北海道大学文系 | 2016年度大学入試数学

2016/02/27 2017/02/25

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

北海道大学（文系）
（試験時間90分、4問、記述式）

１．全体総評～理系同様に質が上がり、微難化～

難易度は微難化。理系同様、時間的にはそこまで変化がないのですが、どの問題も質が上がっていて、中途半端な演習量では手がつけづらいセット。確率の代わりに整数が入り、こちらも対策してないと難しく感じる。

試験時間90分に対し、
標準回答時間は90分。適量です。
2015年：95分
2014年：100分

北大文系は、量が試験時間前後で安定しています。

２．合格ライン

第１問、第２問は計算だけなので、多少時間をかけてもなんとか押し切りたい。
第３問、第４問はどちらも完答するのは、少し厳しい。特に整数は経験が少ないかもしれないので、第３問で（１）、（２）まで確保し、残り時間で考えて。第４問が思い浮かべばラッキー。従って、第１問と第２問で正確に計算できることがキーと言えそう。

６０％強ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問・・・【微分＋方程式】3次関数、等式の証明（B,20分、Lv２）

３次関数の変曲点を題材にした問題です。九大文系でも変曲点ネタがありましたが、コツコツ計算すれば出るパターンが多いです。３次曲線の接線が平行なとき、接点同士を結ぶと変曲点になる、ということです。証明自体はひたすら計算するだけで、その際に（２）の条件（s＋t＝・・・）だけは用いていきます。s^3+t^3などの対称式は、和と積で表していきましょう＾＾　stは分かりませんので、残してOK。

Principle Piece I-13

x,yの対称式はx+y、xyで表す

（拙著シリーズ(白) 数学I 数と方程式 p.28）

※KATSUYAの解いた感想
変曲点ネタね。事実が分かっているので、計算は精神的にはラク。対称式は和しかわからないから、（３）はf（s）＋f（t）÷２とｆ（ｓ＋ｔ/２）をコツコツ計算すればいい。stは残して問題ないな。解答時間９分。

第２問・・・【２次関数＋積分】絶対値付き２次関数のグラフ、定積分計算（B、25、Lv.１）

絶対値付き２次関数のグラフですが、絶対値の中身の符号が割とめまぐるしく変わるので、場合分けが多め。ただそれだけで、基本的には場合分けしてグラフをつなげて書くだけです。（２）は、境目ごとに被積分関数を変えるだけです。計算だけが多い問題です。

※KATSUYAの解いた感想
こんだけグラフかかせて、ただ定積分もとめるだけ？接線引いたりとかもしないのね。ホンマに計算だけやん。ひたすら作業でちょっと微妙。解答時間１３分。

☆第３問・・・【三角比＋三角関数＋平面ベクトル】正弦定理、倍角、外心ベクトル（B、２５分、Lv.２）

三角形を題材とした図形の総合問題です。（１）、（２）で三角比と三角関数を用いて三角形を決定し、（３）で外心を出します。

（１）は正弦定理です。値からして75°か105°なのは見え見えですが、倍角を出して（２）で求めさせたいようです。

メインは（３）。外心ベクトルはこちらの原則で出しましょう。

Principle Piece B-38

外心のベクトル→ ２つの垂直二等分線の交点であることを式にする

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.36-38）

基点が変わっても、上のように覚えておけば大丈夫です。本問であれば、ABの中点Mについて、OM⊥AB,同様にON⊥AC、OL⊥BCなどを条件にします。最初のは成り立っているので、後半２つでs、tを出せばOKですね＾＾

平面ベクトルで必要なものは、２つの基本ベクトルの長さと内積です。OA,OBはともに外接円の半径、なす角が∠ACBの倍です。

Principle Piece B-28

2ベクトル問題 → ２つの大きさと内積を求めれば全て求まる

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.22-24）

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
三角比？（３）見るとベクトルっぽい。最初は正弦。75°系やな。倍角から誘導させている。（２）は全て？あそうか、105°があるのね。（３）は鋭角やから、やっぱ75°。３つの角がわかったから、OA,OBは長さ（半径）も内積もわかる。外心条件を式にして終了。　解答時間12分。

☆第４問・・・【整数】式が整数になる条件（BC、20分、Lv.２）

標準的な整数問題ですが、練習問題としては良問。やり慣れている人には少し簡単かもしれません。

分母は２次式だから、そんなに値が大きくはなれないことに気づけば、絞って全調査に行きつくでしょう。

（１）では、分子分母をxで割って相加・相乗を用いるか、＝kとおいて実数解条件でもOKです。前者は（１次）／（２次）　ではよく使われます。

Principle Piece II-8

相加・相乗は(2次)/(1次)またはその逆数で使える

（拙著シリーズ(原則のみ) 数学IIB ）

（１）は結局１ｘ＝１，２しかないと分かります。（２）も、y＝１のときは（１）のときだけで、yが２以上だと、１／２以上でないとダメです。それでも、x＝３、４、５しかありません。絞る練習にはちょうどいい問題でした。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
分母２次しきやからそんなに候補ない、と最初に判断。（１）は相加相乗、（２）はy＝２以上なら１／２以上やから、結局そんなにないかな。感覚が鋭い人にはどうってことない問題やけど、慣れてないと意外とできない？　解答時間８分。

４．対策

微積分、数列、ベクトルを中心に、Bレベルの問題を演習しましょう。融合問題は出ますが、考え込むような問題はありませんので、あまり難しいものにこだわらず、効率的な演習をしましょう。チャートは青チャートまたは黄チャートでも大丈夫でしょう。その後、入試基礎演習レベルまで一通り行った後は、過去問に接続しましょう。