北海道大学 文系 | 2016年度大学入試数学

      2017/02/25

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(文系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(文系)
(試験時間90分、4問、記述式)

1.全体総評~理系同様に質が上がり、微難化~

難易度は微難化。理系同様、時間的にはそこまで変化がないのですが、どの問題も質が上がっていて、中途半端な演習量では手がつけづらいセット。確率の代わりに整数が入り、こちらも対策してないと難しく感じる。



試験時間90分に対し、
標準回答時間は90分。適量です。
2015年:95分
2014年:100分

北大文系は、量が試験時間前後で安定しています。

 

2.合格ライン

第1問、第2問は計算だけなので、多少時間をかけてもなんとか押し切りたい。
第3問、第4問はどちらも完答するのは、少し厳しい。特に整数は経験が少ないかもしれないので、第3問で(1)、(2)まで確保し、残り時間で考えて。第4問が思い浮かべばラッキー。従って、第1問と第2問で正確に計算できることがキーと言えそう。



60%強ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【微分+方程式】3次関数、等式の証明(B,20分、Lv2)

3次関数の変曲点を題材にした問題です。九大文系でも変曲点ネタがありましたが、コツコツ計算すれば出るパターンが多いです。3次曲線の接線が平行なとき、接点同士を結ぶと変曲点になる、ということです。証明自体はひたすら計算するだけで、その際に(2)の条件(s+t=・・・)だけは用いていきます。s^3+t^3などの対称式は、和と積で表していきましょう^^ stは分かりませんので、残してOK。

Principle Piece I-13

x,yの対称式はx+y、xyで表す

(拙著シリーズ(白) 数学I 数と方程式 p.28)

 

※KATSUYAの解いた感想
変曲点ネタね。事実が分かっているので、計算は精神的にはラク。対称式は和しかわからないから、(3)はf(s)+f(t)÷2とf(s+t/2)をコツコツ計算すればいい。stは残して問題ないな。解答時間9分。

第2問・・・【2次関数+積分】絶対値付き2次関数のグラフ、定積分計算(B、25、Lv.1)

絶対値付き2次関数のグラフですが、絶対値の中身の符号が割とめまぐるしく変わるので、場合分けが多め。ただそれだけで、基本的には場合分けしてグラフをつなげて書くだけです。(2)は、境目ごとに被積分関数を変えるだけです。計算だけが多い問題です。

※KATSUYAの解いた感想
こんだけグラフかかせて、ただ定積分もとめるだけ?接線引いたりとかもしないのね。ホンマに計算だけやん。ひたすら作業でちょっと微妙。解答時間13分。

☆第3問・・・【三角比+三角関数+平面ベクトル】正弦定理、倍角、外心ベクトル(B、25分、Lv.2)

三角形を題材とした図形の総合問題です。(1)、(2)で三角比と三角関数を用いて三角形を決定し、(3)で外心を出します。

(1)は正弦定理です。値からして75°か105°なのは見え見えですが、倍角を出して(2)で求めさせたいようです。

メインは(3)。外心ベクトルはこちらの原則で出しましょう。

Principle Piece B-38

外心のベクトル→ 2つの垂直二等分線の交点であることを式にする

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.36-38)


基点が変わっても、上のように覚えておけば大丈夫です。本問であれば、ABの中点Mについて、OM⊥AB,同様にON⊥AC、OL⊥BCなどを条件にします。最初のは成り立っているので、後半2つでs、tを出せばOKですね^^

平面ベクトルで必要なものは、2つの基本ベクトルの長さと内積です。OA,OBはともに外接円の半径、なす角が∠ACBの倍です。

 

Principle Piece B-28

2ベクトル問題 → 2つの大きさと内積を求めれば全て求まる

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.22-24)

※KATSUYAの解いた感想
三角比?(3)見るとベクトルっぽい。最初は正弦。75°系やな。倍角から誘導させている。(2)は全て?あそうか、105°があるのね。(3)は鋭角やから、やっぱ75°。3つの角がわかったから、OA,OBは長さ(半径)も内積もわかる。外心条件を式にして終了。 解答時間12分。

☆第4問・・・【整数】式が整数になる条件(BC、20分、Lv.2)

標準的な整数問題ですが、練習問題としては良問。やり慣れている人には少し簡単かもしれません。

分母は2次式だから、そんなに値が大きくはなれないことに気づけば、絞って全調査に行きつくでしょう。

(1)では、分子分母をxで割って相加・相乗を用いるか、=kとおいて実数解条件でもOKです。前者は(1次)/(2次) ではよく使われます。

Principle Piece II-8

相加・相乗は(2次)/(1次)またはその逆数で使える

(拙著シリーズ(原則のみ) 数学IIB )


(1)は結局1x=1,2しかないと分かります。(2)も、y=1のときは(1)のときだけで、yが2以上だと、1/2以上でないとダメです。それでも、x=3、4、5しかありません。絞る練習にはちょうどいい問題でした。


※KATSUYAの解いた感想
分母2次しきやからそんなに候補ない、と最初に判断。(1)は相加相乗、(2)はy=2以上なら1/2以上やから、結局そんなにないかな。感覚が鋭い人にはどうってことない問題やけど、慣れてないと意外とできない? 解答時間8分。

 

4.対策

微積分、数列、ベクトルを中心に、Bレベルの問題を演習しましょう。融合問題は出ますが、考え込むような問題はありませんので、あまり難しいものにこだわらず、効率的な演習をしましょう。チャートは青チャートまたは黄チャートでも大丈夫でしょう。その後、入試基礎演習レベルまで一通り行った後は、過去問に接続しましょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=10:0でOK。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第2問)

★ 数学Ⅰ 三角比 (第3問)

★ 数学A 整数 (第4問)

★ 数学II 微分 (第1問)

★ 数学II 積分 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

 

 

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