首都大学東京理系| 2017年度大学入試数学

2017/03/06 2017/10/08

●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は首都大学東京(理系共通)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１７年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１７年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
首都大学東京(理系共通)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

首都大学東京(理系共通)
（試験時間75分、３問、記述式）

１．全体総評～３問とも数学IIIから出題、うち２題が微積～

難易度は変化なし。今年は微分法の応用、複素数平面、微積分という構成で、数学IIIに偏っています。そのため計算量は多く、時間がかかるセットになっています。問題自体はどれも取り組みやすいので、全体として昨年並みです。

試験時間75分に対し、
標準回答時間は80分。

2016年：70分
2015年：70分
2014年：75分

２．合格ライン

どの問題も典型的なので時間があれば抑えられるはずです。数学IIIばかりですが、微積は毎年出るので対策済みと想定し、３問中２問は欲しいところ。数学では７割がボーダーといったところでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【微分法の応用&極限＋数列】不等式の証明、帰納法、最大値、変曲点（B,25分、Lv２）

e^xに関する不等式から極限を求める問題で、普段は断りなしに用いることの多い極限を証明する問題です。非常に典型的で、経験済みでしょう。

（１）はnに関する証明ですから、帰納法です。

Principle Piece B-22

nに関する証明であれば数学的帰納法

（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57）

e^xやsinxなどの有名な不等式は、流れ自体を抑えておけば手が止まることなく進められるでしょう。

Principle Piece B-22

e^x型の不等式証明　微分を繰り返して帰納法と融合

（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.45-47）

（２）は（１）を用いればただちに証明できます。（３）は微分を２回行うだけです。第２次導関数は少し慎重になりましょう。

※KATSUYAの解いた感想
e^xの有名不等式はパターンなので原則通り行う。（２）は（１）で終わり。（３）も微分するだけ。変曲点の座標はちょっと汚いが、、、まあ合ってると判断。解答時間１１分。

第２問・・・【複素数平面】複素数平面と図形、証明（B、30分、Lv.２）

複素数平面を利用して、図形の証明を行うものです。具体的に点が与えられているんで、計算しやすいかもしれませんし、α、βのままのほうがいい人もいるかもしれません（笑）

正三角形、直角二等辺三角形、正方形は、複素数平面の回転が使える典型的な形です。

Principle Piece III-117

正方形、直角二等辺三角形、正三角形を作っていくなら、複素数で

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.60-62-49）

本問は複素数平面上に置いてありますので、わかりやすいです。正三角形については、±６０°回転を用いましょう。（２）は、交点です。xy座標に直してしまって直線の交点と見なしてもいいですし、複素数ごとベクトル表記し、ベクトルの交点として出してもOK。どちらにしても連立方程式を解くことになります。

（３）はベクトル的に、実数倍を証明すればOKですね＾＾

※KATSUYAの解いた感想
正三角形作るパターンか。数値与えられているから具体的に計算していけばいいな。原則通り回転を使ってL,M,Nを出す。（２）、（３）はともにベクトルを使って終了。ベクトルの係数連立でミスをし、一直線上にならず修正。ロスして解答時間１５分。

☆第３問・・・【微積分総合】絶対値付き定積分関数の最大値・最小値（B、30分、Lv.２）

最後はまた微積で、絶対値付き定積分関数です。xの範囲は限定されているので、場合分けの必要はなくて済みます。（１）（２）ともに絶対値付き定積分の計算です。こちらの原則でしっかり絶対値を外しましょう。

Principle Piece II-115

絶対値付き定積分 [1] 中身＝０　[2] 積分区間を比較する

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.17-21）

（２）ですが、|sin πt|は周期が１であることからも、定数になることは予想が付きます。（３）は（１）と（２）の結果をわせて微分して増減表です。うまくまとめないときれいにならないので、処理能力はある程度要求されています。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
最後は微積か。てか、数学IIIばっかりやな。０≦x≦１の場合に限定なのが救い。絶対値を外して積分。先に不定積分を出しておいたほうが楽かな。（２）は定数になる。いいんかな。周期を考えると当たり前か。（３）は微分して増減表。今年は最後まで考えるところがほとんどなかったな。　解答時間１３分。