書の章末問題レベルです。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。まずは教科書傍用問題集などで、すべての分野をまんべんなく学習しましょう。今年のように、三角関数は加法定理や倍角とばかり考えていると、足元を救われます。

数学Ⅰ・A以上に計算力がものを言います。ベクトル計算、微分積分など、計算量の多い分野からガッツリでます。これらの分野では、素早く計算する習慣を普段から身に付けておいてください。

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問で形式になれることだけしておくといいでしょう。

→ 分野別のセンター用参考書はこちらから

 過去問・模試のセンター用参考書はこちらから
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