金沢大学 理系| 2017年度大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は金沢大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2017年大学入試(国公立)シリーズ。
金沢大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





金沢大学(理系)
(全4問、記述式、120分)

1.全体総評~例年通り数III色が濃い。昨年より計算量が増えて微難化~

昨年より微難化です。全問題が数学IIIで、「旧数III」にはない式と曲線、複素数平面から今年も両方出ました。残りは微積、数列の極限となっており、完全に数学IIIの試験となっています。問題自体は融合問題ですが、方針にあまり迷わないモノの方が多いため、実力差は反映されやすいでしょう。

制限時間120分に対し、目標解答時間は105分で、昨年から15分増加です。見直しの時間まではなさそうです。

2016年:90分

2015年:120分



2.合格ライン

第1問は比較的易しめなので、これは絶対おさえる。
第2問も(1)は楽勝です。(2)の軌跡は範囲にまで言及できたかどうか。概形までは欲しい。
第3問はキー問題。(1)(2)まではただの2次関数の問題に帰着。(3)だけが積分です。方針を誤るとかなりきつい。

第4問は(1)(2)は変形するだけなのでなんとかなる。(3)はキー問題。予想はつくだろうが、きちんと答案をかけたかどうかで分かれる。

1番完答で2番7割、4番(2)までで2完全強。第3問で方針を間違えなければ合格でしょう。65%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

第1問・・・【複素数平面】方程式の複素数解、一直線上の証明(AB,15分、Lv1)

今年の複素数平面はかなり楽で、教科書レベルです。

z^6=-27 として、両方とも極形式の形にしましょう。絶対値はすぐにわかります、偏角は2kπの差であればOKなので、そこを忘れずに。

 

 

Principle Piece III-102

極形式における「=」 → 偏角は「+2kπ」を忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.24)


(2)は(1)が出れば、3点とも具体的に点がわかります。一直線上なので、実数条件に持ち込めばOKです。

Principle Piece III-106 

 一直線上 → 実数条件に持ち込む

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.40)

 

 

※KATSUYAの解いた感想
複素数平面か。問第を見わたす。いや、これは簡単かな。(1)で6個解だして(2)で計算して実数倍を確かめろってだけやからな。極形式で比べて6個出し、そのまま(2)を計算して終了。今年は簡単すぎるな。解答時間7分。

 

第2問・・・【式と曲線】条件を満たす点の軌跡(B、30分、Lv.2)

放物線上の点からいろいろ操作して、交点の軌跡を求める問題です。(1)の交点自体はすぐに出せるかと思います。分母が0にならないことは常に確かめておきましょう。

(2)では、まず軌跡が通る点から、「a」の値を特定したほうがいいでしょう。「a」と「t」の連立になりますが。「t」は変数なので、その値が答えになるわけではありません。(正になっていることは確認すること)

その状態で、u,vの点を見て「t」を消去しよう、という問題です。分数式パラメーター表示の解法については、拙著シリーズではかなり大きく取り上げています。3つの解法があります。

Principle Piece III-87

 分数式パラメーターの解法

 [1] t、t^2をx、yで表して消去する

 [2] t=tanθ とおく 

 [3] とりあえず2乗して足して見る  

(拙著シリーズ(白) 数学III 式と曲線 p.35)

今回は「t」が正という条件が加わっていることに加え、(結果論ですが)軌跡が楕円です。従って、[3]の方法では厳しく、かつそのうちどこを動くかを特定するのが難しいです。[1]か[2]がいいでしょう。

※KATSUYAの解いた感想
(1)は交点出すだけやな。(2)は、軌跡が通る点があるから、とりあえず「a」を決めよう。改めてQの座標を見る。楕円っぽいな。「t>0」の条件もあるので、t=tanθでおいて計算し、楕円の左側と出る。図形的にもあってそうやな。解答時間12分。

第3問・・・【三角関数+積分法の応用】2曲線の共有点条件、面積(B、30分、Lv.2)

2つの三角関数について、グラフの共有点が2つになる条件を求める問題です。(1)や(2)を見ると数III微分法の問題に思いがちですが、sinxとcos^2x という2つしかないので、sin x の2次式と見る方が計算はすっきりします。

ここで方針を誤ると、(1)と(2)でかなり苦戦するでしょう。

(1)はf(x)ーg(x)がsinxの2次関数となります。いわゆる軸の位置である sinx=a/4 は、aの範囲によって0~1の間に入っているとわかりますので、最小値は場合分けをすることなく特定できます。

(2)も、(1)を利用しましょう。sinxとしての解の個数が1個のときに、xは2つ存在することになります。従って、(1)だ出した範囲のうち、等号が成り立つものだけが採用されることがわかります。ただし、2√2より大きいときには2点で交わることがわかりますが、それが両方0~1の範囲であることを確かめる必要がありますので、その議論がややメンドウ。グラフの凸性などを考えると、4点で交わることは明らかとしていいような気もしますが、、、

なお、2つのグラフは単純な三角関数のため、微分して増減表をかくなどというのは大げさです。数学IIで習う程度の三角関数ですので、平行移動と拡大・縮小で十分かけます。

(3)は(2)までできていれば積分するだけです。

 

※KATSUYAの解いた感想
三角関数2つ。(1)は不等式やし(2)で概形、(3)で面積か。微分する?でも置き換え可能やし、グラフも別に微分せんでも書けるし、sinで置き換えよう。必要なときはやればいいかな。 と考え、上記の方針で行う。これ微分してたら結構辛かったかも。意外と方針を誤るかもしれない。 解答時間17分。

☆第4問・・・【数列+極限】一般項不明の数列の漸化式、極限(B、30分、Lv.2)

最後は数列と極限で、一般項を求めるのは難しいタイプで、極限を求めます。誘導はある程度ありますが、(2)から(3)へのつなぎがわかりづらいかもしれません。

(1)はnに関する証明ですので、帰納法がいいでしょう。

Principle Piece B-23

 nに関する証明 帰納法が有効

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57)

(2)はbn+1=の形にして、anの漸化式を利用すればすぐにわかります。ここから、bnの一般項を出すことができます。bnの漸化式は掛け算型なので、logをとれば等比型になり、一般項が出せます。

Principle Piece B-22

 掛け算型漸化式はlog をとって置き換え

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.48-49)

logbnは-∞になりますので(底は自然対数でとってます)、bnは0に収束します。ここからa_nの極限を出しますが、直ちに結論を出すと引かれます(感覚的には√7とわかります)。 (2)の置き換えの式から、anをbnの式で表してからlim をとると出来ます。 後半は、anー√7=bn(an+√7)とすれば、すぐにbnの部分だけが項にきいてくるとわかるでしょう。

※KATSUYAの解いた感想
最後まで数IIIか。全問に数IIIが入ったか。(1)は帰納法と相加相乗で瞬殺。(2)も式変形なのでさくっと。この漸化式はlogをとるのね。(3)はとりあえずbnが0に収束することを言いたいので、(2)を利用する。それからは上記方針で計算して終了。解答時間13分。

 

4.対策~数学IIIを中心に演習を。難問奇問は必要なし~

金沢大の理系は数学IIIの割合が非常に高いので、しっかり演習しておきましょう。「複素数平面」「式と曲線」も頻出の傾向があります。

極端な難問は出ませんが、理系らしいめんどくささ(場合分けなど)を含む問題が多いので、理系用の問題集で練習を積むといいでしょう。チャートは青チャートレベルでいいと思います。最終的には入試標準演習まで行い、過去問に接続するといいでしょう。

金沢大も、単科長年タイプのものがあります。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2015年度

>> 2016年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学II 三角関数 (第3問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学III 極限 (第4問)

★ 数学III 積分法の応用 (第3問)

★ 数学III 複素数平面 (第1問)

★ 数学III 式と曲線 (第2問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)

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