センター試験 数学II・B【2015年】の難易度、傾向は？
2016/06/30
２０１５年に行われたセンター試験の数学II・BをKATSUYAが解き、感想や各問題の難易度などについてアップしていきます。
【評価指標】
１．難易度 A(易)～E(難)
２．パターンレベル
Lv.１(習得していて当たり前)
Lv.２(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.３(習得していなくてもしょうがない)
３．解答するまでの標準的な時間
です。これら３点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。
センター試験数学Ⅱ・B（６０分）【新旧共通】
１．全体評価(難易度)～非常に点数を稼ぎにくい～
最初が解けないと全滅という設定、および計算量の多い問題が並び、点数を稼ぎにくい。難易度自体は昨年比「やや難」だが、平均点はかなり下がる可能性あり。
第１問前半は、三角関数が戻ってきました。図形と式と絡んでいると見ていいでしょう。７倍角という急上昇キーワードを見かけましたが、もちろん不使用。平年並みだが、OQを出せないと全滅に近い。後半は対数が聞かれず、指数のみだが、見慣れない形式でやや難。
第２問は微分、積分。平均変化率の極限値が微分係数であることは、基本中の基本だが、こちらも急上昇キーワードに。ここは当然解けるとして、図も複雑ではなく、難易度、計算量ともに平年並み。
第３問は数列と漸化式。３年連続、複雑な漸化式（４つおきに一定の規則あり）を取り扱う。誘導に従えばそこまで難しくはないが、類題経験がないと何をしているのか分からないか。計算もそこそこ複雑で、やや難。
第４問は平面ベクトル。正三角形を組み合わせたひし形が題材。誘導も丁寧で、こちらは計算量、難易度ともに全体的に平年並み。
※KATSUYA個人の見解に基づくものです。予備校の見解にひっぱられないように、ブログ掲載時点では予備校の見解を見ておりません。
目標解答時間・・・１１３分 【７２分】←穴埋め形式なら
第１問の指数や第２問の面積計算、第３問の数列の後半など要所要所で時間の大きくかかるところあり。全体的に計算量が多く、急がないと全問解くのは厳しいでしょう。記述式であれば２時間は欲しいレベルの問題。
ＫＡＴＳＵＹＡは３７分で終了しています。
２．各大問の難易度
第１問[1] (三角関数、２点間の距離、加法定理、最大・最小、三角方程式、例年並み、B、２０分【１３分】)
原点および三角関数で表された２点P、Qについて、その距離などを三角関数で表すもの。
OPやPQはすぐに分かると思います。OQは２点間の距離公式に従えば、sin^2●＋cos^2●=1 などが使えて、問題の７θの部分が残りますが、ただのｃｏｓの加法定理です。
７θ＋θ＝８θって書いた人、いませんよね？？ ７θ－θ＝６θです。気をつけて！！ ここで間違えるとあと、全滅です。
逆にOQが出せれば、あとは安心できます。ｃｏｓ６θは問題の範囲では１３５～２７０（度数法） ですから、一番大きいのは２７０°になるときで、値はゼロです。このとき最大ですね＾＾
一直線上条件として、OPの式を出します。x軸に垂直ななるときもありますので、選択肢のような複雑な式で表します。y＝2sinθ/2cosθ x で分母を払えば得られますが、Pの座標を入れてみて、恒等的にゼロになるものを探してもよかったでしょう。
さらに、この式にQを入れることもできます。入れると、今度はsinの加法定理の展開式が現れるのが見えます＾＾ sin６θ＝０ で解けますね＾＾
最後に垂直条件ですが、２乗の長さも聞いていますし、３平方利用ですね＾＾
KATSUYAの感想
今年は三角関数舞い戻り。図形と式より、三角関数の方がいいな＾＾ ７θとかデカイなぁ。OQの式は形から加法定理を判断。一直線上も計算してみて、きれいな結果＾＾ OQ出たらひたすら方程式解くだけって感じ。解答時間６分。
第１問[2] (指数関数、指数連立方程式、新傾向、例年比やや難、B、１８分【１２分】)
今年は指数関数のみて、対数は姿がありませんでした。しかし、こちらも最初の方程式の解が出せないとあとがどうしようもないという問題。しかも連立方程式が見慣れなく、手がつかなかった人もいるかもしれません。
やりかたはいろいろあるかと思いますが、x＝aの何乗×bの何乗、y＝aの何乗×bの何乗 という形にして、方程式をa,bだけにし、指数を比較するというやり方がスタンダードでしょうか。ただし４文字になり、２文字の連立を２回とかなければいけません。
かけ算ばかりの式なので、ｌｏｇをとるのが良かったと思います。底はなんでもOKです。logx＝X、logy＝Y とおくと、XとYの連立になってうまくできます＾＾
（解き方を参考にしてみてください＾＾ 殴り書きですが＾＾；）
ここが出れば、後半はbの式を代入するだけです。２^1×ａ^(4/3) のように√なしの表現にしておくと計算しやすいですね＾＾ 相加相乗と書いてあるのは丁寧ですね＾＾
KATSUYAの感想
なんだこの指数方程式？文字ばっかり＾＾； 答えの形からして・・・うーん４文字はやだから、やっぱり対数にしよ。 解が出たらあとは楽勝。解答時間５分。
第２問(微積、微分係数の定義、接線、垂直、交点、面積、最小値、例年並み、B、２５分【１６分】)
いつもどおりの微積分総合問題。最初の微分係数はもちろん定義を知っていて当然なのですが、答えだけなら「エ」に「ａ」と書いておけばOKでしたし、これができなくてもその後は進みます。
（微分係数は、平均変化率の極限値です。キーワード急上昇検索などで話題になってましたが、全然難しくありません！！知らなかった人は、数学IIの教科書の微分の最初の部分をすぐに見直してください！！）
（２）からはいつもの微分計算。接線の式やら交点やら聞いてきます。垂直な線は傾きの積＝ー１でOKです＾＾
△APQの面積ですが、Qを原点に持って行って 1/2|ad-bc| を使うのが良かったと思います。ベクトルまでやっていれば習う式ですし、穴埋めであろうが記述式であろうが使用してOKでしょう。まともにやるとここで時間とられますね・・・
さらに、問題はTです。Tはうまく計算しないと膨れます。私は、S＋（l、m、y軸で囲まれる三角形）－（０からａまでの放物線－接線の積分） で出しています。
（０からａまでの放物線－接線の積分）のところで、こちらの原則を用いるためです＾＾
（Principle Piece 数学Ⅱ 積分 p.29)
これでいくと割と楽で、途中も短い式で終わります。（APの式－放物線の式）の積分計算という手もありますが、APの式がきれないにならなさそうなので、やめました＾＾；
S,Tさえ落ち着いて出せば、あとはできますね＾＾ なお、最小値はS-Tがマイナスになりますが、別にOKです。
KATSUYAの感想
平均変化率の極限値を聞いてきたか。定義わかっていますよね？という確認かな。確かに、できなかった人も多いみたいやし、点落とすのにちょうどいいかも。 図は普段より単純。APQは・・・原点にうつしちゃおう＾＾ Tも割とめんどくさいかな。 S出てるし、これ使いたいな、と思って上記の方法で終了。あとは普通に計算。解答時間９分。
第３問 (数列、漸化式[特殊型、周期型]、数列の和、例年比やや難、B、２５分【１６分】)
数列は今年も漸化式でした。２０１３年に初登場して以来、複雑な漸化式の出題が続きます。
今回は、４つおきに一定の周期を持つ数列｛bn｝です。b_n+4とb_nの関係ですが、分母が ４＾４＝２＾８ であることなどは、なれていればすぐ分かりますが、時間には差が出そうですね。
４周期ということは、４つ連続した｛an｝の項には、２、４、６、８（順番は不明）が入ります。よって、２×４×６×８ が「キ」の答えとなります。ここも意外と難しい？ただし、ここが出来ないと全滅です。
これにより、４個とびで等比型の漸化式が得られます。４k－３とは「１」のグループです。b１から k-1回進めばいいです。他も同様ですね＾＾ ４つも聞いてきていますが、これも慣れていないと何をしているのか全くわからなかったかもしれません。
後半はb＿nの和と積。和については、４k－３、４k－２、４k－１、４kのグループがm個ずつ足されていることになりますので、これらの等比数列の和となります。
積については、誘導にように、｛４k－３、４k－２、４k－１、４k｝で１つのグループとみなせば、それがｋ＝１～ｍ までかけられることになります。
よって、T4mは、指数の部分をΣで計算することになります。このあたりも、慣れていないと難しいですね＾＾；
最後の T10=T8×b9×b10 で、ｂ９は４ｋ－３のグループでｋ＝３、ｂ１０は４ｋ－２のグループでｋ＝３ですね＾＾ 結構計算量ありますね。
KATSUYAの感想
周期型か。これは練習してないと差がつくやろなぁ。センターでこんなん出たことないし、出来ない人は１の位だけ出して全滅の可能性あるな。後半は、さらに練習量が多くないと素早くは出来ないかと。数学IIIの極限とかやると、周期関数出てくるから、理系に有利か。解答時間７分。
第４問 (平面ベクトル、ひし形、内分点、直線上、垂直、交点、内積、長さなど、B、例年並み、２５分【１５分】)
今年は平面ベクトルの問題です。正三角形を２つ組み合わせたひし形が題材で、題材的には取り組みやすかったと思います。基本ベクトルが OAとOB なのはひっかけでしょうか＾＾； これならOAとOC にしたくなりますが・・・・
まず、Qの位置特定ですが、QはBC上にあることを利用して「ｔ」で表しています（誘導済み）。それがOPと垂直ということで内積０ですね＾＾ 内積ゼロ計算のときは、内分点の分母にある「３」はうっとうしいので、無視するといいでしょう。
「ｔ」が出れば、OP、OQ、OPQの面積はこれで出ます。なお、「ｔ＝５／４」から分かるように、QはBCの外側にあります。
後半は「R」と「T」の追加です。Tが「OR」上、PQ上にあることを両方式にしています。すでに誘導があるので、これに従ってただ「ｒ」と「ｓ」を出すだけです。連立は分数なので慎重に。
（Principle Piece 数学B ベクトル p.34～35)
「ｒ、ｓ」が出て、ほぼ同時にOTベクトルも出ます。ここはサービス問題ですね＾＾
最後の面積比ですが、△PRT＝△OPQ×（ＰＲ／ＰＱ）×（ＯＴ／ＴＲ） を利用すればいいでしょう。（ＰＲ／ＰＱ）は「ｓ」の値を利用すれば、（ＯＴ／ＴＲ）は「ｒ」の値を利用すればすぐ分かりますね＾＾
KATSUYAの感想
設定はシンプル。平面なのでラクか。誘導がほぼ書いてあることもあり、文章に従って計算式を立てて進めていくだけ。公式としては、内分点と内積ゼロ、長さぐらいか。基本ベクトルで表すということを守れば、出来る問題。解答時間１０分。
３．対策～数II・Bは得に計算の素早さが必要～
レベル的には、教科書(数件出版の一番上のレベルのもの)の章末問題レベルです。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。
２次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。２次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。
■関連するPrinciple Piece■
・Principle Piece 数学Ⅱ 三角関数（今年は消えましたが、一応）
・Principle Piece 数学Ⅱ 図形と式
(第１問[1]対応)
・Principle Piece 数学Ⅱ 指数・対数関数
(第1問[2]対応)
・Principle Piece 数学Ⅱ 微分
・Principle Piece 数学Ⅱ 積分
(第２問対応)
・Principle Piece 数学B 数列
(第３問対応)
・Principle Piece 数学B ベクトル (平面、空間ともに収録)
(第４問対応)
