北海道大学 理系 | 2018年度大学入試数学

   

●2018年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2018年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2018年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~微難化だが全体的に計算量が多い~

題材的には手を付けやすい問題が多く、微難化の印象ですが、分量の多いセットです。第1問や第3問などがいい例で、やることは単純ですが作業量の多い問題が並びます。数IIIからは2題、残りはベクトル、確率、図形とかなりバランスがいいセットと言えそう。複素数平面は今年も登場。




試験時間120分に対し、
標準回答時間は130分。昨年より増えましたが、これで平均ぐらいみたいです。北大は時間が一定のレンジに収まっています。

過去4年間平均:125分

2017年:110分

2016年:135分

2015年:125分

2014年:130分

2.合格ライン

第1問はただの計算問題なのでかっちり合わせたい、。

第2問は(1)は典型パターン。(2)も結局は式の処理力勝負となるが、差が出そう。

第3問は条件付き確率。区別して数えないとミスする。簡単そうに見えるが、キー問題。

第4問は(1)は取れる。(2)が考えづらいか。

第5問は(2)の証明がキー問題。(3)は(2)を受け入れれば計算は可能。



第1問は押さえる。残り第2問~第5問の(1)を取り、どれか2問が完答出来れば余裕で、1問でもボーダーでしょう。55%~60%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【空間ベクトル】内積、長さ、なす角など(AB,15分、Lv.1)

4点の座標が与えられてたベクトルの問題ですが、成分・内積・大きさの計算をひたすらするだけです。

(1)はいいでしょう。(2)は内積の式に持ち込みます。(3)も2乗するだけです。s、tの2変数2次関数ですが、別々に平方完成できてしまう(stの項が存在しないので)ため、全然難しくはありません。

原則を使うまでもない問題でした。

※KATSUYAの解答時間8分。時間だけかかりそうなただの計算で面白くない。

 

☆第2問・・・【複素数平面】実数条件、等式を満たす実数の範囲(B、30分、Lv.2)

複素数の式が実数になる条件を求める問題。

(1)は北大でも出てますし、超頻出問題です。実数条件と言われたら、こちらの活用ですね。

Principle Piece III-94

 実数、純虚数条件の問題 即座に共役条件を持ち出す

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.10-11)

バーをつけて「=」で繋ぎます。zが実数か、半径2の円周かですね。

(2)は、その条件のもとで等式が成り立つような「k」の範囲ということです。領域を書くときに場合分けしているので、こちらも場合分けするといいでしょう。「実数」のときは、左辺に●iという式が残るので、ここが0、そしてkも0でないとダメですね。

半径2の円周のときは、z=2(cosθ+isinθ)として代入します。 そのとき、4/z=zバー となることも活用しましょう。

Principle Piece III-92

 |z|=r zzバー=r^2 の変形

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.7-8 ※大意を変えずに表現変更)

k=-sinθ/cosθ+2 とでます。①微分して増減表でもいいですし、②(ー2、0)と半径1の円周上の点の傾きとして捉えてもOKですし、③x^2+y^2=1 とy=k(x+2)の共有点条件でもOKですし、なんでもいいですが、少し融合的で難しかったですね。


 

※KATSUYAの解答時間13分。場合分けがあるので、少し時間がかかります。途中でkの最大・最小もやるところが少し骨がある。1番よりは全然解きがいがある。

☆第3問・・・【確率+整数】カードから選んだ4桁の整数が2、9の倍数になる確率(B、25分、Lv.2)

年号絡みの確率の問題。2、0、1、8が2枚ずつあり、そこから4枚とります。

ここで大事なのは、確率を考える場合は、同じ数字でも区別して考えることです。そうでないと、2018は、2200よりも16倍起こりやすい(理由は考えましょう)ことなどを見逃し、全滅です。

Principle Piece A-26

 確率では同じものでも区別して計算する

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.5-6)

(1)は整数です。9の倍数判定法の証明。さすがに旧7帝大理系の受験者であれば、これは出来なければいけませんね。

(2)から確率ですが、全事象は上記原則により全て区別するので、8P4となります。あとは和が9、18になる組み合わせを探しましょう。こちらも区別します。例えば1800のときは、この並べ方自体は24通り(12通りとはやらない!)あり、1、8は選び方が2通りずつある、という風に計算します。

(3)は条件付き確率なので、分子と分母を計算すればOK。

 

Principle Piece A-39

 条件付き確率の計算

分母:「とき」の手前 分子:「とき」の前後

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.32 大意を変えずに表現を変更)

 

区別して数えるところで強い意識をもたないと、無意識にどこかで間違えてしまいそうです。その意味で、本問は差がつくと思います。

 

※KATSUYAの解答時間9分。区別して計算する違和感に勝てれば行ける。最初は慎重に、慣れくれば・・・やっぱり慎重にやりました^^;

☆第4問・・・【図形と式】条件を満たす領域、領域内にある条件(BC、30分、Lv.2)

領域の問題です。条件はO,A,Bからの距離の比なので、片方が垂直二等分線で分けられ、もう一つはアポロニウスの円で分けられます。

そこまで意識しなくても、(x、y)とおいて計算で押すだけで(1)は出来ます。図示するときには、普通交点を求めますが、わざわざ交点を出せと書いてあります。この違和感を(2)に活かしたいところ。

(2)は式だけで押すのは難しく、少し図形的に考察が必要。pを0→11へ進めていくと、OPの垂直二等分線の傾きが小さくなる(どんどん立ち上がってくる)ことと、Qは垂直二等分線の上側になることから、交点の1つを通るときが限界になります。

図形的な考察も必要となる上に、答案にもまとめにくいタイプの問題で、少し難しめ。

※KATSUYAの解答時間19分。(2)で結構考えましたね。

 

☆第5問・・・【微積分総合】不等式の証明、面積(BC、30分、Lv.2)

最後は微積分総合です。こちらも適度に差がつきそうですね。

(1)は微分でもいいですし、関数のと凸性の利用が良さそうです。北大受験者なら経験済みでしょう。

(2)は(1)を使えたでしょうか。とりあえず差はとりますよね。

Principle Piece III-39

 不等式は差を取って微分する

(拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.44-47)

微分した式の分母に来る根号内を評価すると、キレイに(1)の式を使えることがわかります。キー問題ですね。

(3)は面積なので、(2)の結果(上下関係)と交点さえ意識すれば出せます。図も書いておいたほうが安全ですね。g(x)は円のなので、扇形を利用する方が計算は楽化と思います。


※KATSUYAの解答時間16分。(3)は(2)の結果だけ使えるはずなので、(2)は(1)を利用するはずと判断し、評価にたどり着きました。

 

4.対策

頻出分野は数IIIからは微積と複素数平面、あとは整数、確率、図形で、数Bはどちらか1問でると思われます。

北大は旧7帝大の中ではかなり標準的かつ良問の組み合わせになっており、過去問自体が入試演習に最適です。もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。

また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学II 図形と式 (第4問)

★ 数学B ベクトル (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第5問)

★ 数学III 積分法 (第5問)

★ 数学III 複素数平面 (第2問)

ほとんど書き換えませんでしたので、出題分野は昨年と同じということになりますね。

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