横浜国立大学 理系| 2016年度大学入試数学

      2017/03/04

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は横浜国立大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
横浜国立大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





横浜国立大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

 

1.全体総評~標準レベルが並び昨年より易化~

難易度は、昨年より易化。第5問を除けば標準的で、かつ計算量もそこそこ、という感じのセット、数III重視の配置は変わらずで、本学受験者には、うまくハマっていたのではないでしょうか。共通問題は両方とも数学Bで、確率はなし。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は137分。昨年よりかなり短く、ここ数年では最も易しいと思います。
2015年:180分
2014年:145分
2012年:150分

 

2.合格ライン

第1問は普段よりラク。両方欲しい。
第2問の数列は一番簡単。かならず確保。
第3問は確保したいといいたいが、芋づる式なのでキー問題
第4問もキー問題。共通接線の扱いがクリアできれば、最後まで行ける。

第5問は2次曲線なので演習量が少ないときついか。(1)は欲しいが、準円も練習してないと難しい。(2)は捨ててもいい。

第1、2、3か4を取りたい。残り時間で第5問の(1)か、3か4に手を付ける。65強%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問(1)・・・【微分】単調減少の証明(B,10分、Lv1)

横国名物の、第1問の微積計算です。最初は微分。単調減少の証明なので、f’(x)<0を証明しろ、ということです。ですので、f’(x)をもう一度微分して増減を調べればOKです^^ 1階微分し、もう一度微分することで様子を調べるパターンですね。

 

Principle Piece III-39

微分して分からなければもういっかい微分してみる

(拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.41-42)

※KATSUYAの解いた感想
最初はやっぱ微積か。でも、ただの計算よりはちょっと重い感じのもの。解答時間6分。

 

☆第1問(2)・・・【積分法】区分求積法、置換積分(AB,12分、Lv1)

(2)は積分で、こちらはほぼ計算問題。ですが、こちらもただの計算問題+αの積分計算です。まずは区分求積に気づきましょう。

区分求積では、以下の手順を守れば必ず積分の形に出来ます。積分の形ができたら計算するだけです。三角関数の角度はx+● の形なので、=uで置換すると見やすいでしょう。(置換しなくても出来ます。)

 

Principle Piece III-66

区分求積法の解き方
[1] 1/nを前に出す
[2] k/n を強引に作り出す

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.63-64)

※KATSUYAの解いた感想
横国の、この絶妙な難易度の微積、結構おもしろいな^^解答時間4分。

第2問・・・【数列】漸化式(B、20分、Lv.2)

文理共通の漸化式の問題です。条件式が和の形をしているときは、nを1つ上げて(下げて)辺々を引き算すると見えることが多いです。これに気づけば、あとはただの隣接3項間です。

3項間漸化式の解き方は、本学受験者であれば大丈夫ですよね^^

Principle Piece B-17

隣接3項間漸化式
→特性方程式で等比型を2つ作る

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.39-44)

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)は計算するだけ。予測系?でも数値からは予想できないし、(2)があるから違うな。nを1つ上げて差をとる。an>0がいるな。帰納法で示しておき、終了。(3)はただの3項間なので瞬殺。解答時間10分。

第3問・・・【空間ベクトル】直線と平面の交点、面積比、体積比(B、25分、Lv.2)

空間ベクトルの標準的な問題です。内積計算等はなく、内分比を面積比、体積比に応用させていきます。

(1)はこちらの原則です。

Principle Piece B-50

直線と平面の交点1
→ 「実数倍」と「係数の和が1」を利用

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.69)


O、Q、Pは一直線上にあります。基点のOが入っていると実数倍が使えて楽です。あとは、OA,OD,OEに直したときの係数の和が1であればOK。

(2)はADEだけの話なので、今度は基点をAとし、ABをAD、AEで表すことを考えましょう。分母が11、分子の係数の和が5なので、5/11を前にかけて調整しましょう。

(3)は高さの比がOP:PQ、面積比が(2)です。難しくはないですが、芋づる式のため、本問は差が付くと思われます。

※KATSUYAの解いた感想
空間ベクトルで、、、内積はなし。面積「比」や体積「比」やから、係数だけで勝負するのね。(1)あ原則に従いさくっと終了、(2)はAを起点になおす。この式変形は意外と慣れてないと無理か。(3)は(2)プラスαなだけ。解答時間11分。

☆第4問・・・【微分法の応用】接線の本数(B、25分、Lv.2)

接線の本数の問題ですが、両方に接する接線ということで、少しひねってあります。しかし、そのひねられた所は、原則によってすぐにかき消すことが出来ます^^

接するときには、とにかく接点をおきます。そうでないと、接線の公式が使えません。円、楕円などの2次曲線でもそうですし、微分を使った接線でもそうです。

Principle Piece II-37

「通る」よりも「接する」に着目する

(拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.26-28)


接点を「t」とおきます。このtの解の個数が、接線の本数になります。「t」に関する条件式ですが、C1における接線と連立して、判別式D=0がいいでしょう。順番を逆にすると判別式が使えないので不利。

定数「a」を視覚化すれば、簡単にわかりますね^^ ∞での様子は、問題文を利用しましょう。

 

Principle Piece II-103

解の個数を調べるときは、定数分離

(拙著シリーズ(白) 数学II 微分法 p.4-5)

 

※KATSUYAの解いた感想
共通接線の本数なら、原則使い放題^^ どっちで接点をおくかな。先にC1で接線つくっておけば、判別式いけるからC1から。「a」は簡単に定数分離できる。問題文の式も使える形になるので、確信あり。あとは微分してグラフ書いて視覚化。解答時間13分。

☆第5問・・・【2次曲線】楕円の準円に内接する長方形の面積(BC、45分、Lv.2、☆のおすすめは(1)だけ)

準円を題材とした問題で、(1)は、青チャートなどで意識的に勉強している人にとっては、ただの作業問題ですが、(2)は計算が煩雑すぎて、こちら最後までたどり着くのはかなつらいです。

準円については、拙著でもかなり大きく取り上げています(拙著シリーズ(白) 2次曲線 p23-24)。数値的には、拙著の問題よりラクです。

(2)はつらい。問題文の座標が(2、1)なのはすぐにわかりますが、傾きが綺麗な数値ではなく、残りの座標は計算が面倒。それでもまともに出しすしかありません。縦と横の長さは、傾きとx座標の差で出すのがラクですが、途中で2重根号も入ります(最後は消えます)し、道半ばで挫折する可能性が高そうdすね^^;

 


※KATSUYAの解いた感想
準円は作業やな。計算は慎重にやらんと、どっかで間違う・・・ほら間違えた^^; 準円にならんし。符号がどっか逆やな。見つけて修正。(2)は、なんかうまい方法でもあるんかな。傾きとtanを結びつけてみたりするも、かならず2重根号が出るので、「これはまともにやれってことだな」と覚悟を決めて交点を出し、コツコツ計算。途中の数字もでかいし、これはツライ計算だわ。試験場では誰も合わないだろ。解答時間29分。

 

4.対策

横国は数学IIIの割合が高く、文理共通問題以外は全てIIIの問題です。しかし、第4問や第5問を見ればわかるとおり、使う知識は数学I,IIも多く入ってきます。IIIを早めに習得し、I,IIの知識も必要な微積総合問題をしっかり演習すれば、6割はとれそうです。

文理共通問題は数Bか数A(確率)が筆頭候補となりますので、こちらの演習も行いましょう。チャートで進めるなら、青です。IIIまで全部やっておけば、かなりラク^^

原則習得はしっかりと行い、入試基礎レベル入試標準レベルまでは行いたいです。8割以上を目指したいのであれば、仕上げレベルまで欲しい。

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2010年度

>> 2011年度

>> 2012年度

>> 2014年度

>> 2015年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学II 図形と式 (第5問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問、第4問)

★ 数学III 積分法 (第1問)

★ 数学III 式と曲線 (第5問)

こうやってみると、今年のの出題範囲は相当偏ってますね^^;

 

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