東京大学 文系 | 2016年大学入試数学

      2017/02/23

●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回東京大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
東京大学(文系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。

また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東京大学(文系)
(試験時間100分、4問、記述式)

 

1.全体総評

昨年より易化。2015年の正答率が悪かったのでしょうか。結構簡単になっています。理系と共通の確率を除けば、割と手のつけやすい問題がそろっています。分野もお決まりの図形、確率、微積、整数です。なお、確率は今年のKO薬学部と全く同じネタ。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は100分。
2015年:130分
2014年:95分
2013年:120分
2012年:100分
2011年:95分
2010年:95分

2013年から難、易を繰り返していますね。

2.合格ライン

第1問は典型的とは言い難いが、どの解法でもたどり着きそう。
第2問はキー問題。実は配列がかなり限られていることに(1)で気づきたい。
第3問は典型問題で落とせません。
第4問は誘導過多で、これも解けそうです。



65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【図形と式など】鋭角三角形の条件、領域図示(B,20分、Lv2)

3点座標からなる三角形が鋭角三角形になる条件です。鋭角という条件を式にする方法が思いつけば、どの解法でもOKです。ベクトルの内積正、余弦定理のcos>0などです。内積が最も計算が楽ですかね。

※KATSUYAの解いた感想
三角比の、2乗の和>他の2乗 を3つやればいいってことね。領域の境界だといずれかの円の直径になるので、直角三角形になることを検算にして終了。解答時間9分。

☆第2問・・・【確率+数列】巴戦の確率、等比数列の和(B、35分、Lv.2)

理系とほぼ共通です。理系のエントリーをご覧下さい。KO薬学部と完全に同じネタですが、東大文系を受験する人がKO薬学部を受験するとは思えませんので、みんな同じスタートラインですね。

(1)は5回という制限があると、実は並び方が1とおりしかありません。Aが待機中に、どちらが勝ってもいいわけではありません。直前でAに勝った相手が負けなければいけませんので、全部1/2です。

(2)、(3)は(1)をやる課程で、「勝ち・負け・休憩」を間にいれ続けるだけだと気づきたい。(3)はただの等比数列の和です。理系は「最後の対戦相手がBである条件付き確率」でしたが、大した違いはありません。

※KATSUYAの解いた感想
理系とほぼ同じのため、解いていません。

☆第3問・・・【微積分総合】接する放物線、面積の最大値(B、20分、Lv.2)

典型的な微積分総合で、東大の問題とは思えないレベルです。(1)は、2つの放物線が接する条件です。曲線が「接する」という定義を記しておいたほうがいいような気もしますが、そのままヒントになっちゃうので省略したんでしょう^^;

接点における傾きが一致する、ということになります。すなわち、yもy’も、x=ー1で等しいということですね^^

(2)、(3)は典型的な「6分の公式」です。東大文系は意外と、このめちゃくちゃ有名な計算が好きですね^^;割と見ます。

交点は「t」の式です。√の中が常に正とは限りませんので、それ以外の範囲のときは「ゼロ」と明記しておく必要があります。あとは6分の公式ですね^^

Principle Piece II-112

放物線と放物線なら6分の公式で

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.29)

 

Principle Piece II-114

交点が定数入り→α、βとおいて6分の公式へ

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.31-32)

 

(3)は判別式のところを平方完成するだけです。4STEPにもありそうな問題ですね^^;

※KATSUYAの解いた感想
これは典型問題だわ。大学名なかったら、東大とは思わんやろな。原則に従い、さくっと終了。解答時間7分。

☆第4問・・・【整数+数列】余りの数列、数列を10で割った余り(B、25分、Lv.2)

最後は整数です。3のn乗を10で割った余り(1の位のことです)と、4で割った余りを聞いています。それを両方利用して(3)に行く、というものですが、(1)と(2)が両方あるので、(3)の難易度が大きく下がっています。

(1)は、結果のみなので、知っている人もいたでしょう。3、9、7、1・・・です。これぐらいなら帰納法させてもいいのでは^^;

指数にnが入っている場合は、合同式の利用が便利です。新課程では堂々と使えます^^

Principle Piece A-58

●のn乗の余り 合同式で±1になるものを見つける

(拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.31)


(2)の方は証明がいるそうですが、3、1の繰り返しなのでかなりラク。

(3)は(2)と(1)を利用します。x_10を10で割った余りは、x_9を4で割ったときにいくつ余るかが分かればOKです((1)利用)。そのためには、x_8が奇数が偶数か分かればいいということです((2)利用)。x_nはすべて奇数なので、x_9は4で割って3余る、x_10は10で割って7余る、ということになります。

なお、x_nを10で割ったあまりは、途中からずっと7です。


※KATSUYAの解いた感想
こっちの方が整数問題っぽいけど、ちょっと簡単かな。(1)か(2)、どっちかない方が適度に難しい気がする。解答時間9分。

 

4.対策

下のリンク(過去のエントリー)をご覧下さい。非常に質の高い問題ですが、確率、整数、微積、図形はほぼ確実なので、実は対策が取りやすい大学でもあります。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 三角比 (第1問)

★ 数学A 集合と場合の数 (第1問)

★ 数学A 確率 (第2問)

★  数学A 整数 (第4問)

★  数学II 図形と式 (第1問)

★ 数学II 微分 (第3問)

★ 数学II 積分 (第4問)

★ 数学B 数列 (第2問、第4問)

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