センター試験 数学II・B【2014年】の難易度、傾向は?

      2016/06/30

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2014年度に実施されたセンター試験II・Bに関する情報についてまとめます。

【評価指標】

1.難易度 A(易)~E(難)

2.パターンレベル
Lv.1(習得していて当たり前)
Lv.2(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.3(習得していなくてもしょうがない)

3.解答するまでの標準的な時間

です。これら3点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

 

センター試験数学Ⅱ・B(60分)

解き方はこちらをご覧下さい^^

 

1.全体評価~微難化~


全体を通すと、昨年並みか、微難化といったところだと思います。

第1問前半に、またもや三角関数の姿がありませんでした。昨年に続き、図形と式の問題でした。後半は指数、対数ですが、むしろそれ以外の能力を問われている気がします。

第2問は微分、積分で、接線がある点を通る条件がメイン。昨年並みです。

第3問は数列と漸化式ですが、昨年に引き続き、高度な題材の漸化式で、混乱しないように誘導に乗らないと、途中ですべて崩れます。d1を求める作業や、部分分数分解も聞いており、全体的に計算量が多いです。

第4問は空間ベクトル。立方体を題材としています。前半は誘導が丁寧で分かりやすいですが、後半は文字計算、分数計算が入り、こちらも計算量が多めで、時間が足りなかった人もいるかもしれません。最後は、勧でマークした人が正解(笑)

目標解答時間・・・90分

第2問を除くと、分数計算など、計算が繁雑なものも含まれ、この手の計算に慣れていないとオーバーだったと思われます。私も途中でミスして答えが合わず(後述)、50分もかかってしまいました。

 

 

2.各大問の難易度

第1問[1] (図形と式、円と接線、B、20分)

2直線に接する円を求める問題を考察したものです。接するということは、中心との距離が半径になるということですね。

 

Principle Piece II-38

 円と直線の共有点条件はdとrが活躍

(Principle Piece 数学II 図形と式 p.31~33)

しかし、本問は距離を求める部分が煩雑で、かなり時間がかかったかもしれません。2桁の数字の2乗を覚えていれば、ゴリ押しでも大したことありませんが。。。

しかし距離まで出せれば、後半はそこまで難しくないと思います。2直線に接するということですから、2直線からの距離が等しいということを式にしています。

 

Principle Piece II-40

 2直線に接する 中心(p,q)と2直線との距離を「=」で

(Principle Piece 数学II 図形と式 p.31~33)

 

絶対値を外して計算し、条件を満たす方を選びましょう。p、qが同符号である必要があります。あとは、(2、2)を代入すればOKですね。最後の外分点は、簡単な図を書きましょう。前回に引き続き、外分点を聞いてきました

KATSUYAの感想

また円か。三角関数の方がいいな^^; 距離の計算・・・めんどくさくないか?もっと簡単に・・・いや、やろう!! 後半の方が楽勝^^ 解答時間9分。

 

第1問[2] (指数関数・対数関数、自然数の個数、AB、10分)

こちらは、いつもどおり指数・対数関数からですが、その部分はあまり聞かれていないような気がします。

「不等式から条件を満たすものが限られているので、これだけしかない」という流れをうまく読み取らないと、途中で何をやっているのかわからなくなるかもしれませんね。

KATSUYAの感想

指数・対数の問題なんだろうが・・・あまりそんな気がしないのはオレだけ?なんか手応えの薄い問題。解答時間4分。

 

第2問(微分積分、極値を取る条件、極値、接線、3次方程式、面積、B、20分)

微分積分総合問題ですが、積分は一番最後だけです。いつもそうですね^^;

最初は、関数が極値を取る条件です。ふだんはf’(x)=0の判別式ですが、今回のような形では、「定数pが負でさえあればOKでしょ?」と、本問はいいたいようです。なお、0はダメです。「符号の変化を考えると、、、」というのは、そういう意味です。

pが出ればf(x)が決まりますので、極大、極小が出ます。なお、ここから先はp=3として計算する、ということです。ちょっとわかりにくいですが、ずっと(2)なので。

Aにおける接線はもちろんAを通りますが、それ以外にAを通るものを求めよう、という趣旨です。その場合は、先に接点を置くんでしたね^^

 

ULTIMATE Principle Piece

 「通る」よりも「接する」に着目する

 

接する方が条件が強く、bだけの式となります。あとは、極小点(1、ー2)を通ることを放り込むだけですね。3次方程式は、因数定理で解きましょう。(ただし、解に1が含まれることはほぼ明らか)

ー1/2の方を入れて、接線の式が出ますね。分数が多く、煩雑ですね。(私、ここで間違えました。。。)

最後は、頂点と通る点が与えられていますので、まずは放物線を決定しましょう。内容的にはⅠAですが、センターⅡBでは、放物線は割と聞いてきます。

Principle Piece I-22

 2次関数の決定 頂点がわかっているなら標準形でおく

(Principle Piece 数学Ⅰ 2次関数 p.16)

 

最後の面積は、今回は真面目に定積分を計算するしかありませんね。

 

KATSUYAの感想

bに関する方程式まではスラスラいったものの、接線の式と、あろうことか放物線の式までミスし、面積が負になるという事態に。接線は気づいたが、まだ負。あれ、どこで間違えたんだろ(><)  放物線にやっと気づき、大きくタイムロスして終了。解答時間15分。

 

第3問(数列、階差数列、漸化式[f(n+1)a_n+1=f(n)a_n型]、望遠鏡型の和、B、20分)

前半は階差数列、後半は比較的複雑な漸化式です。前回は添字の混乱しそうな数学的帰納法、その前もセンターで初めて出た漸化式のパターンですが、今回はさらに複雑な漸化式できました。2次ででても、同じような誘導が必要なレベルの題材です。

前半の階差数列はいいでしょう。第2項、第3項は落ち着いて求めましょう。和の式を出したときには、この第2項、3項で見参するといいですね^^

後半のb_nは、複雑な漸化式の形で、問題文の誘導に乗らないと、(というよりは頼らないと)一般項を求めるのは難しいです。

まず、a_n+1-1 とa_n を、さっき出したnの式で表すことに気づかないと、ここから先は一切解けません。どちらもnの2次式になり、約分ができます。ここから先は次のような流れとなっています。

------------------------------------------------------------------------------
b_n+1=(2n+1)/(2n+5) bn です。

本来ならば両辺に (2n+5)(2n+3) をかけて、(2n+5)(2n+3)b_n+1=(2n+3)(2n+1)bn  として定数列を作るところです。この定数列(2n+3)(2n+1)bn こそがdnです。

しかし本問は、まず(2n+1)b_n までをc_n とし、それから (2n+3)c_n=d_n としています。

+1なのか+3なのか+5なのか、落ち着いて見ていかないと、間違えてしまいますね。
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d1=6を求める作業も、慎重にやりましょう。

最後の部分分数分解は、和を求めるために必須の作業です。分母の因数の差が2なので、6÷2=3 とするのが賢いですね。慣れてないと、「ナ」「ニ」の部分をx、yとでもおいて、まともに通分です。

Principle Piece B-6 

 和を求める方法は、Σの公式適用か、(等差)×(等比)型か、望遠鏡型

(Principle Piece 数学B 数列 p.23~24)

望遠鏡型とは、和の途中がどさっとキャンセルされ、最初と最後だけが残るタイプの計算のことです。これにより、最後の和も出ますね^^

KATSUYAの感想

階差数列は余裕。第2、3項で検算し、次へ。ん?(2n+3)しか掛け算しないの?と思う。何するんだ? そのあと、またかけ算しているのを見て、「なんで2段階なんだ^^; 問題数かせぎ?」 と思う。和の計算も楽勝。解答時間9分。

 

第4問(空間ベクトル、位置ベクトル、内積、面積、体積、B、20分)

空間ベクトルの問題で、題材は立方体です。設定自体はシンプルで、立方体以外の点はそんなに多くありません。

前半は、M,Nを特定しなさい、というもので、平行四辺形であるためには、対辺がベクトルとして等しい必要があります。(長さが等しく、かつ平行という意味です) 向きだけ気をつけてくださいね。図を書いていれば大丈夫でしょう。

親切にもM、Nはおいてくれていますから、素直に従って出しましょう。なお、KLMNは長方形ですので(内積も求めさせているので、これまた親切^^)、LK×LM だけで出せますね。

 

後半は、Oから平面KLMNに下した垂線の足を出す問題です。

点か垂線では、この原則があります。

Principle Piece B-53 

 点から平面への垂線 → 平面をなす2ベクトルに垂直である

(Principle Piece 数学B ベクトル p.75)

 

本問では、 OPとLK、LMが垂直であることがそれにあたります。本来ならば、これに加えて平面上にある=係数の和が1 などを用いるのですが、今回はP(p、q、r)と置かれていますので、代わりに OPとPLが垂直であることを用いています。(Pがα上になければ、この式は成り立ちません。)

Pは座標が煩雑で、OPの長さをうまく計算しないと、体積と一緒にオダブツだったかもしれません。係数の分母ににすべて35が入るのですから、2乗してルートを取る計算からは35を抜くことがコツですね^^

 

KATSUYAの感想

設定はシンプルだな。内積やら長さやら全部出して面積も聞いてくる。後半のP。分数係数きそうだな・・・と思いながら取り掛かり、おもったより係数がでかい。OPの計算はとっとと35を抜いて計算。ここまで出れば体積は10秒。解答時間9分。

 

解き方も、ぜひご覧下さい^^

 

3.対策~計算をうまく減らす練習を~

レベル的には、教科書(数件出版の一番上のレベルのもの)の章末問題レベルです。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。また、計算力がものを言います。今回のベクトルのように、成分を利用した計算は煩雑になることも多いので、うまく計算して時間を短縮するテクニックも習得しておきたいです。

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。

→ 分野別のセンター用参考書はこちらから

→ 過去問・模試のセンター用参考書はこちらから

 

 

■関連するPrinciple Piece■

Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数(今年は消えましたが、一応)
Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式
 (第1問[1]対応)

Principle Piece 数学Ⅱ 指数・対数関数
 (第1問[2]対応)

Principle Piece 数学Ⅱ 微分
Principle Piece 数学Ⅱ 積分
 (第2問対応)

Principle Piece 数学B  数列
 (第3問対応)

Principle Piece 数学B ベクトル (平面、空間ともに収録)
 (第4問対応)

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