同志社大学 全学部文系 | 2016年大学入試数学

      2017/02/05

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(全学部文系)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。






同志社大学(全学部文系)
(試験時間75分、3問、ハイブリッド型)

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

 

1.全体総評~昨年とほぼ同様~

難易度は、昨年とほぼ変わらずです。最初の小問集合も、他大学の文系数学なら大問になり得るものが、相変わらずあります。第3問は理系でも骨の折れる説明を強いられ、時間的には厳しいです。



試験時間75分に対し、
標準回答時間は110分【91分】(←穴埋め考慮)
2015年は101分【85分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問の10個の穴埋めは6個~7個以上。三角関数は式変形次第でキー問題。
第2問はキー問題。(4)の出来が左右されそうです。
第3問の数列は、難易がはっきりしていますので、差はつきにくいです。(3)まで確保、(4)、(5)で部分点といった感じでしょう。


キー問題を両方落とすと痛いので、65%弱が最低ラインですね。

 

3.各問の難易度

 

☆第1問(1)・・・【三角関数】加法定理、倍角、36°系、(B、15分【9分】、Lv2)

36°系統の三角関数を求める問題です。この手の問題はある程度手法が普及しているため、「手を変え品を変え」出題され始めています。今回は、sin5θ=0かつsinθ=0となる角度と、sin5θ/sinθ の式の値から、cos72°の値を求めさせています。

sin5θ/sinθ が加法定理や倍角を駆使することで、cos2θだけに出来ることを利用しています。

 

第1問(2)・・・【場合の数】条件を満たすカードの並べ替え(AB、15分【10分】、Lv.2)

5枚のカードを並べ替える、標準的な問題です。最初はいいでしょう。真ん中の条件ですが、a3=5 と決まりますので、あとはa1とa2に何を選ぶかを考えれば、a4とa5は決まります。

最後は意外と差がつきそうです。余事象の方が考えやすいことに気づけば、すぐに解けます。「a1=1またはa2=2」の方が、計算はしやすいですね^^

 

☆第1問(3)・・・【微分】4次関数の最小値、複接線(B、20分【12分】、Lv.2)

4次関数に関する問題です。最初は微分して増減です。後半の複接線は本学受験者であれば経験済みでしょう。

3x^4-8x^3=px+q が2つの重解α、βを持つことから、α+βとαβを出せますので、解と係数の関係に持ち込めばできます^^

拙著シリーズでも、複接線は扱っています^^

※KATSUYAの解いた感想
(1)は36°系統。今年は結構見かけるな。5θ?4θとθでばらして4θに倍角かな。(2)はさくっと終了。(3)もパターンなので、詰まることはない。解答時間計9分。

 

 

☆第2問・・・【ベクトル】三角形、角の二等分線の交点、垂直、長さの最大値(BC、30分、Lv.2)

角の二等分線絡みの平面ベクトルの問題です。(3)までは至って標準なのですが、文字x、yが長さに入っていることと、基本ベクトルの置き方が普段とちょっと違ったので、文系には少し計算が長い問題です。同志社は理系でも通用するものを文系数学に出してきますね。

(1)はいいでしょう。長さの比=内分比も積極的に活用しましょう。

(2)も交点ですから、簡単に出せます。BPはわかりますので、AR:RP=AB:BP内分比を出すと、早いです。なお、2つの基本ベクトルは長さが等しいので、角の二等分線であればuとvの係数は等しいはずです。

 

Principle Piece B-39

内心のベクトル → 辺の長さの比を2回活用

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.36~38)

(3)は、(2)が出ていれば出来ますね^^ u・v(内積)が1にならないことを見落とさないように。

(4)は少しメンドウに見えます。ORベクトルは長ったらしいので、長さを求めるなら2乗です。内積の値も活用しましょう。

また、内積の値からcos∠AOBが分かるので、xとyの関係が余弦定理から導けます(対称式)。この条件のもとで、ORの長さ(こっちも対称式)の最大値を出せばOKです。

対称式が多く見られますので、原則に従って設定すると比較的ラクだと思います。

 

Principle Piece I-13

対称式の値は、x+yとxyを設定して出す

(拙著シリーズ(白) 数学I 数と方程式 p.28)

数学Iの最初でやる原則が、このようなところでいきてくるわけですね^^

 

※KATSUYAの解いた感想
角の2等分線か。やることは決まってるけど、文字x、yが入っている。基本ベクトルは、、、どうやら単位ベクトルでおいていくみたい。たしかにこの方が表しやすいか。(4)はx、yの条件式、最大値を求めるべきx、yの式がともに対称式なので、原則に従って設定。解答時間15分。

 

第3問・・・【数列】漸化式、絶対値付き(C、30分、Lv.2)

絶対値付きの漸化式の問題で、同志社ぐらいになると文系でも普通の漸化式は持ってきれくれません。

今回は、a_nの値によって、a{n+1}への変え方が変わります。その規則を誘導で見抜き、(5)に行け、という意図なのでしょう。

まず、絶対値の中身が0になるのはx=1ですから、0<x<1と1≦x で式が変わることは分かりますね。(1)~(3)はコツコツ解いていくだけです。

(4)は、試してみましょう。1~2と2~4をうろちょろすることがわかります^^ 従って、常に1~4に入るので、x>1のときの変換の仕方で数列を作れ、ということです。周期は2ですね^^

(5)は理系でも骨が折れます。なんとなくは分かるのですが、説明となるとしんどく、穴埋め向きです(センターに出そうなタイプ)。

最初のポイントとして、初項が非常に大きいと、a_2は4÷(非常に大きい初項) ですから、0~1の間です。従って、a_2からはしばらく「4倍する」という漸化式になります。

どこまで4倍すると1を超えるかを判定するのが、次のポイント。そこまでは、ただの等比数列になります。

最後はのポイントとして、公比が4ですから、1を初めて超えたとき、その数は4以下のはずです。従って、(4)の流れに帰っていくわけですね^^


一般項はnの値によって4通りに分かれます。少し文系には厳しい記述です。むしろ、文系ならでは、でしょうか。

※KATSUYAの解いた感想
漸化式はパターンではないな。小問で刻んでるから、誘導は丁寧。流れが(2)ぐらいでなんとなくつかめた。(5)も、イメージは湧いたが、これ説明するの結構大変やな。しばらくは4倍が続くことも帰納法で示し、なんとか終了。解答時間20分。

 

4.対策~数学Bを中心にまんべんなく対策を~

分野はまんべんなく、幅広くです。あまり絞らないほうがいいでしょう。数Bは割と出ます。問題のレベルは標準~応用といったところですが、文系だからといって舐めていると痛い目に合うタイプの問題です。パターン問題が単問で解けるレベルでは少し足りません。融合された模試タイプの問題に対応できるようになっておきましょう。

文系ですが、きちんと点数を確保したいのであれば、入試標準演習の段階までやったほうがいいでしょう。入試問題を通して、難しいタイプのものを、誘導できざんで解いていく練習をする必要があります。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいですね。

以上です^^

 

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(※本サイト内検索(右サイドの一番下)で同志社と検索するとみつけやすいです^^)



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 数と方程式 (第2問)

★ 数学A 集合と場合の数 (第1問(2))

★ 数学A 平面図形 (第2問)(角の二等分線の定理です^^)

★ 数学II 三角関数 (第1問(1))

★ 数学II 指数関数・対数関数 (第3問)

★ 数学II 微分 (第1問(3))

★ 数学B ベクトル (第2問)

★ 数学B 数列 (第3問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)

 

 

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