【後期】神戸大学 理系| 2016年度大学入試数学
2017/03/14
●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)【後期】です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
神戸大学(理系)【後期】です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
神戸大学(理系)【後期】
（試験時間120分、５問、記述式）
１．全体総評
昨年と変化なしです。昨年は前期、後期ともに難しかったですが、今年は前期が穏やかでした。後期は変わらずなので、前期よりは難しいです。
前期同様に数学IIIが2問でした。また、全体的に論証が多いので、答案を書く時間が長くなるセット。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は130分。
2015年：135分
２．合格ライン
第１問は絶対おさえたい。かなり簡単。
第２問はキー問題。接点と端点のギロンをきちんと出来たか。
第３問は原則ががっつり使えます。しっかりおさえる。
第４問はキー問題。ユークリッドの証明という、教科書的なことがらで差がつきそう。
第５問は計算を確実に合わせられたかどうかがカギ。
第１、３は抑え、第５問も慎重に。時間にも余裕があるので、第２、４問も片方は確実に8割以上とりたいです。今年は７０％ぐらい取れそうですね。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【極限＋微分法＋積分法】絶対値付き積分、定積分と数列、極限（B,25分、Lv２）
定積分で表された数列anの極限標準的な空間ベクトルの問題です。（１）は、nがいろんなところに入っていますが、ｎｘ＝ｔとでも置き換えると割と見やすかったかもしれません。f（x）、e^|x| はともにy軸対称なので、それを利用するとさらにすっきりしそうです。部分積分の計算は慎重に。
（２）は、問題文に書いてある不等式を利用します。（１）の答えは何と何の間にはさまれるかを調べます。不等式と（１）の答えをじっと見比べて、「x」に何を代入すればいいかを判断するのが、本問の全てです。指数の部分を見ると、－1/nとわかりますね＾＾
※KATSUYAの解いた感想
関数は折れ線。パルス波的な感じね。（１）は、、、nxを置換したほうがf（x）そのまま使えるな。nも消えるし。部分積分は慎重に計算して終了。（２）は、問題文にもあるし、不等式ではさんではさみうち。多項式部分は後でいくらでも辺々をかけ算して調整できるので、指数を見て判断。ー１／ｎだな。あとは各辺に２n^2をかけて終了。解答時間12分。
☆第２問・・・【図形と式＋式と証明】2円の関係、共有点をもつことの証明（B、25分、Lv.２）
２円が題材となっていますが、実質的には不等式の証明です。（１）では、２円の半径と中心間の距離を持ち出しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.37-38）
（２）では、その不等式が使えます。つまり、（１）の条件に加えて、ｍ，ｎ，ｉ，ｊの大小関係の条件があれば、（１）と同じ不等式が（２）ｉ，ｊでも成り立つことを示せ。ということです。
不等式の証明ですから、当然差をとります＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学II 式と証明 p.20）
結局、ｎｉとｍｊの大小が問題になるということがわかりますが、条件からしてほぼ自明ですね。
※KATSUYAの解いた感想
２円やからd、r１、r２を出せば関係は出せるので、（１）はさくっと終了。（２）は（１）同様に、図形の条件を式に直してみる。結局、かなり単純な不等式になることが分かり、分母はらって引いて終了。割と明らかやな。図形的にも割と明らかな気もするけどな＾＾； 解答時間９分。
☆第３問・・・【数列＋三角関数】抽象的数列と三角関数の和（BC、30分、Lv.２）
一般項が分からない数列ですが、両端が０であることで、Σ計算は始まりや終わりを１ずらせる、というところをポイントにした問題です。
「Σ{k=0～n}k+1」とあれば、「Σ{k=1～n+1}k」と書いても同じという、極めて教科書的な内容をきちんと応用できれば済みますので、良問です＾＾
（１）は上記の通りです。例えば式変形の例として、初項のa_1b_0＝０は、あってもなくても同じですので、k＝１～99→k＝２～99とできます。
（２）は、まず左辺から右辺を引いておくといいでしょう。すると、（１）の数列の左辺、右辺と、それを入れ替えたような式が出てきますので、（１）とほぼ同じです。
（３）は独立した三角関数の問題です。左辺を和積で変形すればOK。和積は係数があってないとできませんので、k＋１とk－１の部分を変形します。
（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.47-50）
（４）は、（３）の結果と（２）の結果を組み合わせます。a_kやb_kは、もちろん（１）や（２）を満たす性質を持つ数列ですので、そのまま代入してみます。すると、（３）が使える部分が見えますので、そこも変形します。使えるのはここまで。まだ左辺と右辺が等しい、ということしか言えていませんが、実はこれを移項することで、与式は０でないと困るということがわかりますので、０です。
本問の難しさは、答案の流れ的に「０になることを証明せよ」という問題の流れですが、「求めよ」となっているので、直接出るのではないかと考えてしまうところにあります。しかし、この手の論証は神戸大の大好きなパターンです。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
抽象数列やから論証やな。なんか途中三角関数も見えるけど。まいいや、まずは（１）kずらしたり減らしたりすればOKかな。途中・・・で和を書き並べてもいいような気もするが＾＾； （２）は、ほとんど同じやん。（１）と同様にじゃダメ・・・か。もう一度同じようなことを書いて終了。（３）は和積でさくっと終了。（４）はとりあえず素直にak、bkを（２）の式にいれ、（３）を利用。で？これはなんだ？等しいことが分かっても値が、、、とりあえず移項してみると因数分解で見えた。「証明せよ」て書かれてないからちょっと戸惑ったな。解答時間22分。
☆第４問・・・【数列＋微分法の応用】不等式の証明、数列の和（BC、30分、Lv.２）
再度、論証問題。不等式の証明と、それを利用してさらに複雑な不等式を証明する問題。（１）と（２）を組み合わせて、（３）に利用できるかどうかがポイントですが、（２）の微分もまあまあ複雑で、計算量は多めです。
微分法で出てくる不等式の証明の基本は、差をとって微分です。
（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.44-47）
（１）はいいでしょう、微分すれば単調増加がわかります。（２）も微分すれば単調減少になるとわかりますが、慎重に計算を行わないとミスをしやすい微分です。
（３）は（１）、（２）をじっと見て、利用方法を考えます。Σ記号が見えますので、和をとるのは間違いないでしょう。しかし他の部分にはΣがありません。Σの計算が完了していると見なせます。公式以外でΣの計算ができるのは、望遠鏡型の場合のみです。
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.23-24）
※望遠鏡型とは、真ん中をシュッと短くしてコンパクトサイズにするイメージと、部分分数分解のときのように、真ん中が一気にキャンセルされる様子を対応させた、私の造語です。
要するに、真ん中が次次と消える形になるような数列の和だということです。対数関数の真数条件や、題意の不等式のΣの部分から見て、１／２ｋが妥当でしょう。実際これにより、他の部分は次々にキャンセルされていきます。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
（１）、（２）は微分するだけやろ。（２）は思ったよりメンドウ。マクローリン展開でも背景にあるんだろうか。とりあえず単調減少にはなったし、一応さらっと見直して終了。（３）は、f（x）やg（x）のどの部分が不等式に対応しているのかを考える。logのところはlogだよな。まあ１個飛ばしの数値なら何入れても、望遠鏡型で消えそう。Σが残っているところは？「１／ｋ」？？２xのところがこれってことかな？じゃあ１／２ｋ入れるしかないけど。でも真数条件的にも、自然数系はダメやし、あってるな。他も計算すると題意の不等式になったので、終了。解答時間21分。
☆第５問・・・【場合の数＋整数】格子点の中点、鳩の巣原理（B、20分、Lv.１）
最後は昨年同様、場合の数ですが、今年は有名題材なので、知っている人は儲けもんの問題でした。格子点は｛奇数、奇数｝｛奇数、偶数｝｛偶数、奇数｝、｛偶数、偶数｝の４グループに分かれることを利用すればOK。
どの２つの中点も格子点とならないように選ぶ方法ですが、５点以上ある場合は、鳩の巣原理により格子点はかならず存在します。２点、３点、４点の場合だけ考えればOK。
これは差がつきそうですね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
鳩の巣原理か。これは知ってるから作業やな。ｍ＝２，３，４のときだけ調べればOKだな。解答時間９分。
４．対策
前期とほぼ同様と考えてOKです。前期のエントリーをご覧下さい。
■他年度の、本大学の入試数学■
＞＞ 2014年度
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 集合と場合の数 (第２問)
★ 数学A 整数 (第５問)
★ 数学II 図形と式 (第２問)
★ 数学II 三角関数 (第３問)
★ 数学B 数列 (第３問)
★ 数学III 微分法の応用 (第４問)
★ 数学III 積分法の応用 (第１問)
